2024北师大版七年级数学下册 第二章《相交线与平行线》模型解题：铅笔模型（含答案）

相交线与平行线之“铅笔模型，，

（模型解题技巧+例题讲解+强化训练）

【模型解题技巧】

一、“铅笔”模型

从猪蹄模型可以看出,点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图:

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=360°

二、模型证明

如图，若AB〃CD,求证：ZB+ZE+ZD=36O°

证明一：如图，过点E作FG//AB

•••AB//FG,AB//CD

FG//CD

•••AB//FG

NBEF+NB=180。（两直线平行，同旁内角互补）

••・FG//CD

.・./D+/DEF=180。（两直线平行，同旁内角互补）

・•.Z.BEF+ZB+ZD+ZDEF=36O°

z.B+zD+z.BED=360°

证明二：如图，连接BD,

•・•AB//CD

・•・ZABD+ZBDC=18O°

在4BDE中，ZDBE+ZE+ZEDB=18O°

・•・ZDBE+ZE+ZEDB+ZABD+ZBDC=36O°

・•.ZABD+ZDBE+ZE+ZEDB+ZBDC=36O°

・•.ZABE+ZE+ZCDE=36O°

证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里

的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。

三、猪蹄模型和铅笔头模型关系

1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型

ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，zABE+zCDE=zBED

•・•zABE+zFBE=180°,zCDE+zGDE=180°

ZABE=18O°-ZFBE,zCDE=180°-zGDE.-.180°-Z.FBE+180°-zGDE=zBED

・•.ZFBE+ZGDE+ZBED=36O°

2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型

A

BF

ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得,

ZABE+ZBED+ZCDE=36O°

•••ZABE+ZFBE=18O°,zCDE+zGDE=180°

ZABE=18O°-ZFBE,zCDE=180°-zGDE

.­■18O°-ZFBE+ZBED+180°-Z.GDE=360°

NFBE+NGDE=NBED

【例题讲解】

Z2=140°,试求N3的度数.

2.如图，已知直线4，4与4、4分别交于点A、B,动点P在直线4上且不与点A、3重合.点E在

4上，且位于点A的左侧，点F在4上，已知=ZPFB=Z2,NEPF=Z3.

(1)当点尸在点3的左侧时，

①点尸在图1的位置时，若4=25。，N2=35。，求N3的度数.

②点尸在图2的位置时，试说明/I,N2,N3之间的关系.

(2)当尸在3右侧，且NEPF<180。时，请直接写出/I,Z2,N3之间可能的关系.

3.已知，MN//PQ,直线回交"N于点A,交尸。于点3,点C在线段上，过C作射线CE、CF分

图1图2图3

(1)如图1,当C£_LCF时，求N/4EC+NMC的度数；

(2)如图2,若NMEC和NPET的角平分线交于点G,求NECF和NG的数量关系；

(3)如图3,在(2)的基础上，当CE_LCF,且NABP=60。，NACE=20。时，射线FT绕点歹以5。每

秒的速度顺时针旋转，设运动时间为f秒，当射线FG与AAEC的一边互相平行时，请直接写出r的值.

4.已知直线MN//PQ,点C、3分别在直线MN、P。上，点A在直线MN和PO之间.

(1)如图1,求证：ACAB-ZMCA=ZPBA^

(2)如图2,CD//AB,点E在直线P。上，且NMC4=NOCE,求证：AECN=NCAB；

(3)如图3,BF平分/PBA,CG平分N4QV,且诙//CG.若NC4B=50。，直接写出NAFB的度数.

图2图3

【强化训练】

5.如图，直线PQ//AW,两个三角形如图①放置，其中NABC=NCDE=90。，ZACB=30°,ABAC=60°,

ZDCE=ZDEC=45°,点E在直线尸。上，点3,C均在直线上，且CE平分NACN.

（1）求ZDEQ的度数；

（2）如图②，若将AABC绕3点以每秒3。的速度按逆时针方向旋转（A,C的对应点分别为尸，G）.设旋

图①图②图③

6.综合与探究

数学活动课上，老师以“一个含45。的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1,已知直线〃?//〃,

直角三角板ABC中，ZACB=90°,ABAC=ZABC=45°.

（1）如图1,若N2=65。，贝1/1=；（直接写出答案）

（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2,调整三角板的位置，当三角板ABC的直角顶点C

在直线〃上，直线〃7与4?,AC相交时，他们得出的结论是：Zl-Z2=135°,你认为启航小组的结论是否

正确，请说明理由；

(3)如图3,受至IJ“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位

置，当点C不在直线〃上，直线机与AC,3c相交时，4与N2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识

说明理由.

7.在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB//CD,点N在直线CD上,

点尸在直线至上，点以为平面上任意一点，连接MP,MN,PN.

(1)如图1,点M在直线CD上，PM平分■ZAPN,试说明=

(2)如图2,点M在直线帅，CD之间，NPMN=70°,ZMNC=30°,求/4PM的度数；

(3)如图3,N针M和NMNC的平分线交于点。，NPQN与NPMN有何数量关系？并说明理由.

8.综合与探究

已知直线AB//CD,直线£F分别与AB,CD交于点G,H(0°<ZEHD<90°).将一把含30。角的直角三

角尺尸祢V按如图1所示的方式放置，使点N,M分别在直线AB,CD上，且在直线EF的右侧.

(1)填空：ZPNB+ZPMD____ZMPN.(填“>”“〈”或“=”)

(2)若NMNG的平分线N9交直线CD于点O.

①如图2,当NO//RW〃EF时，求NEHD的度数;

②如图3,若将三角尺PMN沿直线54向左移动，保持(点N不与点G重合)，点N,M分别在

直线钻、CD上，请直接写出4/ON和之间的数量关系.

图1图2图3

9.已知直线MN、P。被射线54所截，且MN//PQ,点。是直线MN上一定点，点C是射线54上一动

点，连接CD,当NADC/90。时，过点C作CE_LCD交直线尸。于点E.

(1)如图1,当点C在线段4?上时，写出加C和NCEB之间的数量关系，并完成下面的证明.

解：(1)NADC和NCEB之间的数量关系：ZADC+ZCEB=90°.

证明：过点C作CF//MV.

■.■MN//PQ,CF//MN,

.-.MN//CF//PQ(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，

-,-MN//CF,

:.ZADC^(),

■：CF//PQ,

:.ZFCE=ZCEB,

.CDLCE,

:.ZDCE=(),

即ZDCF+NECF=90。,

:.ZADC+ZCEB=90°（等量代换）.

（2）当点C在线段54的延长线上时，请直接写出“心和NCEB之间的数量关系.（不必证明）

图1

备用图

10.已知AB//CD,直线EF和直线回，CD分别交于点A,C,并把平面分成六个区域（如图甲），点P

是六个区域中（不在直线AB,CD,EF上）的任意一点，连接R4,PC.

（1）图乙是点P在区域⑤的情况，嘉嘉猜想出NAPC,Z4,NC之间的数量关系，请帮她完善证明过程；

嘉嘉猜想的结论是：ZAPC=ZA+Z,C.

证明：过点尸作PQ//AB,

,-.zi=z（）.

■.■AB//CD,PQ//AB,

:.CD//PQ（）.

,-.Z2=Z（）.

.-.Zl+Z2=.

又N1+N2=ZAPC,

:.ZAPC=ZA+ZC.

（2）图丙是点尸在区域②的情况，那么（1）中的结论还成立吗？请加以证明;

（3）请你探索点P在①③④⑥区域时的情况，并直接写出NAPC,NA,/C之间的数量关系.

甲丙

11.如图1,AB//CD,E,G是直线上的点，F,4是直线CD上的点，Z.EGH=Z.EFH.

(1)求证：EF//GH.

（2）如图2,N为ZGEF平分线上的一点，连接RV.

①求证：ZNFH=ZFEN-ZENF；

②若ZAEF=NENF,ZEFN=脩，求Z4EF的度数.

12.【学习新知】

射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1,AB是平

面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为N1,反射光线与水平镜面的夹角为N2,则4=N2.

(1)【初步应用】

生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距.如图2当一束“激光”0a射到平面镜AB上，

被平面镜至反射到平面镜3C上，又被平面镜反射后得到反射光线2E,回答下列问题：

①当//EQNAOQ=30。(即4=30。)时，求NOQzE的度数；

②当NB=90。时，任何射到平面镜AB上的光线0a经过平面镜AB和3c的两次反射后，入射光线与反射

光线总是平行的.请你根据所学知识及新知说明理由.

(提不：三角形的内角和等于180。)

(2)【拓展探究】

如图3,有三块平面镜他，BC,CD,入射光线经过三次反射，得到反射光线C尸已知4=/6=35。，

若要使EOJ/O.F,请直接写出ZB的度数；

E

1

AB，

\r

入射藕、^光线

A0BB02c

图1图2图3

13.如图1,点Af在射线54,CD之间，0。<//团/<30。，连接3”,过点Af作ME，5似交射线CD于

点、E,5.ZMED-ZB=90°.

(1)求证：AB//CD；

(2)过点C作NEQV=/3,交直线ME于点N,先按要求画图，再解决下列问题.

①当&V在CD上方，满足NQVE=5N3时，在图2中画图，求NB的度数;

②作NfiME的角平分线交射线CD于点K,交NECN的角平分线于点尸，请直接写出NMKC与NMFC之

图2图3

14.已知AB//CD,点/，N分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一动点E(点E在直线

的左侧).

(1)如图1,请写出NE,44ME1和NCVE■之间的等量关系，并说明理由；

(2)如图2,与NOME的角平分线相交于点P,请直接写出NE与NF之间的等量关系；

(3)如图3,在(2)的条件下，N4ME和NQVE的角平分线相交于点后,NfiMF和ND/VF的角平分线相

交于点冗，NAME；和NCNg的角平分线相交于点马，N加鸣和乙以明的角平分线相交于点与，…，以此

类推，则NE,+2/月=(用含〃的代数式表示).

图1图2图3

15.综合与实践

数学社团的同学以“两条平行线AB,CD和一块含45°角的直角三角尺EFG(NEFG=90。)”为主题开展数学

活动，已知点E,厂不可能同时落在直线钻和CD之间.

探究：(1)如图1,把三角尺的45。角的顶点E,G分别放在钻，8上，若N3EG=150。，求NFGC的度

数；

类比：(2)如图2,把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在和CD之间，且

至与。所夹锐角为25。，求NFGC的度数；

迁移：(3)把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在

ZFGC=5ZDGE(ZDGE<45°),直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数.

A------------------B

C----------------D

G

备用图

16.(1)如图①，直线AB〃CD,E是AB与DC之间的一点，连接BE,CE,求证：ZB+ZC=ZBEC.

图①图②图③

(2)如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：ZB+ZC+ZBEC=360°.

(3)如图③，AB//DC,其他条件不变，则44、ZAEC、NECD有怎样的数量关系，请直接写出，不需

证明.

17.如图，直线AC//RD,连接AB,直线AC、及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规

定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接上4,PB,构成SIC,ZAPB,ZPBD

三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。角）

（1）当动点P落在第①部分时，ZAPB,ZPAC.NPBZ）之间满足怎样的数量关系？并加以证明；

（2）当动点P落在第②部分时，ZAPB,ZPAC.々8。之间又满足怎样的数量关系？并加以证明；

（3）当动点尸落在第③部分时且在直线至右侧时，APAC,ZAPB,NPBD之间又满足怎样的关系，直

接写出最后的结论.

图1图2

18.如图，直线AB//CD,连接EF,直线至，CD及线段砂把平面分成①②③④四个部分，规定：线

上各点不属于任何部分.当动点G落在某个部分时，连接GE,GF,构成NEGF,Z.GEB,NGED三个角.

①①

图一图二

(1)当动点G落在第③部分时，如图一,试说明：ZEGF,ZGEB,NGFD三者的关系;

(2)当动点G落在第②部分时，如图二,思考(1)中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由.

19.【阅读学习】阅读下面的解题过程:

(1)如图①，AB//CD,过点/作EP//AB,由平行线的传递性可得FP//CD,利用平行线的性质，我们

不难发现：/EFG与NAEF、NCGF之间的数量关系是.；/EFG与NBEF、NDGF之间的数量关

系是.

【知识运用】利用上面的结论解决下列问题:

(2)如图②，AB//CD,点M是4B£F和NDG尸的平分线的交点，NEFG=130。，则N£MG的度数是

(3)如图③，AB//CD,GM平分NZX牙，EMYGM,EF平分ZAEM,若NEFG比NDGF大15。，求

/DGF的度数.

①②③

20.【问题情景】(1)如图1,AB//CD,ZPAB=135°,ZPCD=115°,求NAPC的度数;

【问题迁移】（2）如图2,已知NMON,AO//3C,点P在射线OM上运动，当点P在A,3两点之间运

动时，连接PD,PC,ZADP=Za,/BCP=N?,求NCPD与Na,/月之间的数量关系，并说明理由；

【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点尸在A,3两点之间运动”改为“点尸在A,3两点外侧运动

（点P与点A,B,O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出NCPD与Na,N"之间的数量关系.

B

D

图1图2备用图

21.如图,AQ//BP,ABLBP,E、C、。分别是线段AQ、AB.3P上的点，且满足EC_LCD.EF

是NGEC的角平分线与3P交于点在EQ上截一点G,连接G尸，令GF=FE.

图1

⑴如图1,若NAEC=40。，求NCD3的度数.

(2)如图1,连接GP,若GP//£F,H是线段FP上的一点（F〃<"P）,连接GH,使得2NGHP=3NAEC,

求ZFGH和ZCDB的数量关系.

（3）如图2,在（2）的条件下，过点。作垂足为N是线段GP上的一点，且满足

3

ZQNM=|NGEF.求ZGQN和Z.CEF的数量关系.

22.如图1,AB//CD,ZPAB=135°,ZPCD=125°,求NAPC度数.

小明的思路是：过P作PE7/AB,如图2,通过平行线性质来求NAPC.

(1)按小明的思路，易求得NAPC的度数为一;请说明理由；

(2)如图3,AD〃3C,点尸在射线上运动，当点P在A、3两点之间运动时，ZADP=Aa,ZBCP=A(3,

则NCPD、Ne、之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在A、3两点外侧运动时(点尸与点A、B、。三点不重合)，请你直接

写出NCPD、Na、N夕间的数量关系.

23.如图，已知AB//CD,M,N分别是直线9，CD上的一点，点E在直线CD之间，ZBME=a,

4DNE=B.

A-------M•----------B

cND

（1）直接写出NMEN的度数为（用含。、6的式子表示）；

（2）如图，若NF平■分■ZEND,MG平分/4ME,直线NF与直线MG相交于点G,当NMEN=90。时，求

NMGF的度数；

（3）如图，若NBME=120。，将旌绕M点以1。/秒的速度逆时针旋转，绕N点以4。/秒的速度逆时

针旋转，当肋E；旋转了120。时，两者同时停止，则在整个转动过程中，t=秒时，ME//ND.

AMB

CND

参考答案与试题解析

相交线与平行线之，，铅笔模型，，

（模型解题技巧+例题讲解+强化训练）

【模型解题技巧】

一、“铅笔”模型

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：

AB

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=36O°

二、模型证明

如图，若AB〃CD,求证：NB+NE+ND=360°

证明一：如图，过点E作FG//AB

•••AB//FG,AB//CD

FG//CD

•••AB//FG

NBEF+NB=180。（两直线平行，同旁内角互补）

•••FG//CD

ND+ZDEF=180。（两直线平行，同旁内角互补）

Z.BEF+zB+zD+zDEF=360°

z.B+zD+z.BED=360°

证明二：如图，连接BD,

AB

•・•AB//CD

・•.ZABD+ZBDC=18O°

在ZkBDE中，ZDBE+ZE+ZEDB=18O°

・•.ZDBE+ZE+ZEDB+ZABD+Z.BDC=36O°

・•.ZABD+ZDBE+ZE+ZEDB+ZBDC=36O°

・•.ZABE+ZE+ZCDE=36O°

证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里

的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。

三、猪蹄模型和铅笔头模型关系

1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型

ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，zABE+zCDE=zBED

•・•ZABE+ZFBE=18O°,zCDE+zGDE=180°

Z.ABE=18O°-ZFBE,ZCDE=18O°-Z.GDE/.180°-zFBE+180°-zGDE=zBED

・•・ZFBE+ZGDE+ZBED=36O°

2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型

ABF

ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得,

ZABE+ZBED+ZCDE=36O°

•・•ZABE+ZFBE=180°,ZCDE+ZGDE=180°

・•・ZABE=18O°-ZFBE,ZCDE=18O°-ZGDE

180°-zFBE+zBED+180°-zGDE=360°

・•・zFBE+zGDE=zBED

【例题讲解】

1.（炎陵县期末）如图所示，Nl=105。，Z2=140°,试求N3的度数.

【分析】过点A作A3//4,从而利用平行线的性质可得N4=75。，再根据平行于同一条直线的两条直线平

行可得AB/4，然后再利用平行线的性质可得N5=4O。，最后利用平角定义进行计算，即可解答.

【解答】解：如图：过点A作AB/4,

/.Z4=180o-Zl=75°,

・.R/〃2，

:.AB//l2,

/.Z5=180o-Z2=40°,

.\Z3=180o-Z4-Z5=65°,

Z3的度数为65°.

【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

2.（禅城区期中）如图，已知直线A与4、4分别交于点A、B,动点尸在直线4上且不与点A、

3重合.点E在4上，且位于点A的左侧，点/在上，已知NAEP=N1,ZPFB=Z2,ZEPF=Z3.

（1）当点尸在点3的左侧时，

①点尸在图1的位置时，若/1=25。，Z2=35°,求/3的度数.

②点尸在图2的位置时，试说明Nl,N2,N3之间的关系.

【分析】（1）在图1和图2中分别过点尸作辅助线，利用平行线的性质解题即可.

（2）根据题意，点P的位置有三种，4上方、乙和4之间、以及4下方，注意分类讨论.

【解答】解：（1）①如图，过点尸作尸C/4，可得NEPC=N1=25。，

*/4/〃2，

:.l2//PC,

.\ZFPC=Z2=35°,

.•.Z3=ZEPC+Z77>C=25o+35°=60°.

②如图，过点P作PD/〃i，可得ZEPD=/1,NFPD=N3+NEPD

,/II/4，

/.l2//PD,

.-.ZFPD=Z2,

/.Z2=Z1+Z3.

情况1（如备用图1）,过点尸作PG///,,得ZAEP二ZEPG,即N1=ZEPG.

•・•4/〃2，

：.I2//PG,

:.ZGPF^-ZPFB=180°,即NGPF+N2=180。.

・・・N3=ZEPF=NGP产+ZEPG=180。-N2+N1,

/.Z3+Z2-Zl=180°.

情况2（如备用图2）,过点P作尸G///「得ZAEP=ZEPG,即N1=ZEPG.

,/4/〃2，

:.l2//PG,

ZGPF+ZPFB=180°,即NGP尸+N2=1800.

・・・/GPF=ZEPG+/EPF=Z1+4

/.Zl+Z2+Z3=180°.

情况3（如备用图3）,过点尸作PG//l2,得ZPFB+NFPG180°,即

N2+NFPG=N2+ZEPF+ZEPG=N2+N3++ZEPG=180。.

4//z2，

I,//PG,

:.ZAEP=ZEPG,BPZ1=ZEPG.

.-.Zl+Z2+Z3=180o.

图1图2

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论是解题的关键.

3.(武汉期末)已知，MN//PQ,直线AB交于点A,交P。于点3,点C在线段AB上，过C作射线

CE、CF分别交直线MN、PQ于点E、F.

GT

图1图2图3

(1)如图1,当CE_LCF时，求Z4EC+NBFC的度数；

(2)如图2,若NMEC和NPFT的角平分线交于点G,求NECF和NG的数量关系；

(3)如图3,在(2)的基础上，当CE_LCF,且NABP=60。，NACE=20。时，射线口绕点厂以5。每

秒的速度顺时针旋转，设运动时间为f秒，当射线bG与AAEC的一边互相平行时，请直接写出f的值.

【分析】(1)过点、C作CHUMN,根据已知条件证明NECF=90。，然后根据平行线的性质证明

ZAEC^Zl,NBFC=N2,通过等量代换即可；

(2)先根据已知条件证明N1=N2=N5,ZECF=90°,/尸"=2/3,然后利用四边形的内角和是360。

进行代换即可；

⑶分三种情况进行解答，①PT/ME,@PT'//CE,③PT//AC,求出旋转的角度就能算出答案.

■.■MN//PQ,

:.CH//PQ,

:.NBFC=N2,

­：CF±CE,

.-.Zl+Z2=90°,

ZAEC+ZBFC=90°；

(2)如图所示:

・.・EG平分ZMEC,FG平外ZPFT,

「.N1=N2,ZPFT=2Z3,

・・・ZPFT+ZPFC=180。，

/.ZPFC=180°-ZPEF=180°-2Z3,

•.•MN//PQ,

/.Z1=Z5=Z2,

・.・N5=N3+NG,Z2+Z5+ZECF+ZPFC=360°,

/.2Z5+ZECF+180°-2Z3=360°,

二.2(Z3+ZG)+ZECF-2Z3=180。，

/.2ZG+ZECF=180°；

(3)如图所示：

图1图2图3

分三种情况：

①如图1所示：当FG旋转到FT时，FT11AE,

・・・CF_LC£,

ZECF=90°,

•,-ZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

..ZBCF=100°,

•/ZBCF+ZABP+ZBFC=180°,ZABP=60°,

ZBFC=1800-ZBCF-ZABP=50°,

ZrFT=ZBFC=50°,

,;FG平分NPFT,FT绕点/旋转的速度每秒5。，

:.ZT'FG=-ZG'FT=25°,FG绕点F旋转的速度为每秒2.5°,

2

.」=25°+2.5°=10秒；

②如图2所示：当FG旋转到FT时，FT'IICE,

■：CFYCE,

:.ZECF=90。,

■：FT'/ICE,

:.NTFT'=NECF=90。,

-.-ZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

:.ZBCF=100°,

:.ZTFP=ZBCF=50°

•.，FG平分"FT,

NGFT=L/PFT=25。,

2

ZGFT'=ZTFT'-ZGFT=65°,

「1=65°+2.5°=26秒；

③如图3所示：当尸G旋转到FT时，FT'IIAC,

:.ZPFT'=ZABP=60°,

♦.•①已证ZPET=NBR7=50。，FG平分"FT,

ZGFT=-NPFT=25°=NPFG

2

ZGFT'=ZPFG+ZPFT=250+60°=85°,

."=85°+2.5°=34秒；

当射线FG与AAEC的一边互相平行时，f的值为10或26或34秒.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是正确的识别图形，熟练掌握平行线的性质.

4.(巴南区月考)已知直线MN//PQ,点C、3分别在直线MN、PQ上，点A在直线和PO之间.

(1)如图1,求证：NCAB-ZMCA=NPBA；

(2)如图2,CO//AB,点E在直线PQ上，且4/C4=NDCE,求证：ZECN=NCAB；

(3)如图3,BF平分/PBA,CG平分ZACN,且AF//CG.若NC4B=50。，直接写出NAFB的度数.

图2图3

【分析】（1）过点A作然后根据平行线的性质可得NC4B=NMC4+NPB4即可得证.

(2)由CD/MB得出NC4B+NEQV=180。，结合NMC4=NOCE即可得证.

（3）由平行线的性质得到NE4B=130。-NGC4,再由角平分线的定义及平行线的性质得出

ZGCA-ZABF=50°,最后根据三角形的内角和即可求解.

【解答】（1）证明：过点A作如图:

图1

:.AH//MN//PQ,

,\ZMCA=ZCAH,ZPBA=ZBAH,

ACAB=Z.CAH+ZBAH=ZMCA+ZPBA,

::ZCAB-ZMCA=ZPBA.

(2)证明：\-ZMCA=ZDCE.

:.ZACD=ZMCE,

CDIIAB,

:.ZCAB-i-ZACD=180°,

/.ZCAB=180°-ZACD=180°-ZMCE,=ZECN,

.\ZECN=ZCAB.

(3)解：-.AF//CG.

.•.NGG4+NE4C=180。，

・・・NG4B=50。，

ZGCA+ZCAB+ZFAC=180°,

.\ZFAB=1300-ZGCAf

・・・BF平分ZPBA,CG平%ZACN,

:.ZACN=2NGCA,ZABP=2ZABF,

y.-.-ZMCA=180°-ZACN,

ZCAB=180°-2ZGCA+2ZABF=50°,

ZGCA-ZABF=65°,

■.■ZABF+ZAFB+ZFAB=180°,

：.ZAFB=180°-ZABF-ZFAB

=180°-（130°-ZGCA）-ZABF

=50°+ZGCA-ZABF

=50o+65°=115°.

:.ZAFB=U5°.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键.

【强化训练】

5.（遂宁期末）如图，直线尸Q//MV,两个三角形如图①放置，其中NABC=NCDE=90。，ZACB=30°,

NS4c=60。，ZDCE=ZDEC=45。,点E在直线PQ上，点、B,C均在直线MN上，且CE平分Z4CN.

（1）求NDEQ的度数；

（2）如图②，若将AABC绕3点以每秒3。的速度按逆时针方向旋转（A,C的对应点分别为P,G）.设旋

转时间为f秒，当，=10时，边3G与CD有何位置关系？请说明理由.

图①图②图③

【分析】（1）先根据平角定义，求出入4QV,然后根据已知条件求出NECV,ZCEQ,从而求出答案;

（2）先求出3c转动的度数，即NCBD,再求出NDCN的度数，利用平行线的判定证明即可.

【解答】解：⑴­1•ZACB=30°,

ZACN=180°-ZACB=150°,

•;CE平分ZACN,

:./ECN=15°,

■：PQ//MN,

NECN+NCEQ=180°,

.-.ZCEQ=105°,

■.■ZDEC=45°,

ZDEQ=ZCEQ-ZDEC=60°；

（2）BG//CD,理由如下：

当f=10时，BC转动了3x10。=30°,即NCBG=30°,

由（1）可知NECN=75°,ZDCE=45°,

ZDCN=ZECN-Z.DCE=30°,

:.ZCBG=ZDCN,

:.BG//CD.

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关

系.

6.（孝义市期末）综合与探究

数学活动课上，老师以“一个含45。的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1,已知直线机//〃,

直角三角板ABC中，ZACB=90°,ABAC=ZABC=45°.

（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2,调整三角板的位置，当三角板的直角顶点C

在直线〃上，直线机与AB,AC相交时，他们得出的结论是：Nl-/2=135。，你认为启航小组的结论是否

正确，请说明理由；

（3）如图3,受至U“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位

置，当点C不在直线〃上，直线加与AC,3c相交时，/I与N2有怎样的数量关系？请你用平行线的知识

说明理由.

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，求出4+NABC的度数，由已知条件可求出答案；

（2）过点3作比）//加，证明Nl+NA5£>=180。，ZCBD=Z2,最后根据和NCBD的关系可得答案；

(3)过点C作斯//根，根据平行线的性质证明Nl=NACE,N2=NBCF,再根据平角定义和已知条件求

出答案.

【解答】解：(1)•.•直线机//〃，

.-.Z1+ZABC=Z2=65°,

•.•ZABC=45°,

Zl=20°,

故答案为：20°；

(2)正确，理由如下：

如图所示：过点3作BD//相,

.-.Zl+ZABD=180o,

:.ZABD=180°-Z1,

mlIn,

/.BD/In,

:.NCBD=N2,

•/ZABC=45°,

..ZABC=ZABD+NCBD=45°

.•.180。—Nl+N2=45。,

.­.Zl-Z2=135°；

(3)Zl+Z2=90°,理由如下:

如图所示，过点C作£F//m,

:.Z1=ZACE,N2=NBCF,

ZACB=90°,

ZACE+NBCF=180°-ZACB=180°-90°=90°,

.-.Zl+Z2=90o.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质，找出角与角之间的关系.

7.(安化县期末)在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB//CD,点N

在直线CD上，点P在直线上，点M为平面上任意一点，连接MP,MN,PN.

图1图2

(1)如图1,点M在直线CD上，PM平济ZAPN,试说明=

(2)如图2,点M在直线AB,CD之间，NPMN=?0°,ZMNC=30°,求/针M的度数;

(3)如图3,和NMNC的平分线交于点。，NPQN与NRVW有何数量关系？并说明理由.

【分析】(1)根据平行线的性质证明=再由角平分线定义得=进行代换即

可;

(2)过点M作利用平行公理的推论证明ME//CD,再根据平行线的性质，证明有关角与角之

间的关系，进行代换即可;

(3)由(2)的方法求出NPQN和ZPMN,再根据已知条件证明即可.

【解答】M：(1)-.-AB/ICD,

:.ZAPM=ZPMN.

•：PM平济ZAPN,

:.ZAPM=ZMPN,

:.ZPMN=ZMPN；

(2)如图，过点M作ME7/CD,

图1图2图3

:.ZEMN=ZMNC=3Q°,

AB//CD,ME//CD,

:.ME//AB,

:.ZAPM^ZPME,

ZPMN=ZPME+ZEMN=ZAPM+ZMNC,

ZPMN=70°,

ZAPM=ZPMN-ZMNC=70°-30°=40°；

（3）2ZPQN=ZPMN,理由如下：

由（2）可知NPMN=ZAPM+ZMNC,

同理可得：ZPQN=ZAPQ+ZQNC,

■：PQ和NQ分别是ZAPM和ZMNC的平分线，

ZAPQ=~ZAPM,ZQNC=|ZMNC,

ZPQN=ZAPQ+ZQNC,

=-ZAPM+-ZMNC=-ZPMN,

222

:.2ZPQN=ZPMN.

【点评】本题主要考查了平行线的性质应用，解题关键是根据平行线的性质，找出角与角之间的关系.

8.（大同期末）综合与探究

已知直线AB//CD,直线分别与钻，8交于点G,〃（0。</£«0<90。）.将一把含30。角的直角三

角尺按如图1所示的方式放置，使点N,M分别在直线AB,CD上，且在直线EF的右侧.

（1）填空：ZPNB+ZPMD_=_NMPN.（填“〈”或“=”）

（2）若NMNG的平分线M?交直线CD于点O.

①如图2,当NO//RW〃EF时，求NEHD的度数；

②如图3,若将三角尺PMN沿直线54向左移动，保持〃砂（点N不与点G重合），点N,"分别在

直线钻、CD上，请直接写出4/ON和NEED之间的数量关系.

图1图2图3

【分析】（1）过点尸作尸K//AB,利用平行公理的推论证明PK//CD,再利用平行线的性质证明即可；

（2）①根据已知条件证明NMM9=NN0M,ZEHD=ZNOMZPMD,再由平角定义把NM/O用

表示出来，然后根据AMON的内角和是180。，求出NNOM通过代换即可；

②根据已知条件证明NMM9=N/VOM,ZEHD=ZNOM=ZPMD,再由平角定义把NNMO用4WD表示

出来，然后根据AMON的内角和是180。，通过代换即可求得.

【解答】解：（1）如图所示：过点尸作尸K//AB,

图1图2图3

:.ZPNB=ZNPK,

•:ABIICD,

:.PK//CD,

:.ZKPM=ZPMD,

/.ZPNB+ZPMD=ZNPK+ZKPM=ZMPN,

故答案为：=；

(2)①由题意可知：ZMNP=30。,ZMPN=90。,

.\ZNMP=60°,

・・・ZMNG的平分线NO交直线CD于点O,

:.ZANO^ZMNO,

•/AB//CD,

:.ZANO=ZNOM,

:.ZMNO=ZNOM,

\-NOI/PM//EF,

,\ZEHD=ZNOM=ZPMD,

・・・ZNMO+ZNMP+ZPMD=180°,

ZNMO=180O-ZPMD-60°=l20°-ZPMD,

・・・ZONM+ZNOM-^-ZNMO=180°,

2ZNOM+120°-ZPMD=180°,

:.ZNOM=“0,

ZEHD=ZNOM=60°；

②由题意可知：ZMNP=30。,ZMPN=90°,

,\ZNMP=6O°f

•/ZMNG的平分线NO交直线CD于点O,

:.ZANO=ZMNO,

\AB//CD,

:.ZANO=ZMON,

:.ZMON=ZONM,

・・•ZMON+ZNMO+ZONM=180°,

/.ZNMO=180°-2ZMON,

­.•EF//PM,

/.ZEHD+ZNMO+ZNMP=180°,

/.ZEHD+180°-2ZMON+60°=180°,

/.ZEHD+60°=2ZMON.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是识别图形，找出平行线所截的角

与角的关系.

9.（望花区期末）已知直线脑V、PQ被射线所截，且MN//PQ,点。是直线上一定点，点。是射

线班上一动点，连接CD,当NADCW90。时，过点。作CE_LCD交直线尸。于点石.

（1）如图1,当点C在线段上时，写出Z4DC和NCEB之间的数量关系，并完成下面的证明.

解：（1）NADC和NCEB之间的数量关系：ZADC+NCEB=90。.

证明：过点。作CF//MN.

­/MN//PQ,CF//MN,

:.MN//CF//PQ（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

♦：MNIICF,

.\ZADC=_ZDCF_（）,

\-CF//PQ,

..ZFCE=NCEB,

■：CD^CE,

:.ZDCE=（）,

即ZDCF+ZECF^90°,

:.ZADC+ZCEB=90°（等量代换）.

（2）当点C在线段54的延长线上时，请直接写出/4OC和NCEB之间的数量关系.（不必证明）

备用图

【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，证明NADC=NOCF,再由垂直的性质可得答

案；

（2）根据已知条件和平行线的性质证明"CD=NC^