2024-2025学年甘肃省张掖市某校高三（下）检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省张掖市某校高三（下）检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2025−i2025在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ+1)b，若cA.1 B.12 C.1或−12 D.3.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为(

)A.13 B.14 C.24.若方向向量为(1,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5A.x+2y+7=0 B.2x+y+3=0 C.x+2y−6=0 D.2x+y−6=05.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax+1，则f(2025)=(

)A.0 B.1 C.2 D.20256.阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图(1)所示抽象成图(2)所示的平面图形.已知摩天轮的半径为40米，其中心点O距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈.摩天轮上一点P距离地面的高度为ℎ(单位：米)，若P从摩天轮的最低点处开始转动，则ℎ与转动时间t(单位：分钟)之间的关系为ℎ=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,φ∈[−π,π]).则摩天轮转动8分钟后，点P距离地面的高度为(

)A.50米 B.60米 C.65米 D.75米7.曲线f(x)=lnx−1与g(x)=ln(x−1)的公切线的斜率为(

)A.1 B.−1 C.e D.−e8.有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n<m−1)个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方(知道盲盒内部是否有奖品)打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p1；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为p2，则对任意符合题意的m，n，都有A.p1<p2 B.p1=p2

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为y=bA.b=0.24

B.当x=8时，y的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数10.已知抛物线C1：y2=2px与双曲线C2：x2−y2A.双曲线C2的离心率为2 B.双曲线C2的渐近线为y=±33x

C.p=4 D.11.已知f(x)=x−a,x≤1,x2−3ax+2A.当a=0时，f(x)为增函数 B.当a≤0时，f(x)的值域为R

C.f(f(a))=−a D.f(x)与x轴有两个交点时，a>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α，β都为锐角，cosα=513，sin(α−β)=35，则13.已知关于x的不等式2x−5x2−a≤1的解集为M，若3∉M，则实数14.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1，a3，a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=ac−2ccosB．

(1)求c；

(2)若D为AB中点，CD=2，∠ACB=60°，求△ABC的周长．16.(本小题12分)

P为圆M：(x+1)2+y2=8上任意一点，另有一点N(1,0)，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q．

(1)当点P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程C；

(2)直线l与C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O17.(本小题12分)

如果数列{an}对任意的n∈N∗，an+2−an+1>an+1−an，则称{an}为“速增数列”．

(1)判断数列18.(本小题12分)

如图，三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=π3．

(1)证明：PB⊥AC；

(2)若侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(0<λ<1)，过B，D两点作平面α，满足直线AC//α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成角为19.(本小题12分)

已知函数f(x)=(x+1)lnx−(m+1)x+2，m∈R．

(1)当m=1时，求f(x)的单调区间；

(2)若对任意x∈(1,+∞)，都有f(x)+5>0恒成立，求m的最大整数值；

(3)对于任意的n∈N∗，证明：13参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.566513.(8,9]

14.1012

15.解：(1)由2bcosC=ac−2ccosB及余弦定理，

可得2b⋅a2+b2−c22ab=ac−2c⋅a2+c2−b22ac，

整理得a2+b2−c2=a2c−a2−c2+b2，

即2a2=ac，又a>0，

所以c=216.解：(1)因为Q为NP垂直平分线上的点，

所以|QN|=|QP|，

因为|QP|+|QM|=22，

所以|QM|+|QN|=22>|MN|，

所以Q点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a=22，

解得a=2，c=1，

则b2=1，

故动点Q的轨迹方程为x22+y2=1；

(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

当直线l斜率不存在时，

由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=−y2，

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，

所以OA⋅OB=0，

此时x1x2+y1y2=0，

即x12−y12=0，

因为点A在曲线C上，

所以x122+y12=1，

所以|x1|=|y1|=63，

则点O到直线AB距离d1=|x1|=63；

17.解：(1)如果数列{an}对任意的n∈N∗，an+2−an+1>an+1−an，则称{an}为“速增数列”，

数列{3n}为“速增数列”.理由如下，

数列{3n}对∀n∈N∗，有an+2−an+1=3n+2−3n+1=2⋅3n+1,an+1−an=3n+1−3n=2⋅3n，

所以(an+2−an+1)−(an+1−an18.解：(1)证明：三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，

∵BC=2AB=2，∠ABC=π3，

∴在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=5−4cosπ3=3，

∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，△ABC为直角三角形，

作BF⊥PA，垂足为F，

∵平面PAB⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，BF⊂平面PAB，

∴BF⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BF⊥AC；

∵BF∩AB=B，BF，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，

∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥AC．

(2)侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(0<λ<1)，过B，D两点作平面α，

∵AC//α，平面α∩平面PAC=DE，∴AC//DE，

又PE=λPC(0<λ<1)，

以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，P(12,0,32)，A(0,0,0)，C(0,3,0)，

∴PA=(−12,0,−32)，PC=(−12,3,−32)，BP19.解：(1)当m=1时，f(x)=(x+1)lnx−2x+2，x∈(0,+∞)，则f′(x)=lnx+1x−1，

令g(x)=f′(x)=lnx+1x−1,x>0，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，

令g′(x)>0，解得x>1，令g′)x)<0，解得0<x<1，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，

又g(1)=0，f′(x)=g(x)≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；

(2)由题意可得，对任意x∈(1,+∞)，(x+1)lnx−(m+1)x+7>0恒成立，

即对任意x∈(1,+∞)，m+1<(1+1x)lnx+7x恒成立，

令ℎ(x)=(1+1x)lnx+7x，x∈(1,+∞)，

则ℎ′(x)=−1x2lnx+(1+1x)⋅1x