数学（北京卷）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学·参考答案一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678910ADBDBBACCC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．0 12． 13.14.（答案不唯一）15.②③④三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16.（13分）【详解】（1）由题意知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，故函数最小正周期，即，故；..................................2分选①：函数为偶函数，即为偶函数，..................................3分故，..................................5分又，故，则；..................................6分选②：，则，即..................................3分则或，即或，..................................5分结合，故，则；..................................6分选③：，，则时，函数取最大值，..................................3分故，..................................5分结合，故，则；..................................6分（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，即，..................................7分当时，，结合在上单调递增，在上单调递减，，..................................10分可知当，即时，取最大值2；..................................12分当，即时，取最小值1...................................13分（14分）【详解】（1）棱柱的所有棱长都为2，所以底面为菱形，故,..................................1分平面平面,且,平面,..................................3分平面,..................................4分且平面,..................................5分（2）连接,为的中点,为的中点,,且平面，平面，..................................6分平面..................................7分（3）平面所以侧棱与底面的所成角为，即,..................................8分作,由（1）知，,且,平面,平面,且平面,,..................................10分故即二面角的平面角，由（1）知，平面,且平面,,,且,,,,..................................12分.故二面角的余弦值为.................................14分18．（本题13分）【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．..................................2分（2）由题设，的所有可能取值为．估计为；..................................3分估计为；..................................4分估计为；..................................5分估计为．..................................6分估计的数学期望．..................................7分（3）估计为；..................................9分估计为；..................................11分估计为，..................................12分，所以与相互独立．..................................13分19.（本题15分）【详解】（1）由椭圆的定义知，，故，..................................1分所以椭圆的方程为，故，..................................2分所以椭圆的离心率为...................................3分（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则联立可得：，则，解得：，..................................5分设，，则，，..................................6分由可得：，即，..................................7分设，由可得：，..................................8分即，即，..................................9分则，..................................11分因为点在直线上，所以，所以点在定直线上，..................................12分若直线的斜率不存在，过的直线与椭圆交于、两点，，，所以，..................................13分则，..................................14分所以，解得：，满足点在定直线上...................................15分（本题15分）【详解】（1），..................................2分由题意可知是在处的切线方程，所以且，故..................................4分（2）由（1）知，所以，..................................5分所以，..................................6分令，当单调递增，当单调递减，..................................7分因此在单调递增，故，所以函数在上单调递增..................................8分（3）由（2）知:当单调递增，当单调递减，所以当时，取最小值，且，故存在，使得..................................10分因此当和当因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减，..................................12分由于，，因此存在使得，..................................13分故当时，，此时单调递减，当时，，单调递增，故在时取极小值，..................................14分故有1个极值点...................................15分21．（本题15分）【详解】（1）解:由题知,..................................1分即..................................2分因为,所以不具有性质,..................................3分由于,即.................................4分因为故具有性质,..................................6分因为故;..................................7分（2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,假设两个元素均不在中,则有..................................8分不妨设,若,则由,可得,..................................9分与矛盾,故,同理,从而,所以,与具有性质矛盾,所以假设不成立,即;..................................11分（3）设规定时,,时,,则,所以,............................