2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之复数的概念

第13页（共13页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的概念一．选择题（共5小题）1．（2024秋•苏州期末）已知复数|z|＝1，复数z0满足|z0||z-A．1 B．12 C．13 D2．（2025•河南校级二模）若2z﹣1＝i（i为虚数单位），则|zA．2 B．1 C．22 D．3．（2024秋•日照期末）若复数z=-i-1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024秋•黄山校级期末）已知复数z＝i﹣i2024，则|zA．0 B．2 C．2 D．25．（2025•海淀区校级模拟）在复平面内，复数z＝（1+i）i，则z的共轭复数z对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 C．z1z2∈R是z1=D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则|（多选）7．（2025•文昌校级一模）已知复数z=A．|zB．z的虚部为﹣2i C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z的共轭复数为3+2i（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．2z1-B．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| C．若|z1|﹣|z2|＝0，则z1D．若|2z1|+|3z2|＝0，则z1＝z2＝0三．填空题（共4小题）9．（2024秋•江西期末）若复数z=1+i1-i，则|2•z2023+z2024|＝10．（2024秋•连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为．11．（2024秋•上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为．12．（2025•天水学业考试）已知复数z＝3﹣2i，则|z|＝．四．解答题（共3小题）13．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z满足z⋅（1）求z；（2）若复数|ω﹣z|≤|z+i|，求ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积．14．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．（1）复数z与复数2﹣12i相等；（2）复数z与复数12+16i互为共轭复数；（3）复数z在复平面内对应的点在实轴上方．15．（2024春•广平县校级期中）已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之复数的概念参考答案与试题解析题号12345答案DCBBD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•苏州期末）已知复数|z|＝1，复数z0满足|z0||z-A．1 B．12 C．13 D【考点】复数的模．【专题】数形结合；向量法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用几何方法考虑，利用复数模的几何意义||z|﹣|z0||≤|z﹣z0|≤|z|+|z0|，再利用已知|z|＝1解关于|z0|的不等式即可得出所求．【解答】解：利用复数模的几何意义||z|﹣|z0||≤|z﹣z0|≤|z|+|z0|，即2||z|﹣|z0||≤2|z﹣z0|≤2|z|+2|z0|由|z0||z-z0|=2得|z2||z|﹣|z0||≤|z0|≤2|z|+2|z0|，把已知|z|＝1代入写成不等式组|z23≤|z0|≤2由此得出|故选：D．【点评】本题考查复数的模长，属于中档题．2．（2025•河南校级二模）若2z﹣1＝i（i为虚数单位），则|zA．2 B．1 C．22 D．【考点】复数的模；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据模长公式即可求解．【解答】解：由2z﹣1＝i，得z=则z=12-12故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．3．（2024秋•日照期末）若复数z=-i-1+2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数的几何意义可得出结论．【解答】解：∵z=∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(-故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2024秋•黄山校级期末）已知复数z＝i﹣i2024，则|zA．0 B．2 C．2 D．2【考点】复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】应用复数乘方运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝i﹣i2024＝i﹣i4×506＝i﹣1，得zi=-故选：B．【点评】本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．5．（2025•海淀区校级模拟）在复平面内，复数z＝（1+i）i，则z的共轭复数z对应的点的坐标是（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝（1+i）i＝﹣1+i，∴z=-1﹣i则z对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z1B．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2 C．z1z2∈R是z1=D．|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，则|【考点】复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABC【分析】通过特例即可判断ABC；对于D，由复数模的几何意义判断D正确．【解答】解：令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然z12=令z1＝2+i，z2＝1+i，满足z1﹣z2＞0，显然z1＞z2不成立，故B错误；令z1＝1，z2＝﹣1，满足z1z2∈R，此时z1=z由|z1|＝1，|z2|＝1，|z1﹣z2|＝1，可知在复平面内复数z1，z2对应的点与坐标原点的连线构成边长为1的等边三角形，则|z1+z2|是以OZ1，OZ2为邻边的菱形的另一条对角线长，等于3，故D正确．故选：ABC．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的几何意义，是基础题．（多选）7．（2025•文昌校级一模）已知复数z=A．|zB．z的虚部为﹣2i C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z的共轭复数为3+2i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】根据复数的除法和乘法化简判断B，D，根据复数对应的点判断C，求出模长判断A．【解答】解：z=|z|=3z的虚部为﹣2，故B错误；z在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣2），在第四象限，故C正确；z=3+2i，故故选：ACD．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）8．（2024秋•商水县期末）已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．2z1-B．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2| C．若|z1|﹣|z2|＝0，则z1D．若|2z1|+|3z2|＝0，则z1＝z2＝0【考点】复数的模；共轭复数．【专题】转化思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，设z1＝a+biz2＝m+ni，由共轭复数定义可判断选项正误；对于B，由复数的向量定义结合三角形三边关系可判断各选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由复数模长定义可判断选项正误．【解答】解：对于A，设z1＝a+bi，z2＝m+ni，a，b，m，n∈R．则2z2z1-z2对于B，平移向量z1，z2，使两复数在复平面对应向量起点相同，则z1﹣z2对应向量为由z2对应向量终点指向z1对应向量终点所形成的向量，若z1z2对应的向量不共线，则向量z1，z2，z1﹣z2对应图形可组成三角形，由三角形三边关系可得：|z1﹣z2|＜|z1|+|z2|，若z1z2对应的向量共线，且方向相反，则|z1﹣z2|＝|z1|+|z2|，若z1，z2对应的向量共线同向，则|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|，综上，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|，故B正确；对于C，令z1＝i，z2＝1，则|z1|＝|z2|＝1⇒|z1|﹣|z2|＝0，但z12=-1，z22对于D，因|2z1|≥0|3z2|≥0，|2z1|+|3z2|＝0，则|2z1|＝|3z2|＝0⇒z1＝z2＝0．故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查共轭复数的概念及计算、复数的向量表示、复数模的求解等知识，通过对各选项进行分析判断来考查对复数性质的理解与运用．属于中等难度题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•江西期末）若复数z=1+i1-i，则|2•z2023+z2024|＝【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果．【解答】解：由z=所以|2•z2023+z2024|＝|2•i2023+i2024|＝|1﹣2i|=1+4故答案为：5．【点评】本题主要考查复数乘方运算及模长求法，属于基础题．10．（2024秋•连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为5．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】5．【分析】根据复数的模长公式即可求解．【解答】解：z＝1﹣2i，故|z故答案为：5．【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题．11．（2024秋•上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为1．【考点】复数的模．【专题】数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出复数z对应点的轨迹，数形结合可得答案．【解答】解：由|z+2i|＝1，得|z﹣（﹣2i）|＝1，∴复数z对应的点在以（0，﹣2）为圆心，以1为半径的圆周上，如图，∴当z＝﹣i时其模最小，此时|z|＝1．故答案为1．【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．12．（2025•天水学业考试）已知复数z＝3﹣2i，则|z|＝13．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】13．【分析】利用复数模的定义即可求得|z|的值．【解答】解：∵z＝3﹣2i，∴|z故答案为：13．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z满足z⋅（1）求z；（2）若复数|ω﹣z|≤|z+i|，求ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积．【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）z=（2）7π．【分析】（1）利用复数的乘法与除法能求出z，进而能求出z．（2）设ω＝x+yi（x，y∈R），利用复数的模长公式可得出（x-3）2+（y﹣1）2≤7，确定复数ω在复平面内的对应点的轨迹，能求出ω【解答】解：（1）∵z•i＝2（12+32i）2＝2（∴z=3∴z=（2）设ω＝x+yi（x，y∈R），则ω﹣z＝（x-3）+（y﹣1）i，z+i=3+∴|z+i|=3+由|ω﹣z|≤|z+i|，得（x-3）2+（y﹣1）2≤7∴ω在复平面内对应点形成以点（3，1）为圆心，半径为7的圆及其内部，∴ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积为S=π×(【点评】本题考查复数的运算，考查共轭复数、复数的运算法则、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024春•科左中旗校级期中）已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．（1）复数z与复数2﹣12i相等；（2）复数z与复数12+16i互为共轭复数；（3）复数z在复平面内对应的点在实轴上方．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的相等．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝﹣1；（2）m＝1；（3）（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．【分析】（1）（2）（3）根据复数相等的充要条件，共轭复数，几何意义求解即可．【解答】解：（1）z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，若复数z与复数2﹣12i相等，则m2+5m+6=2m2-（2）若复数z与复数12+16i互为共轭复数，得m2+5m+6=12m2-（3）由题意，知m2﹣2m﹣15＞0，解得m＜﹣3或m＞5，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（2024春•广平县校级期中）已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝1；（2）（1，2）．【分析】（1）由纯虚数定义直接求得；（2）由z在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得．【解答】解：（1）∵z是纯虚数，∴m2∴m＝1．（2）∵z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m2﹣m﹣2），在第四象限，∴m2∴1＜m＜2．即m的取值范围为（1，2）．【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．

考点卡片1．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．2．复数的相等【知识点的认识】复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．【解题方法点拨】﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．【命题方向】﹣复数相等的判定：考查如何根据复数的实部和虚部判断复数的相等．﹣复数方程的应用：如何在复数方程中应用复数相等的性质．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且4．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．