2024-2025学年上学期高一数学人教A版期中必刷常考题之平面向量的运算

第22页（共22页）2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之平面向量的运算一．选择题（共5小题）1．（2024秋•商洛期末）已知非零向量a→，b→满足|a→|=8|b→|，向量A．π3 B．π4 C．π6 2．（2024秋•金华期末）已知向量a→=（cosθ，sinθ）与向量b→=（﹣1，1）垂直，则A．1 B．2 C．3 D．23．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．4．（2025•盐城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 5．（2025•芜湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量为32b→A．6 B．12 C．24 D．9二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•丹东期末）已知向量a→、b→、c→A．|a→-b→C．|a→+b→+c（多选）7．（2024秋•辽宁期末）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→A．若＜a→，b→＞=π6B．当（4a→-3b→）⊥bC．若＜a→，b→＞∈（0，π3），|a→-D．当＜a→，b→＞∈（π3，π）时，（多选）8．（2024秋•红河州期末）已知平面直角坐标系中三个点A(-1，1)A．△ABC是锐角三角形 B．CA→在CB→上的投影向量为C．CD→D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E的坐标为(三．填空题（共4小题）9．（2024秋•诸暨市期末）已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→10．（2024秋•樟树市校级期末）已知向量a→=(-1，2)，b→=(3，4)，则a11．（2024秋•青岛期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，则12．（2024秋•合肥期末）已知点A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），则AB→在AC→上的投影向量的模为四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，14．（2024秋•沈阳校级期末）如图，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P为△ABC内部一点，且BP→=-49a→+15．（2024秋•让胡路区校级期末）已知向量a→=(2cos2x，3（1）求函数g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，

2024-2025学年上学期高一数学人教A版（2019）期中必刷常考题之平面向量的运算参考答案与试题解析题号12345答案ACBCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•商洛期末）已知非零向量a→，b→满足|a→|=8|b→|，向量A．π3 B．π4 C．π6 【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】根据数量积的几何意义可得a→【解答】解：设非零向量a→，b→的夹角为θ，θ∈因为向量a→在向量b→方向上的投影向量是则a→则cosθ=所以θ=故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．2．（2024秋•金华期末）已知向量a→=（cosθ，sinθ）与向量b→=（﹣1，1）垂直，则A．1 B．2 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由向量的数量积为零得到cosθ＝sinθ，再由向量模长的运算结合同角三角函数关系求解．【解答】解：a→=（cosθ，sinθ），b→=（﹣由a→⊥b即cosθ＝sinθ，所以|=1+2故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查向量垂直的性质，属基础题．3．（2025•孝义市模拟）已知向量a→=（2，3），b→=（x，4），若a→A．1 B．12 C．2 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据题意，求出向量a→-b→的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝【解答】解：根据题意，向量a→=（2，3），b→=（则a→-b→=（2若a→⊥（a→-b→），则有a→•（a→-b→）＝2（解可得：x=故选：B．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．4．（2025•盐城一模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】对应思想；转化法；平面向量及应用．【答案】C【分析】直接由平面向量数量积的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：a→=（1，m），b→=（若a→⊥b→，则2﹣m＝0，解得：m＝故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，是基础的计算题．5．（2025•芜湖一模）已知向量a→在向量b→上的投影向量为32b→A．6 B．12 C．24 D．9【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】由投影向量的概念列式即可求解．【解答】解：向量a→在向量b→上的投影向量为32可得a→⋅b故选：C．【点评】本题考查投影向量的概念，属基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•丹东期末）已知向量a→、b→、c→A．|a→-b→C．|a→+b→+c【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】由已知可得出a→-b→=2c→，可判断A选项；在等式|a→-b【解答】解：对于A，向量a→、b→、由a→-b所以|a→-对于B，将等式|a可得a→2-2a所以|a故|a→+对于C，因为a→-b所以a→所以|=(1+22)2对于D，a→若a→+b→-c→与即(1-22即a→∥b→，这与故选：AC．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．（多选）7．（2024秋•辽宁期末）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→A．若＜a→，b→＞=π6B．当（4a→-3b→）⊥bC．若＜a→，b→＞∈（0，π3），|a→-D．当＜a→，b→＞∈（π3，π）时，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】由投影向量的概念计算即可判断A；由向量垂直的性质建立方程，求解即可判断B；由向量模的求法即可判断C，D．【解答】解：对于A，a→⋅b→=|a→||b对于B，由（4a→-3b→）⊥b→，得所以cos＜a→，b→＞对于C，当＜a→，b→＞∈（0，π3）时，a→所以|a→-对于D，当＜a→，b→＞∈（π3，π）时，a→所以|a→-故选：AC．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，模的求法，属于中档题．（多选）8．（2024秋•红河州期末）已知平面直角坐标系中三个点A(-1，1)A．△ABC是锐角三角形 B．CA→在CB→上的投影向量为C．CD→D．若四边形ABCE为平行四边形，则点E的坐标为(【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】根据平面向量CA→，CB根据投影向量的定义，即可判断B；根据中点坐标公式，平面向量数量积的定义即可判断C；根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合相等向量的定义，即可判断D．【解答】解：平面直角坐标系中三个点A(则CA→=(-1，3)则|AB→|=|CA→|=|CB因为CA→在CB→上的投影向量为CA→对于C选项：因为点D为线段AB中点，所以D（0，1），所以CD→=(0，3)，又BC对于D选项：设E（x，y），则EA→若四边形ABCE为平行四边形，则EA→=CB即-1-x=11-y=故选：ABD．【点评】本题考查了投影向量的定义，属于基础题．三．填空题（共4小题）9．（2024秋•诸暨市期末）已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】5．【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得m2＝1，再应用坐标公式求|a【解答】解：向量a→=（2，m），b→=（﹣则2a又2a→+所以(2a→+b→)⋅所以|a故答案为：5．【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．10．（2024秋•樟树市校级期末）已知向量a→=(-1，2)，b→=(3，4)，则a【考点】平面向量的数量投影．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】1．【分析】根据向量的坐标运算可得a→⋅b【解答】解：因为a→=(-1，2)，b→所以a→在b→方向上的投影数量是故答案为：1．【点评】本题主要考查投影数量的求解，属于基础题．11．（2024秋•青岛期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，则【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】103【分析】直接由空间向量垂直的坐标运算列式求解x值．【解答】解：∵a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且∴2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x＝0，解得x=10故答案为：103【点评】本题考查空间向量垂直的坐标运算，是基础题．12．（2024秋•合肥期末）已知点A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），则AB→在AC→上的投影向量的模为2【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】23【分析】首先求出AB→、AC→的坐标，即可得到AB→⋅AC【解答】解：因为A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），所以AB→=(3，所以AB→⋅AC所以AB→在AC→上的投影向量的模为故答案为：23【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•珲春市校级期末）已知a→=(23sinx，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知f(x0)=135，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）[-π3+kπ【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简f（x），然后求解单调递增区间；（2）根据角的配凑可得cos2【解答】解：（1）f=2sin令-π解得-π故函数f（x）的单调递增区间为[-（2）因为f(x0所以sin(2又x0∈[π所以cos(2所以cos=cos=4-3【点评】本题考查三角函数性质，考查两角和差公式，二倍角公式，属于中档题．14．（2024秋•沈阳校级期末）如图，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P为△ABC内部一点，且BP→=-49a→+【考点】平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）AN→=1（2）证明见解答．【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出AN→=1（2）计算出MP→=19b【解答】解：（1）由题可知，AN→MN→（2）证明：由BP→可得MP→因为MN→=3MP所以M，P，N三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．15．（2024秋•让胡路区校级期末）已知向量a→=(2cos2x，3（1）求函数g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】综合题；函数思想；向量法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接由向量的平方等于向量模的平方可得g（x），降幂后利用周期公式求得函数周期；（2）利用数量积的坐标运算求得f（x），由f（C）＝3求得C，再由余弦定理及已知求得a，b的值．【解答】解：（1）b→∴g(∴函数g（x）的最小正周期T=（2）∵a→=(2cos∴f=2co则f(∴sin(∵C是三角形内角，∴2C+π6∈(∴cosC=∵c＝1，ab=23，∴a2+b2＝联立a2+b2=7ab=23∴a=3或当a=3时，b＝2；当a＝2，∵a＞b，∴a＝2，b=【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．

考点卡片1．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜当λ＝0时，λa→与a对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a（2）向量数乘运算的法则①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+3．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算4．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．5．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．6．平面向量的数量投影【知识点的认识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2、向量的投影：|b→|cosθ=a→⋅b→|7．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．8．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点