2024-2025学年沪科版七年级数学下册同步训练：平方根、立方根（原卷版）

第01讲平方根、立方根

01学习目标

课程标准学习目标

1求一个数的算术平方根

1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，并了解被开方数的

2利用算术平方根的非负性解题

非负性；

3估计算术平方根的取值范围

2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，进

4与算术平方根有关的规律探索题行简单的开平方运算。

5算术平方根的实际应用3.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

6平方根概念理解4.会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运

算。

7平方根的应用

5.了解立方根的性质。

8立方根概念理解6.区分立方根与平方根的不同。

9求一个数的立方根学习重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根

10立方根的实际应用学习难点：了解被开方数的非负性；

02思维导图

01.平方根

02琳平碇

知识点03非城的颉：琳平751g

04立方根

05计算器一数的开方

01求一个数的算术平方根

02利用算术平方根的非负性解题

平方根、立方根

03估计算术平方根的取值范围

0但算术平方根有关的规律探索题

05算术平方根的实际应用

逊

06平碇

07平方根的应用

08立方根概念理解

09求的立方根

10的实

知识清单

知识点01.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-.

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

【即学即练】

1.（2024春•颍泉区校级月考）实数0.36的平方根是（）

A.0.6B.-0.6C.±0.6D.±0.06

知识点02算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即/=a,那么这个正数x叫做。的算术

平方根.记为

（2）非负数a的算术平方根”有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根”本身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借

助乘方运算来寻找.

【即学即练】

2.（2024春•金安区校级月考）64的算术平方根是（）

A.±4B.±8C.4D.8

知识点03非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不

等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

【即学即练】

3.（2024春•蚌埠月考）已知x,y为实数，且K斤+（y+2/=0,则（x+y）2023的值为（）

A.±1B.0C.-1D.1

知识点04立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a,那

么x叫做。的立方根.记作：如.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数0的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号五中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

【即学即练】

4.（2024春•大观区校级月考）若J口+3+25）2=0,则而的值为（）

A.-5B.5C.15D.25

知识点05计算器一数的开方

正数。的算术平方根。与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位,

即a每扩大（或缩小）100倍，。相应扩大（或缩小）10倍.

【即学即练】

5.（2023春•金安区校级月考）如图，某同学利用计算器中的匹］,回三个按键设置计算程序,

以下是这三个按键的功能.

①©:将荧幕显示的数变成它的算术平方根；

②HZ3：将荧幕显示的数变成它的倒数；

③旧：将荧幕显示的数变成它的平方.

小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算.

输入x------►x2------►l/x------►VF

第一步第二步第三步

若一开始输入的数据为10,那么第2021步之后，显示的结果是（）

Vio

B.100C.0.1D.0.01

10

E题型精讲

题型01求一个数的算术平方根

1.（20.21七年级下•安徽安庆・期末）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是

（）

所对下体算术平方根I不是［理智输瓯

是有理数

A.GB.9C.3D.-V3

2.（23-24七年级下•全国•期末）已知a=J所，则。的算术平方根是.

3.（23-24七年级下•安徽淮北•阶段练习）已知正数x的两个不同的平方根分别是-4加-4和12+2加.

⑴求加，x的值；

（2）x-8y的算术平方根是16,求X-/-12的平方根.

题型02利用算术平方根的非负性解题

4.（21-22七年级下•安徽六安・期末）若7^=7+|6-9|=0,则，的平方根是（）

3399

A.-B.±-C.-D.±-

2244

5.（23-24七年级下•安徽安庆•期末）已知（。+6）+"-2=0,则ab的值是

6.（2024七年级下•安徽•专题练习）若|a-3|+VF£=0,求/-26+1的值.

题型03估计算术平方根的取值范围

7.（23-24七年级下•安徽六安•阶段练习）估算回+1值是在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

8.（23-24七年级下•安徽蚌埠•期中）已知一个正数的两个平方根分别是2a+5和3a-15.

⑴求这个正数；

⑵请估算26“的算术平方根在哪两个连续整数之间.

题型04与算术平方根有关的规律探索题

9.（23-24七年级下•安徽亳州•期中）若丽=103,4=1.03,则x的值是（）

A.1060.9B.10.609C.106.09D.1.0609

10.（23-24七年级下•安徽淮南,阶段练习）已知V^X=2.5,则J0.0625=.

11.（23-24七年级下•安徽芜湖•期中）（1）填表并观察规律：

a0.00640.64646400

4a

（2）根据你发现的规律填空：

①已知V33.64=5.8,则V33640000=；

②已知J12.25=3.5,&=0.035,贝1|无=.

（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明.

题型05算术平方根的实际应用

12.（23-24七年级下•安徽阜阳•期末）面积为4的正方形，其边长等于（）

A.4的算术平方根B.4的平方根

c.4的立方根D.V?的算术平方根

13.（23-24七年级下•安徽黄山•期中）已知Jx+5=2，则》=.

14.（23-24七年级下•安徽阜阳•阶段练习）如图，用两个面积为200cm2的小正方形纸片拼成一个大的正方

形纸片.

⑴大正方形纸片的边长是；

（2）若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为5:2,

且面积为360cm2?

题型06平方根概念理解

15.（23-24七年级下•安徽,单元测试）下列各数中，没有平方根的是（）

A.0B.（—3）2C.-32D.-（-3）

16.（23-24七年级下•安徽淮北•阶段练习）如果a,6分别是2024的两个平方根，那么。+6-必=.

17.（20-21七年级下•安徽亳州•阶段练习）一组实数按下列规律排列：

1;亚;百；2；Vs;V6;V7第1行

V8:3:Vio；VH;V12;V13:A/14第2行

V15;4；Vn;V18;V19；V20；第3行

根据这个规律解答以下问题：

（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是

（2）实数血而排在第几行第几列？并说明理由.

题型07平方根的应用

18.（23-24七年级下•安徽淮南•阶段练习）一个非负数的平方根是2a-1与2-a,那么这个数是（）

A.1B.9C.一1或1D.1或9

19.（23-24七年级下•安徽宣城•期中）一个正数的平方根是a+2和2a-17,那么这个数是

20.（23-24七年级下•安徽阜阳•阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组

成，体积为27.

⑴求出这个魔方的棱长.

（2）图中阴影部分是一个正方形N8CD,求出阴影部分的面积及其边长.

题型08立方根概念理解

21.（23-24七年级下•安徽淮北•期中）一2是-8的（）

A.算术平方根B.平方根C.立方根D.立方

21.（23-24七年级下•安徽合肥•期中）已知41+26与43b-5相等，则b的值为

22.（22-23七年级下•安徽池州•期中）已知某正数的两个不相等的平方根分别足。+3和2.-15,6的立方

根是-2,求3a+6的值.

题型09求一个数的立方根

23.（23-24七年级下•安徽六安•阶段练习）64的立方根为（）

A.4B.±4C.V?D.土返

24.（23-24七年级下•安徽合肥,期中）把两个半径分别为1cm和而cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球,

4

则这个大铅球的半径是—cm（球的体积公式厂=§口3,其中「是球的半径）.

28.（23-24七年级下•安徽阜阳•期中）求x的值：

（1）9/=16

（2）8（3x-2）3=-64

题型10立方根的实际应用

27.（21-22七年级下•安徽六安,期中）如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原来

的多少倍？（）

A.3B.4C.6D.8

28.（22-23七年级下•安徽池州,期末）若血后元=0.7160,43.670=1.542,4-0.003670=.

29.（22-23七年级下•安徽淮南•阶段练习）求下列x的值

（1）9X2-25=0;

（2）/-26=1.

强化训练

一、单选题

1.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.一如与烟B.舛与-我C.卜亚与应D.也与舛

2.若a,b互为倒数，且c,d互为相反数，贝+的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

3.下列等式正确的是()

A.-725=-5B.J(-3)2=-3C.9=±4D.=-2

4.下列说法中正确的是（）

士的平方根是土）

A.一16没有立方根B.1的立方根是±1C.D.一

366

3的立方根是正

5.自然数。没有（）

A.倒数B.相反数C.算术平方根D.立方根

6.如果y=J^+/^+l,则2x+y的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

7.已知江工=-2,则G的值是（）

A.1B.2C.3D.4

8.计算囱的结果中（）

A.9B.-9C.3D.-3

9.下列说法正确的是（）

A.-9的平方根是±3B.-9的算术平方根是-3

C.J语的平方根是±4D.0的平方根与算术平方根都是0

10.下列命题中，是真命题的是（）

A.囱的算术平方根是3B.5是25的一个平方根

C.1的平方根是1D.64的立方根是：t4

二、填空题

11.若一个正数的平方根是。和2.-1,求。的值为

12.已知百=1.732,则.

13.如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是—.

14.已知班2.515,不使用计算器，求J0.0000159的近似值

三、解答题

15.把一个长、宽、高分别为12cm,9cm,2cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块

的棱长.

16.(1)计算：-^64+^(-4)2-7^-；

(2)解方程：3(X-2)3+81=0.

17.已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm,第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大184cm工

求第二个正方体纸盒的棱长.（结果精确到0.001cm）

18.如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.

⑴拼成的正方形的面积与边长分别是多少？

（2）你能够在4x4的方格图内，画出面积为10的正方形吗？