高中数学必修三知识点

必修3：知识点

-：算法初步

1：算法的概念

(1)算法概念：通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的,

而且能够在有限步之内完成.

⑵算法的特点：

①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停顿，不能是无限的.

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果。

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开场，分为假设干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,

前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进展下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，但是答案是唯一的。

⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决。

2：程序框图

(1)程序框图基本概念：

①程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图

形。

一个程序框图包括以下几局部：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

②构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

表示一个算法的起始和完毕，是任何流程图不可少

起止框

的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任

输入、输出框何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等

处理框分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是〃

<>判断框或“Y〃；不成立时标明"否”或"N〃。

学习这局部知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是〃与“否〃两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断,

有几种不同的结果。

5、在图形符笏丙里趟语言要非常简练清楚「------一生一一1--------------------

3：算找岭坛磁辑”：顺序构隼、条件构造、循环的逢~

顺序描造在程序植囱中的表达就是可■京~#序框自上而下，连产息垦丁|一'——i—

按顺法执行算法步骤:如在示意图4,加油框是依次执句的，I运行'1I注行)

执行赏A框指定的搜池后，才能接者执dB框析指定的操作。!_________kr.—D___1....

(2)索件构意一条*构造是指在算法中通过对:条件的判断根据条件是否.赤手释永同流向的

算法构造。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行。

13)循环构造：在一些算法中，经常会出现从某处开场，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是

循环构造，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环构造中一定包含条件构造。循环构造又称重复构造，循环构

造可细分为两类：

①一类是当型循环构造，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，

再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止,

此时不再执行A框，离开循环构造。

②另一类是直到型循环构造，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍

然不同辛，则继续用行A框,直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环构造。

构着套到型循环构造

注辱1循环构遛要在某个条件下终止循环，这就需要条屋「不件构造来判断。

2%E循环构造中都有一个计数变量和累加变量。计数变“量用早记录循环次数，累加变量用于输出结

果。

4：输入、输出语句和赋值语句

(1)输入语句

①输入语句的一般格式INPUT”提示内容？变量

②输入语句的作用是实现算法、样的信息，变量是指程序在运行

时其值是可以变化的量；④输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；⑤提示内容与

变量之间用分号“；”隔开，假设输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，〃隔开。

⑵输出语句

①输出语句的一般格式

②输出语句的作用是实现PBINT”提示内容3表达式入什么样的信息，表达式是指程序要输

出的数据；④输出语句可以捌m吊里、义里取1衣以队啊1且以久于付。

(3)赋值语句

①赋值语句的一般格式|海日—声、十千一

②赋值语句的作用是将表达式所彳艾里=衣这或U中的“=〃称作赋值号，与数学中的等号的意义是

不同的。赋值号的左右两边不能刈伙，匕伯•烟1且节心出冷衣心式的值赋给赋值号左边的变量；④赋值语句左边只能

是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；⑤对于一个变量可以屡次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。如"A=B〃"B=A"的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进展代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)。

④赋值号“=〃与数学中的等号意义不同。

5：条件语句

(1)条件语句的一般格式有两种：①IF—THEN—ELSE语句；②IF—THEN语句。

®IF—THEN—ELSE语句IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。

IF条件图2

条南寸母行的操作内容;“语句

分析：彳"吾句中，”条件〃表示判断的条

THEN满足条件

2”表示勺操作内容；ENDIF表示条件语句生执行时，匕先对IF后的条件进展

判断,I语句1行THEN后面的语句1；假设条件不符合,隔亍ELSE后面的k吾句2。

②IF一1ELSE

语句语句2

IF各式为图3,对应的程序框图为图4。3

IF条件THEN

语

否

语句(图一

ENDIF［图3)

注意：”条件〃表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，完毕程序；ENDIF表

示条件语句的完毕。计算机在执行时首先对IF后的条件进展判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，假设

条件不符合则直接完毕该条件语句，转而执行其它语句。

6：循环语句

循环构造是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环构造，一般程序设计语言中也有当型(WHILE

型)和直到型(UNTIL型)两种语句构造。即WHILE语句和UNTIL语句。

(1)WHILE语句

①WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是

一循环

②当计算；WHILE条件先判断条件的真假，如果条件符4,就执行之间的循环体;

这仝如反复进展，直窜二次条件不符合为止。这

然后再才循环体卜仍符合，再次执行循环体,

的城％1c

时，计二:接跳到WEND语句卮f,因此，当型循环有时也称

为"前;WEND

(2)UNTIL语句I

①UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是否

②考©造分析，计算机执行该广军执行一次循环体，然后进展条件的判断，如

DOzap■jrr'

刀R百环体，然后再进展条件0个过程反复进展，直到某一次条件满足时，

循环体

riL语句后执行其他语环体)4进展条件判断的循环语句o

分析:LOOPUNTIL条件id：

旦

(1)到型循环先执行后判断；

(2)在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体；在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环。(例如：上课

时间睡觉，下课不睡觉)

7：辗转相除法与更相减损术

(1)辗转相除法。用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:

①用较大的数m除以较小的数n得到一个商S。和一个余数几；

②假设&=0,则n为m,n的最大公约数；假设&W0,则用除数n除以余数&得到一个商5＞和一个余数8；

③假设鸟=0,则与为m,n的最大公约数；假设&W0,则用除数％除以余数凡得到一个商邑和一个余数

区2；……依次计算直至4=0,此时所得到的々I即为所求的最大公约数。

⑵更相减损术

①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。假设是，用2约简；假设不是，执行第二步。

②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相

等为止，则这个数〔等数)就是所求的最大公约数。

98和63：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

8：秦九韶算法

(1〕秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-ix+....+aix+ao求值问题

nnl

f(x)=anx+an-ix+...,+aix+ao

n-1n-2

=(anx+an.ix+...,+ai)x+ao

n-2n_3

=((anx+an-ix+....+a2)x+ai)x+ao

=(...(anx+an.1)x+an-2)x+...+ai)x+ao

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即vi=anx+az然后由内向外逐层计算一次多项式的值,

即V2=VlX+an-2V3=V2X+an-3...Vn=Vn-lX+ao

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

9：进位制

(1)概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基

数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进展记

数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比方：十进数57,可以用二进制表示为111001,也

可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。

一般地，假设k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

4%)力约产,(M).•缘工甘<女…,<k)'

而表示笆中进位制衿厂般在数字右丁㈣口注来表示,如111,qi⑵表示二片制数,34⑸表示5进制数.

(2”进制转机挣陶制1魂t义

k+…+%xk+aoxk(10)

二进制noou⑵化为十进制

110011⑵=1x25+lx24+0x23+0x22+1x2'+1x2°=51

(3)十进制转化为k进制：除k取余法

注：k进制数之间的转化，首先转化成十进制，再转化为其他进制数。

二：统计

1：简单随机抽样

(1)总体和样本

①在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做总体容量.

④为了研究总体X的有关性质，一般从总体中随机抽取一局部：X】，X2,,「研究，我们称它为样本.其

中个体的个数称为样本容量.

(2)简单随机抽样。特点是：每个样本单位被抽中的可能性一样〔概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间

无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的根基。通常只是在总体单位之间差异程度较小和

数目较少时，才采用这种方法。

(3)简单随机抽样常用的方法：

①抽签法②随机数表法(③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。)

⑷抽签法步骤：

抽签法：

编号给总体中所有个体编号〔号码可以从1到n)

制签将1到n这n个号码写在形状、大小都一样的好签上

搅拌将好签放在一个容器中，搅拌均匀

\_________

抽签每次沉着器中不放回地抽取一个好签，并记录其编号，连续抽取X次

取样

从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出

（5）随机数法（利用随机数表编号）：

编号将总体中的每个个体编号

/---------\

定初值在随机数表中任选一个数作为开场的数

>--------<从选定的数开场按一定的方向（可以向右、向左、向上、向下）读数，得到的

选号号码假设不在编号中则跳过，假设在编号中则取出，如果得到的号码前面已取出则

一F-------跳过，如此继续下去，直到取满为止

W把选定的号码所对应的n个个体作为样本

2:~sK^cTOPrr

（1）系统抽样（等距抽样）：

系统抽样的步骤：

①将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k,对编号进展分段，当N/n是整数时，取卜=z!1；

③在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号m（mWk）

④按照一定的规则抽取个体，即：将m加上间隔k得到第二个个体编号［m+k）,以此类推。

3：分层抽样

（1）分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志〔性别、年龄等）划分成假设干类型或层次，然后按比例在各个类

型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

例如：高年级与低年级分开，男女分开…

样本容量各层样本容量

（2）分层的比例问题：抽样比=

个体容量—各层个体容量

简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习

4：用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）知道具体数据情况下求以下数值的方法：

o年士—A,+XH--------

①样本均值：x=———-2-------------

n

②样本标准差：5=77=叵—刈2+（0—1）2+…+（X/一Xp；方差：s2

Vn

③众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据〔可以是多个）。

④中位数：在样本数据中，累计频率为0.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

（2）观察频率分布直方图（不知道具体数据）时求以下数值的方法：

①样本众数：直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值。

②中位数：第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为1）；

第二步，确定中位数在哪个小长方形里〔中位数平分面积，两边各0.5）；

第三步，设中位数为x,则利用中位数平分面积，左边面积和为0.5列方程；

第四步，解方程，求出X。

③平均数：第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，〔面积=频率，总面积为1）；

第二步，求出每个小长方形的底边中点的横坐标。

第三步，面积与横坐标对应相乘

第四步，把第三步的结果相加，最终算出的数值即为平均数。

5:用样本的频率分布估计总体分布

1：画出频率分布表与频率分布直方图

频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，它

可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况。

具体步骤如下：

第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.

第二步：决定组距和组数：组距与组数确实定没有固定标准，需要尝试、选择，力求有适宜的组数，以能把数

据的规律较清楚地呈现为准.太多或太少都不好，不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关，

样本容量越大组数越多.一般来说，容量不超过100的组数在5至12之间.组距应最好“取整〃，它

注意：组数的“取舍”不依据四舍五入，而是当燥不是整数时，组数=［竺］+1.

组距组距

②频率分布折线图：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就得到频率分布折线图。

③总体密度曲线：总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，它能给我们提供更加精细的信息。

例如：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5〜18岁的男生的体重情况，结果

如下(单位：kg).

56.569.56561.564.576716663.556

66.56464.57658.559.563.5657074.5

7273.556677068.56455.572.566.5

57.565.5687175687657.56071.5

6268.562.56659.55769.57464.559

63.564.567.5736861.5676863.558

557266.574635965.562.569.572

6055.57064.55864.575.568.56462

6470.55762.56565.558.567.570.565

6971.57362586666.5706359.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计.

解：按照以下值的差

(1)求最大值与最小计.在上述数据中，最大值是76,最小值是55,极差是76—55=21.

(2)确定组距与组数.如果将组距定为2,那么由21+2=10.5,组数为11,这个组数适合的.于是组距为2,组数为

11.

(3)决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5,第1小组的终点可取为56.5,为了防止一个

数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是

[54.5,56.5),156.5,58.5),—,[74.5,76.5).

(4)列频率分布表.(频率=频数+样本总数〕

分组频数频率频率/组距

[54.5,56.5)20.020.01

[56.5,58.5)60.060.03

[58.5,60.5)100.100.05

[60.5,62.5)100.100.05

[62.5,64.5)140.140.07

[64.5,66.5)160.160.08

[66.5,68.5)130.130.065

[68.5,70.5)110.110.055

[70.5,72.5)80.080.04

[72.5,74.5)70.070.035

[74.5,76.5〕30.030.015

合计1001.000.50

⑸绘制频率分布直方图.

频率分布直方如图2—2—3所示.

连接频率直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.

2：茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。

例2：某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分情况如下

甲的得分：15,21,25,31,36,39,31,45,36,48,24,50,37；

乙的得分：13,16,23,25,28,33,38,14,8,39,51.

上述的数据可以用以以以下列图来表示，中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分

的个位数.

图2-2—5

6：变量间的相关关系：变量1的变化对变量2的结果有影响，但不是“函数〃，只能确定是''正相关、负相关〃，

则称“变量1与变量2具有相关关系"。

(1)回归直线：根据变量的数据作出散点图，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线

性相关的关系，这条直线叫做回归直线方程。

设已经得到具有线性相关关系的一组数据：

所要求的回归直线方程为：ybx+a,其中，a,b是待定的

Xooo

xX

1n系数。

常考常用：b,求a,再求当X等于某数值时，y的取值。

ooo

y%yn解法：计算x的平均数和y的平均数；

由回归直线过的样本中心点(乱，将x的平均数和y的平

均数对应代入回归方程，求出a；

当a、b确定后，回归方程就是方程，只需将x的值代入方程，就可求出y；同理，将的y的值代入，也可以求出

Xo

三：概率

1:随机事件的概率及概率的意义

m必然事件：在条件s下，一定会发生的事件，叫相对于条件s的必然事件；

(2)不可能事件：在条件s下，一定不会发生的事件，叫相对于条件s的不可能事件；

(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

(4)频数与频率：在一样的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数

七为事件A出现的频数；称事件A出现的比例力(A)=互为事件A出现的频率。(频率=频数+样本总数)

n

(5)当试验的次数越多时，频率就越接近一个稳定值，这个稳定值我们称之为“概率”，即频率可看成概率的近

似值。

2：概率的基本性质

(1)必然事件概率为1,不可能