特训03 二次函数（浙江中考真题与模拟解答压轴题）（解析版）

特训03二次函数(浙江中考真题与模拟，解答压轴题)

真题演练

一、解答题

1.(2023•浙江嘉兴•统考中考真题)在二次函数)，=/—2a+3(»0)中，

⑴若它的图象过点(2,1),则/的值为多少？

(2)当OWXW3时，y的最小值为一2,求出，的值：

(3)如果4w-2M),8(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且求刑的取值范围.

【答案】⑴/=：

(2)1=6

(3)3<，〃<4或，〃>6

【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值：

(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分0<fW3,当工=，时，函数值最小，以及，>3,当x=3

时，函数值最小，求得相应的/值即可得；

(3)由AQ〃-2,a),C(〃?,a)关于对称轴对称得〃?—=/,且3在对称轴左侧,C在对称轴右侧；确定抛物线

与2轴交点(。，3),此交点关于对称轴的对称点为(2机-2,3),结合己知确定出〃?>3；再分类讨论：A,8都

在对称轴左边时，48分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可.

【解析】(1)将(2,1)代入)，=——2八十3中，

得1=4-4/+3,

3

解得，，=5；

(2)抛物线对称轴为x=f.

若Ov/43,当x=f时，函数值最小，

.•/-2/+3=-2,

解得/=±-75.

z>0,

t—yjs

若。3,当x=3时，函数值最小，

.*.-2=9-6/+3,

7

解得/=§(不合题意，舍去)

综上所述，=\f5.

(3)VA(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称

:.，n~^+fn=tjn-\=t,且4在对称轴左侧，C在对称轴右侧

抛物线与7轴交点为(。，3),抛物线对称轴为直线"=/,

•••此交点关于对称轴的对称点为(2，〃-2,3)

。<3,/?<3且/>0

/.4<2m-2,解得机>3.

当,4,8都在对称轴左边时，

'：a<b

：.4<ni-2,

解得〃?>6,

/.in>6

当,4,8分别在对称轴两侧时

•；a<b1.8到对称轴的距离大于4到对称轴的距离

/.4-(/«-1)>tn-\-(tn-2),

解得〃7V4

/.3</77<4

综上所述3<"?<4或心6.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题：存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是

解题的关键.

2.(2023・浙江•统考中考真题)已知点(-机0)和(3根,0)在二次函数)，=加+法+3(4/是常数，"0)的图像

上.

⑴当〃?=7时，求0和％的值;

⑵若二次函数的图像经过点4(〃,3)且点力不在坐标轴上，当时，求〃的取值范围；

(3)求证：b2+4«=0.

【答案］(1)"=7,力=一2

(2)-4<«<-2

（3）见解析

【分析】（1）由，"=-1可得图像过点（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程组即可解答;

（2）先确定函数图像的劝称轴为直线x=则抛物线过点（〃,3）,（0,3）,即〃=2〃?，然后再结合-2<〃z<-1

即可解答；

（3）根据图像的对称性得-5=〃?，即力=-2,〃〃，顶点坐标为（〃?"/+加?+3）；将点（一九0）和（3肛0）分

别代入表达式并进行运算可得am"=-1;则anf+bin+3=am1-2am2+3=-anr+3=4>进而得到

担二2=4,然后化简变形即可证明结论.

4a

【解析】（1）解：当〃R-1时,图像过点（1,0）和（一3,0）,

0=a+b+3,,a=-\

0=9。-3Z7+3'解得’

b=-2,

0y=-x2-2x+3,

@a=-l,Z?=-2.

（2）解：团函数图像过点（一〃八0）和（3或0）,

回函数图像的对称轴为直线x=.

团图像过点（〃，3）,（0,3）,

团根据图像的对称性得〃=2〃?.

0-2</??<-1,

0—4<w<—2.

（3）解：团图像过点（-〃?,0）和（3肛0）,

团根据图像的对称性得-（=，〃.

^b=-2am,顶点坐标为（加+Z?帆+3）.

将点（飞。）和师。）分别代人表达式可得｛。二:荔晓

①x3+②得12加+12=(),

0=-1.

0anr+bm+3=anr-2am2+3=-am2+3=4.

012«-Z?2=16«.

0/?2+4a=0.

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌

握二次函数的对称性是解答本题的关键.

3.(2022•浙江丽水•统考中考真题)如图，已知点用(5方),2(生)，2)在二次函数)，=。(工-2)2-1(〃>0)的图

⑴若二次函数的图像经过点(3,1).

①求这个二次函数的表达式；

②若X=为，求顶点到MN的距岗：

(2)当用工工工左时，二次函数的最大值与最小值的差为1,点N在对称轴的异侧，求〃的取值范围.

【答案】⑴①，=2f_8-7；②羡

,、14

⑵

【分析】⑴①将点(3,1)代入)，=。*-2)2-1(">0)中即可求出二次函数表达式；

②当y="时，此时脑V为平行X轴的直线，将例(.r,,y),Ng为)代入二次函数解析式中求出工+玉=4,

7

再由占一玉=3求出直线MV为)，=Q,最后根据二次函数顶点坐标即可求解；

(2)分两种情形：若M,N在对称轴的异侧，y,>y2；若M、N在对称轴的异侧，)；工乃，用<2,分别求

解即可.

【解析】(1)解：①将点(3,1)代入)，=〃*—2)2—1(〃>0)中，

01=a(3-2)2-1,解得。=2,

团二次函数的表达式为：y=2(x-2)2-l=2x2-8x+7；

②当=%时，此时MN为平行x轴的直线，

将M(N，y)代入二次函数中得到：y=2V-8A,+7,

将川天，必)代入二次函数中得到：必=2/2-8/+7,

团”=当，

2(2X

02x,-8x+7=2X2-82+7,

整理得到:(%+七)(司・9)-4($•%)=(),

又回々-N=3,代入上式得到：x:+A,=4,解出再二：,/=，

I177

团必=%=2?空8?-7=-,即直线MN为:y=-t

又,二次函数的顶点坐标为(2,-1),

79

团顶点(2,-1)到MN的距离为万+l=y；

(2)解：若"，N在对称轴的异侧，y,>,

取7+3>2,

取/>-1,

□x2-x,=3

0x.<—,

2

0-1<x<-,

2

团函数的最大值为州=。(X/-2)2-1,最小值为-1,

取・(-1)=1»

Q)

同J一<。WJ—；

99

若M、N在对称轴的异侧，xt<2,

1

团％>5，

0-<X1<2,

同函数的最大值为片。（》2）2-1,最小值为-1,

映（-1）=1,

1

（M+1）

9、2

0-<（X（4-1）<9,

14

0-<a<-,

99

14

综上所述，。的取值范围为

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当

开口向上（向下）时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大（越小）.

4.（2022•浙江杭州•统考中考真题）设二次函数凶=2炉+加+。（4c是常数）的图像与x轴交于48两

点♦

（1）若力，8两点的坐标分别为（1,0）,（2,0）,求函数M的表达式及其图像的对称轴.

（2）若函数X的表达式可•以写成）[=2（X-力）2-2（才是常数）的形式，求〃+c,的最小值.

⑶设一次函数（〃?是常数）.若函数月的表达式还可以写成y=2（X—M（X—〃L2）的形式，当函

数y=x-为的图像经过点（厮.0）时，求与-的值.

【答案】⑴y=2（x—l）（x—2）,久=]

⑵Y

闭.％_阳=0或/―/〃=|'

【分析】（1）利用待定系数法计算即可.

（2）根据等式的性质，构造以加c为函数的二次函数，求函数最值即可.

（3）先构造y的函数，把点（%0）代入解析式，转化为•%的一元二次方程，解方程变形即可.

【解析】（1）由题意，二次函数3=2/+bx+c（b,。是常数）经过（1,0）,（2,0）,

2+b+c=0

职，

4+2/>+c=0

b=-6

解得

c=4

团抛物线的解析式>.=2X2-6X+4=2(X-1)(A:-2).

0图像的对称轴是直线工=一?=一普=]

2a2x22

(2)由题意,得y=2--4法+2*-2,

2

0y\=2x+bx+ct

0b=-4//,c=2h?-2

0b+c=2/r-4/z-2=2(/?-1)--4,

团当〃=1时，8+c的最小值是4

(3)由题意,得y=y=2(x-w)(x-w-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-/w)-5]

因为函数y的图像经过点（不，0）,

所以(小一6)[2(与--5]=0,

所以占一加二°,或再一根二：

【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称

性是解题的关键.

5.（2023•浙江•九年级专题练习）已知抛物线。：…@+1）2—4（。/0）经过点41.0）.

⑴求抛物乙的函数表达式.

⑵将抛物线。向上平移〃？（〃?〉0）个单位得到抛物线右.若抛物线4的顶点关于坐标原点。的对称点在

抛物线。上，求用的值.

⑶把抛物线。向右平移〃（〃>0）个单位得到抛物线人.已知点H8-f,s）,Q（f-4”）都在抛物线右上,

若当/>6时，都有$>厂，求〃的取值范围.

【答案】⑴y=(.r+l)2—4

⑵加=4

⑶〃>3

【分析】（1）根据待定系数法即可求解.

（2）根据平移的性质即可求解.

（3）根据平移的性质对称轴为直线x=«=1>0,开口向上，进而得到点尸在点。的左侧，分两种

情况讨论：①当P，。同在对称轴左侧时，②当尸，。在对称轴异侧时，③当P，。同在对称轴右侧时即

可求解.

【解析】（1）解：将4析）代入得:0=（1+1）2«-4,

解得：«=1,

同抛物线乙的函数表达式：y=（x+l）2-4.

（2）（3将抛物线。向上平移个单位得到抛物线乙,

团抛物线右的函数表达式：），=*+1）2-4+〃].

团顶点（l,4lm）,

团它关于。的对称点为（1，4-加），

将（1,4—〃代入抛物线。得：4一血=0,

团，〃=4.

（3）把。向右平移〃个单位，得

y=（x+l-〃）2-4,对称轴为直线x=〃=开「向上，

0点P（8—,s）,C（/-4,r）,

由]>6得：8T<2<，-4,

团点?在点。的左侧，

①当P,。同在对称轴左侧时，

w-1>Z-4,即〃>/一3,

团/>6,0w>3,

②当P,。在对称轴异侧时，

囹$>厂，

回〃一1—（8一/）>/—4—（〃一1）,

解得：〃>3,

③当P,Q同在对称轴右侧时，都有,（舍去），

综上所述：〃>3.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移

的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键.

6.（2023・浙江台州•统考中考真题）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一

根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔lOmin观

察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间〃min010203040

水面高度。/cm（观察值）302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量.

【建立模型】

小组讨论发现：）=0,〃=30〃是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近

似地刻画水面高度h与流水时间/的关系.

任务2利用f=0时，//=30；/=10时，力=29这两组数据求水面高度〃与流水时间，的函数解析式.

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，

减少偏差.通过查阅资料后知道：，为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对

应力的观察值之差的平方和，记为卬；卬越小，偏差越小.

任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的w值.

(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得■的值最小.

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度宜接读取时间.

任务4请你简要写出时间刻度的没计方案.

【答案】任务1：见解析；任务2：A=-0.1/+30；任务3：(1)0.05»(2)〃=-0.102f+30；任务4：见解

析

【分析】任务1：根据表格每隔lOmin水面高度数据计算即可；

任务2：根据每隔lOmin水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度力与流水时间，的是一次函数关

系，由待定系数法求解；

任务3：(1)先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值：

(2)设6=化+30,然后根据表格中数据求出此时w的值是关于％的二次函数解析式；由此求出Iv的值最

小时％值即可；

任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与

单位长度.最大量程约为294min可以代替单位长度要素.

【解析】解：任务1：变化量分别为，29-30=-l(cm)；28.1-29=-0.9(cm)；

27-28.1=-1.1(cm)；25.8-27=-1.2(cm)；

任务2：设，1=kt+b,

团，=0时，力=30,，=10时，〃=29；

b=30,

职

\\0k+b=29.

用水面高度h与流水时间/的函数解析式为h=-0.1/+30.

任务3：(1)当/=0时，〃=-0"+30=30,

当，=10时，/z=-0.1r+30=29,

当1=20时，/?=-0.k+30=28,

当/=30时，/?=-0.k+30=27,

当，=40时，/?=-0.k+30=26,

团卬=(30-30『+(29-291+(28-28.1)2+(27-27)2+(26-25.8『

=0.05.

(2)设/?=6+30,则

卬=(30-30)2+(10攵+30-29『+(20Z+30-28.1丫+(30%+30-27『+(402+30-25.81

=(10%+1f+(20%+1.9)2+(30%+3)2+(40左+4.2)2

=3000公+612^+12+1.92+32+4.22.

当”=-二、二一。.102时，w最小•

2x3000

回优化后的函数解析式为/?=-0.102/+3().

任务4：时间刻度方案要点：

①时间刻度的0刻度在水位最高处；

②刻度从上向下均匀变大；

③每0.102cm表示lmin(1cm表示时间约为9.8min).

【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函

数的函数值、二次函数的最值是解题的关键.

模拟演练

一、解答题

1.(2023•浙江杭州•校考三模)已知抛物线y=f-2a+l.

⑴当f=2时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；

⑵若该抛物线上任意两点M(XQD，短都满足:当$＜马＜1时，(石一再)(%-%)＜。，当1＜王＜超时，

(x,-x2%)＞0,试判断点(3,7)是否在抛物线上；

2

(3)P(t+1,乂),Q⑵-4,先)是抛物线y=x-2/x+1上的两点,且总满足y,ny2，求/的最值.

【答案】(1)抛物线的对称轴为x=2,其顶点坐标为(2,-3)

⑵点(3,7)不在抛物线上

(3)］的最大值为5,最小值为3

【分析】(1)将f=2代入抛物线解析式，然后化成顶点式，即可获得答案；

(2)结合二次函数图像的性质可确定该抛物线的对称轴为x=l,进而求得该抛物线解析式，然后判断点

(3,7)是否在抛物线上即可；

(3)结合抛物线解析式可得该抛物线开口向上，其对称轴为x=/,已知点P在抛物线对称轴右侧.分两种

情况讨论；①当点Q在对称轴右侧或在对称轴上，且在点〃的左侧或与点,重合时满足条件；②当点Q在

对称轴左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点产到对称轴的距离时满足条件.然后列关于/的不

等式，求解即可.

【解析】（1）解:当f=2时，

该抛物线解析式为/-4x+1=（X-2）2-3,

国抛物线的对称轴为直线4=2,其顶点坐标为Q,-3）；

（2）点（3,7）不在抛物线上，理由如下：

当看时,（内一天）（凹一外）<°，

13y「为>0,即片〉为，

当1<%<工2时，（不一与）（必一力）>（），

f3yt-y2<0,即为〈必，

回该抛物线的对称轴为x=l,

此时可有工=-三=="1，

2x1

团该抛物线解析式为y=x2-2x+l.

令x=3,则y=32—2x3+l=4,7,

团点（3,7）不在抛物线上；

（3）对于寸也物线y=Y-2“+l,

团。=1>0,

团该抛物线开口向上，其对称轴为直线1=八

0点P在抛物线对称轴右侧，

①当点。在对称轴右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，

02/-4>/J.2z-4</+l,

解得4W5；

②当点。在对称轴左侧，且点。到抛物线对称轴的距离小广或等于点。到对称轴的距离时满足条件，

回2/-4</且+,

解得3W4.

综上所述，当3WY5时，满足乂之为，

酎的最大值为5,最小值为3.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识，理解题意，运用数

形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键.

2.(2023•浙江杭州•杭州市丰潭中学校考三模)在平面直角坐标系中，设二次函数乂=寸-3妆+1(。是常

数)

⑴当。=2时，求函数,图象的顶点坐标和对称轴：

(2)若函数X图象经过点(Lp),(-1,4)，求证：/^<4；

⑶若〃<0,y2=x-3a+i,凹,力的图象交于点(不，加),(出，〃)，(3<々)，设(与，〃)为X图象上一点*3工9)，

求与一X的值.

【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(3,-8),对称轴为直线x=3

⑵见详解

⑶-1

【分析】(1)由配方法可求出顶点坐标；

(2)将已知两点代入求出〃=2-3〃，q=2+3%再表示出〃夕=4-9a。由a<0,即可求解；

y=x2-3ax+1

(3)联立，1y2=x-3a+l,解得：内=3%超=1，再根据(・%〃)与5M关于对称轴对称即可得出结果.

X=%

【解析】(1)解：当。=2时，y=x2-6.r+l=(x-3)2-8,

「•抛物线的顶点坐标为(3,-8),对称轴为直线x=3；

(2)证明：••函数图象经过点(Lp),(-1国)，

〃=1-3。+1=2-3。，<7=1+3。+1=2+3。，

pq=(2-3。)(2+3〃)=4-9",

•/9a120,

pq"；

3?)=x2-3ax+1

(3)解：联立“>2=x—3a+l,解得：办=3々,々=1,

Y=为

a<0,

:.3a<\,故％=3〃,占=1，

•••>?必的图象交于点(3。,M,("),

•・•(5)与(如〃)关于二次函数y,=x2-3ax+1的对称轴x=y对称，

/.1+x,=^-x2,/.x3=3a-l,

x?l-xi=3a-l-3a=-l.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，

熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解即的关键.

3.(2023•浙江杭州•杭州市公益中学校考三模)已知抛物线,1=〃*7〃)(1一/?)(〃，，"，〃是实数，。/0)与.1

轴交于A,3两点.

⑴若4=1,同A,“两点的坐标分别为(1,0),(-2,0),求函数X的表达式及其图象的顶点坐标；

⑵函数,的图象与％轴只有一个交点，经过点(〃?-2/)，(4-6,/),求用的值;

⑶若抛物线M过点(1，〃)，(6,4),。<0,P>q,求证zn+”7.

(19、

【答案】⑴X=(x—l)(x+2),

IZ4,

⑵m=1

⑶证明见解析

【分析】(1)由“交点式”关系式性质得，〃1、〃的值为1、-2,再代入。=1,即可求出关系式，再将对

称轴代入即可求出顶点；

(2)判断出两点在同一条水平线上，故可求对称轴为x=l,由函数X的图象与x轴只有一个交点得，m与

〃值相等，即是对称轴的值；

(3)由题意，分三种情况分类讨激，从而得到两点在对称轴的两侧时，点(Lp)离轴更近，列出方程求解即

可得证.

【解析】(1)解：A,8两点的坐标分别为。,0),(-2,0),

；・加、〃的值为1、-2,

。=1,

:.y\=(x-l)(x+2),

-2+111小、*力少用/1~1,r、9

由,工=m丁+一n二"==，4把1n彳=一；7代入关系式得'=（一；;-1）（一:+2）=一:,

2222224

（19、

・,・顶点坐标为一弓，-7；

（2）解:•（w-2j）,（4-见。纵坐标相同,

函数M的图象与x轴只有•个交点，

m=〃=1；

（3）证明：由抛物线关系式得对称轴工=等，

d<0,

•••抛物线开口向下，

①当（l,p）,（6,g）两点位于对称轴左侧时，

•・・）'随x的值的增大而增大，

:p<q,不符题意;

②当（6国）两点位于对称轴右侧时，

•・•）'随x的值的增大而减小，

:p>q,不受加、〃影响；

③当（1.〃），（6国）两点位于对称轴两侧时，

由题意得，抛物线上的点离对称轴越近，纵坐标越大，

p>q,

・•・点（1，P）离对称轴更近，即亨-1<6-空，解得〃叶〃<7,

:.ni+n<l.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，“交点式”关系式的对称轴的计算及其应用是解题关

键.

4.（2023•浙江杭州•校联考二模）已知二次函数y=&+（3A+l）x+3（k为常数，&工0）.

⑴求证：无论上取任何实数时，函数与*轴总有交点；

⑵若女为正整数，且函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数.

①已知A（ay）,8（1,乃）是该函数图象上的两点，且）'>%，求实数。的取值范围；

②将抛物线向右平移机（24〃区4）个单位，与x釉的两个交点分别为P（x，O）,。伍，0）,若士=上-I

IvlAjA,

请结合图象直接写出用的取值范围.

【答案】（1）见解析

（2）①实数4的取值范围为。<一5或〃>1；@0<M<|

【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；

（2）先根据左为正整数，且函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求出k的值，即可得到二次函数

的解析式，①令x=0,x=〃，分别求出>'与丹的值，由“必得到不等式/+4.+3>8,解不等式即可得

到答案；②先求出平移后的抛物线的解析式，再求出平移之后的抛物线与x轴的交点，即

分别表示出占-X，%与，代入求出I的范围,从而即可得到答案.

【解析】（1）证明：根据题意可得：

A=（3k+i）2-4kx3=9k2+6k+\-{2k=9k2-6k+\=（3k-\）2>0.

.•・无论2取任何实数时，函数与x轴总有交点；

（2）解：当尸。时，去、（3攵+1）工+3=0,

i_-(3k+l)±J(3J)2,即广-(3k+1)?(3k1)

2k~2k-

"=-1,X2=-3

1•函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,

/.A:=±1,

4为正整数，

/.j=x2+4x+3,

2

①当x=l时，y2=l+4xl+3=l+4+3=8,

当工时，y=a2+4a+3,

y>y2f

：.a2+4a+3>8,

解得：4<一5或4>1,

实数。的取值范围为：。<-5或。>1；

②抛物线的解析式为：y=Y+4x+3=(x+2)2-1,

•.・抛物线向右平移山(2«〃区4)个单位后的解析式为：y=(x+2r〃『-l,

令y=0,则(x+2—6『一1=0,

解得：X\=m-LXj=m-3,

2

=(m-3)(/n—l)=m-4m+3=(m-2)~-1,-x]=m—3-(m—l)=m—3—m+l=-2,

.•.-l<(/n-2)2-l<3,BP-1<X,X<3,

/.0<|xj^|<3,

-22

_L=_L__L=^ZA---=----

MXix2X}X2

.±>2

.M一§'

3

2

【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数,二次函数图象的平移，二次函数与x轴的交点，

解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题.

5.(2023•浙江金华・统考一模)定义：在平面直角坐标系中，直线人=，〃与某函数图象交点记为点P,作该困

数图象中，点尸及点P右侧部分关于直线、=切的轴对称图形，与原函数图象上的点尸及点尸右侧部分共同

构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线)=切的"迭代函数〃.例如：图1是函数y=x+i的

图象，则它关于直线x=0的"迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数〃的解析式为

x+l(x>0)

V=4

'H+l(x<0).

图1图2

⑴写出函数，，=X+1关于直线x=l的〃迭代函数〃的解析式为.

(2)若函数y=-x2+4x+3关于直线工=，〃的"迭代函数”图象经过(TO),则“=

⑶以如正方形48C。的顶点分别为：

A(“,a),B(a,-a),C(-a,-a\D(-a,a),其中〃>0.

①若函数户目关于直线x=-2的"迭代函数〃的图象与正方形ABC。的边有3个公共点，则”：

②若。=6,函数)，=9关于直线K=〃的“迭代函数〃的图象与正方形ABCD有4个公共点，则〃的取值范围

x

为.

X+1(X>1)

【答案】(1)>'=1

-x+3(x<1)

(2)立里或也Ll.

22

⑶①a=3或"痛，②或一1V〃<0或0<〃<1.

【分析】(1)根据“迭代函数〃的定义可知"迭代函数”的图象是关于*=，〃的对称，故求出>=x+1图象上任意

两点坐标，再根据函数y=x+i关于直线X=1的“迭代函数”是关于X=1对称，求出对称点坐标，再由待定系

数法求出“迭代函数〃的解析式即可；

(2)先求出原抛物线当)，=0时两点坐标，根据“迭代函数〃的对称性可知(-1,0)与其中一点对称，分两种情

况求解即可；

(3)①先画出函数)，=9关于直线x=-2的“迭代函数〃的图象.根据三个公共点的不同情况分两种情况求

x

解即可；

②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知.四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限

两个，分别结合图象进行求解.

【解析】(1)解：当x=l时，y=x+l=2,

当x=2时，y=x+l=3,

回则点(1,2)、(2,3)关于直线x=l的对称点为(1,2),(0,3),

设直线y=x+1关于直线x=1的对称直线为尸3+〃，

,k+b=2

则一，

b=3

,k=-l

解得’,，

b=3

回直线为1y=-x+3,

X+1(X>1)

回函数)，”关于直线AI的〃迭代函数〃的解析式为尸；

x+\(x>\)

故答案为：y=

-x+3(x<1)

(2)y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

国)，=一/+叔+3的顶点坐标为(2,7)

当一3-2)2+7=()时，解得：4=-/+2,毛=夜+2,

即产t2+4x+3与4轴交点为(-x/7+2,0).(出+2,0)

若函数尸-1十4人十3关于直线"，”的“迭代函数”图象经过(-1,0),

当(-V7+2,0)与(-1,0)是关于直线x=，〃对称时，m=7'+ZT=,

2

当(币+2,0)与(—1,0)是关于直线x=m对称时，加=汨+；--="+1>

22

综上所述：若函数丁=-/+©+3关于直线户切的“迭代函数"图象经过(TO),则加或小=

故答案为：立担或巫

22

(3)①函数)=9关于直线x=-2的"迭代函数〃的图象如图所示：

有两种情况:

当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当一2图象上的点，）弓/=-3,此时X,

当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第•象限，函数图象正好经过正方形的顶点，x=y=〃，a=',

此时a=瓜,

综上所述：若函数y=£关于直线X=-2的“迭代函数〃的图象与正方形ABCQ的边有3个公共点，则〃=3或

x

a=瓜.

②如图:

若。=6,函数），=9关于直线工二〃的“迭代函数〃的图象与正方形A5CD有4个公共点，则第一象限一点一

x

定有两个交点它们是（1,6）、（6,1）：

根据正方形和“迭代函数〃的图象对称性，

/.当让1时，”迭代函数〃的图象与正方形A8CD最多有3个公共点，

11.当0<〃<1时，"迭代函数”的图象与正方形ABCQ有4个公共点，如图所示，

HI.当〃<0,若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，

此时点（1,6）关于工二〃对称点在正方形外，即：1-6,解得：〃<.■!，

此时点（-卜6）在函数y=9关于直线工”的"迭代函数〃的图象，即：〃<-1,

X

即：〃〈-g时，"迭代函数〃的图象与正方形A8CO在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，

0.当〃<0,若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，

此时点。,6）关于工二"对称点在正方形内，即：1-2（1-〃）>-6,解得：〃

此时点（-1，-6）不在函数），=9关于直线工二〃的“迭代函数〃的图象，即：〃>-1,

x

0.当TV〃VO,若第一象限有两个公共点，则第三象限无公共点，

综上所述：若。=6,函数1色关于直线工=〃的“迭代函数''的图象与正方形A8CD有4个公共点，〃的取值

x

范围为〃<一耳或一1<〃<0或0<”1.

【点懵】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义''迭代函数''，能够将图象的对称转化为点的对称，

借助图象解题是关键.

6.（2023•浙江湖州•统考一模）如图，已知抛物线>=/+“|_。为对称轴为直线户2,且与x地交于4B

两点，与y轴交于C点，其中41,0),连结8c.

⑴求点。的坐标及此抛物线的表达式;

⑵点。为y釉上一点，若直线3。和直线8c的夹角为15。，求线段C。的长度；

⑶当〃4x45时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出〃的取值范围.

【答案】⑴点C(0,3)；y=x2-4x+3

(2)3-百或3而3

(3)-1<«<2

【分析】(1)根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；

⑵根据30c是等腰直角三角形，直线80和直线3c的夹角为15。，推出/。30=30。或ZZMO=60。,

进行分类讨论即可解答；

(3)根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论：

【解析】(1)回对称轴为直线x=2,

啜=2,

/.Z?=-4,

何抛物线y=f—4x+c与y轴交于C点，4(1,0)代入得：

c—3,

团抛物线的解析式为y=J—4x+3,

由抛物线的表达式知，点C(0,3)；

(2)朋-3,0),C(0,3),

.•…BOC是等腰直角三角形，

则NC8O=45。，

团直线和直线的夹角为15。，

/.ZDBO=30°或NO8O=60。，

在Rf.BOD中,DO=BO-innZDBO,

50=3,

3

则DO=G

贝I」CO=OJOO=3-G

CD=DO-OC=36-3，

13CD的长度为3-6或3行-3;

(3)当工=〃和x=5在对称轴两恻时，

此时，抛物线在x=2时，取得最小值,

当工二〃和工=5关于工=2对称时，最大值相等且为定值，即％=5时，），的值为最大值，

此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，

此时〃二一1,

BP-l<n<2,函数的最大值与最小值的差是一个定值.

【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的

图象与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，注意分类讨论；解题的关键是数形结合

思想的应用.

7.（2023・浙江绍兴•统考一模）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线），=/一2田+1.

⑴求该抛物线的对称轴（用含，的式子表示）；

（2）若点M（f—2,m），N（f+3,〃）在抛物线），=/-2q+1上，试比较〃?，〃的大小；

⑶P（“y,）,Q（,q,%）是抛物线y=次+1上的任意两点，若对于-1K%<3且9=3,都有yK乃，

求，的取值范围；

（4）^（/+1,y）,Q（2-4,%）是抛物线），=/一2戊+1上的两点，且均满足,之为，求/的最大值.

【答案】⑴抛物线的对称轴为直线4二，；

⑵〃>〃？；

⑶臼；

（4）/的最大值为5.

【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；

（2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；

（3）分3种情况求解即可；

（4）分两种情况讨论，根据题意列出关于，的不等式，解不等式即可解决问题.

【解析】（1）解：0y=x2-2rx+i=（x-r）2-r+1,

国抛物线的对称轴为直线x=r；

（2）解：团点〃。一2,帆），N（/+3,〃）在抛物线>=/-2a+1上，

回抛物线的开口向上，对称轴为直线4=，，

又削工一«-2）|=2,|r-（r+3）|=3,2<3,

团点N“+3,”)离抛物线y=,v2-2tx+\的对称轴距离较大，

团〃>m；

(3)解：团抛物线的开口向上，

团离抛物线y=x2-2tx+\的对称轴距离较大，函数值越大.

当/>3时，点尸离对称轴远，不符合题意；

当-1金工3时，由题意得，

解得"1,

0-l<r<lH,都有,工为；

当7<-1时，点。离对称轴远，都有到与必.

综上，当Y1时，都有为”2.

(4)解：用抛物线的开口向上，对称轴为直线x=F,

0点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，

①当点。在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点尸重合时满足条件，

02/-4>rl.2/-4<r+l,

解得4MfM5：

②当点Q在对称轴的左侧，且点。到抛物线时称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，

02Z-4<r,+,

解得3q<4,

综上所述：当3W5时，满足题意.

效的最大值为5.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握

性质是解题的关键.

8.(2023•浙江杭州•杭州育才中学校考一模)已知函数y=3〃)x-4是常数，且〃工0).

⑴若点(卜1)在二次函数y的图象上，

①求该函数的表达式和顶点坐标；

②若点尸（心〃。和Q（5,〃）在函数的图象上，且机＜〃，求与的取值范围；

⑵若函数y的图象过（仆兄）和（演,打）两点，且当为＜乙4时，始终都有弘＞为，求。的取值范围.

【答案】⑴①二次函数的表达式为丁=-/+4》-4,顶点坐标（2,0）；②与＜-1或小＞5

（2）＜7＞3

【分析】（1）①把（卜1）代入解析式计算即可；

②先求出〃=-9,再求出），=-（1-2）2=-9的解，即可根据，〃＜〃得到小的取值范围；

（2）根据二次函数的增减性计算即可，注意分类讨论.

【解析】（1）①团点（11）在二次函数）=o?+（l-%卜一4的图象上，

0-1=67+（1-367）-4,

解得：a=-l,

回二次函数的表达式为y=-x2+4.v-4

0y=-（x-2）2

团顶点坐标（2,0）；

②团Q（5,〃）在函数的图象上，

0/?=-（5-2）2=-9,

当y=_（x_2/=_9时，x.=-LX2=5,

团产―/+4]-4开口向下，且点P（/M）和。（5,用在函数的图象上,且，

国不＜T或%＞5

（2）二次函数丁=办2+。-3a）x-4对称轴为直线x

-2a22a

4

（3当王时，始终都有%＞为，

4

回当XK]时，y随X的增大而减小，

431

当〃＞0时，在对称轴左边y随X的增大而减小，即%

322a

3_J_>4

此时2a~3,解得aN3；

a>0

314

当。<0时，在对称轴右边）'随”的增大而减小，即；-丁工王<9工；

22a3

3_J_4

此时一五此不等式组无解；

”0

4

综上所述，当王时，始终都有X>刈，。的取值范围为“23.

【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

9.（2023・浙江绍兴・统考一模）如图，二次函数丁=/+仆+〃的图域与直线），=—+3的图像交于人，8两点，

点A的坐标为（T,7）,点、的坐标为（1,2）.

（1）求二次函数y=犬+奴+h的表达式.

⑵点M是线段A8上的动点，将点M向下平移h（h>0）个单位得到点N.

①若点N在二次函数的图像上，求人的最大值.

②若〃=4,线段MV与二次函数的图像有公共点，请求出点例的横坐标，〃的取值范围.

【答案】⑴>+2.1；

（2）①九必二亍，（2）-4</?/<-30</??<1

【分析】（1）待定系数法计算即可.

（2）①设点M的坐标为（利,一〃?-3）（-4<加<1）,则点N的坐标为（帆,一6+3-/?）,

把（利,-/〃+3-〃）代入），=9+21-1构造〃为函数的二次函数计算即可.

②当。=4,点N的坐标为（利-阳-1）代入解析式，确定机的值，结合图像计算即可.

【解析】⑴把（T7）,（1,2）代入y=J+好+6得:

-4«+b=-9

a+b=\

解得。=2,b=-1,

^y=x2+2x-\.

（2）①设点例的坐标为（孙一〃?-3）（-4<〃?<1）,则点N的坐标为（利一〃?+3-力）.

把（以一加+3-/2）代入y=f+2］一］,得：

h=-in2-3〃?+4，

.（3丫25

【2）4

3

0«=-1<0,当〃?=一二时，且满足

2

c,25

田%=1•

②设点M的坐标为（"?,一/〃+3）（-4<〃?<1）,则点N的坐标为（/几一〃?+3-〃）.

当力=4,点N的坐标为（因一加一1）,

把（"?,T7L1）代入得：+3m=0»

回"z=0或m=-3.

0-4</7Z<-3ȣ0<777<1.

【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

10.（2023•浙江金华•统考二模）定义：若〃为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为八的点，则称

该点为这个函数图象关于〃的“恒谊点〃，例如：点（1,2）是函数y=2X图象关于3的“恒值点〃.

图1图2

⑴判断点（1,3）,（2,8）,（3,7）是否为函数y=5.L2图象关于10的〃恒值点〃.

（2）如图L抛物线y=2f+版+2与x轴交于力，8两点（力在8的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿

x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示.

①求翻折后44之间的抛物线解析式.（用含力的代数式表示，不必写出x的取值范围）

②当新图象上恰好有3个关于c的“