等腰三角形（讲义）原卷版-2025年中考数学一轮复习

专题17等腰三角形的核心知识点精讲

O复习目标O

1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定.

2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定.

3.掌握线段垂直平分线的性质及判定.

O考点植理O

考点1:等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的两个底角度数相等

2.|等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简

性质

写成“等腰三角形三线合一”）

3,等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴

1,有两条边相等的三角形的等腰三角形

判定

2,有两个角相等的三角形是等腰三角形

S=!ah,其中a是底边常，hs是底边上的高

面积公式

2

考点2：等边三角形的性质与判定

1.三条边相等

2,三个内角相等，且每个内角都等于60°

性质3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴企

a

1.三条边都相等的三角形是等边三角形

2.三个角相等的三角形是等边三角形

判定

3,有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形

面积公式5=lah=—是等边三角形的边长，h是任意边上的高

24u

考点3：线段垂直平分线

(1)线段垂直平分线的作图

1.分别以点A、B为圆心，以大于工42的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点;

2

2.作直线CD,CD为所求直线

(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

(3)判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

典例引领

【题型1：等腰三角形的性质和判定】

【典例1】(2024•江苏南通・中考真题)综合与实践：九年级某学习小组围绕"三角形的角平分线”开展主题学

习活动.

【特例探究】

(1)如图①，②，③是三个等腰三角形(相关条件见图中标注)，列表分析两腰之和与两腰之积.

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表

图序角平分线4。的长NB2D的度数腰长两腰之和两腰之积

图①160°244

图②145°2V22

图③

130°———

请补全表格中数据，并完成以下猜想.

已知△4BC的角平分线AD=1,AB=AC,ABAD=a,用含a的等式写出两腰之和48+4C与两腰之积

力47之间的数量关系：.

【变式思考】

（2）已知△48C的角平分线4。=1,ABAC=60°,用等式写出两边之和AB+AC与两边之积48•AC之

间的数量关系，并证明.

即时检测

1.（2023・海南•中考真题）如图，一艘轮船在a处测得灯塔M位于4的北偏东30。方向上，轮船沿着正北方向航

行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60。方向上，测得港口C位于B的北偏东45。方向上.已知

港口C在灯塔M的正北方向上.

北木C

（1）填空：度，NBCM=_度；

⑵求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）;

⑶求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.

2.(2024•江苏常州•中考真题)如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AC.DE相交于点G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)连接4D,贝必。与/的位置关系是

3.(2024•四川•中考真题)如图，在四边形4BCD中，乙4=90。，连接8D,过点C作CE1AB,垂足为E,CE

交8。于点F,=

⑴求证：n2=43；

(2)若N4=45。.

①请判断线段BC,BD的数量关系，并证明你的结论;

②若BC=13,AD=5,求EF的长.

典例引领

【题型2：等边三角形的性质和判定】

【典例2】（2022•黑龙江•中考真题）△ABC和△4DE都是等边三角形.

⑴将△力DE绕点/旋转到图①的位置时，连接8。，CE并延长相交于点尸（点尸与点/重合），有

PA+PB=PC（或P4+PC=P8）成立；请证明.

（2）将△力DE绕点/旋转到图②的位置时，连接AD,CE相交于点P,连接力，猜想线段P/、PB、

PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

⑶将△4DE绕点/旋转到图③的位置时，连接RD,CE相交于点P,连接P4猜想线段P4PB、

PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

即时检渊

1.（2024•四川雅安•中考真题）如图，。。的周长为8兀，正六边形力BCDEF内接于。。.则△OAB的面积

为（）

A.4B.4V3C.6D.6V3

2.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形/2C的顶点4的坐标为（0,4），点B,C均

在x轴上.将△ABC绕顶点4逆时针旋转30。得到△力B'C',则点C'的坐标为.

3.（2022・湖南怀化•中考真题）如图，在等边三角形/8C中，点M为48边上任意一点，延长BC至点N,

使CN=4W,连接儿加交NC于点P,MHLAC于点、H.

⑴求证：MP=NP；

（2）若42=a,求线段PH的长（结果用含。的代数式表示）.

典例引领

【题型3：线段的垂直平分线】

【典例3】（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在中，ZXCB=90°,AB=2近,AC=2,分别以点

A,8为圆心，大于14B的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交4B,BC于点、D,

E,连接CD,AE.

⑴求CD的长；

⑵求△2CE的周长.

0力即时检测

1.（2024・四川眉山・中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点4点B为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,F作直线交4c于点D,连接BD,则△BCD的周长为

A.7B.8C.10D.12

2.（2024•四川凉山•中考真题）如图，在RtaTlBC中，乙4cB=90°,DE垂直平分4B交BC于点D,若△4CD

的周长为50cm,则2C+BC=（）

3.（2024・广西•中考真题）如图，在△4BC中，N4=45。，AOBC.

（1）尺规作图：作线段力B的垂直平分线/,分别交力B,AC于点D,E：（要求：保留作图痕迹，不写作法,

标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接BE,若AB=8,求BE的长.

o好题冲关o

.弓基础过关

1.（2024・河南信阳•三模）中国的风筝已有2000多年的历史.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是

人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊

间才开始以纸做风筝，称为"纸莺如图是一个风筝骨架的示意图，已知4C1DE,且力。=小，

AD=CD,4D与47的夹角为a,则该骨架中4C的长度应为（）

A.mcosaB.mtanaC.2mcosaD.2mtana

2.（2024•山东济南•一模）如图，已知EFIICDBC=DC/ABF=30。，贝此D的度数为（）

3.（23-24九年级上•江苏宿迁•期中）如图，点2、B、C都在半径为2的。。上，ZC=30°,则弦的长为

A.2B.1C.4D.

4.（2022・福建厦门•模拟预测）如图，在等边AA8C中，AD1BC,垂足为。且4。=百，贝必8的长为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

5.（23-24八年级上,浙江温州•期中）如图，在△ABC中，分别以8为圆心，大于线段4B长度一半的长

为半径作弧，相交于点D,E,连结DE,交BC于点P.若4C=3,△ACP的周长为10,贝UBC的长为（）

A.6B.7

6.（2024八年级下•全国・专题练习）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、

丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）

A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三边中线的交点D.三边上高的交点

1

7.（2024•海南省直辖县级单位•一模）如图，在△ABC中，"=40。，分别以点B和点C为圆心，大于/C的

长为半径画弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交边/C于点连接贝IjNDBC的度数为（）

A.100°B.80°

8.（2024・湖南・二模）如图，在N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板4BC.已知木块"，N

的高分别为6cm,16cm,点4,3分别与两木块的顶端重合，点。在DE上，则两木块之间的距离为

B

DCE

A.22cmB.14cmC.11cmD.10cm

9.（2024・江苏宿迁•一模）已知等腰三角形的两边长分别为2和6,则第三边的长度为.

10.（23-24八年级上•福建龙岩・期中）如图，点P在正五边形2BCDE内，满足PA=PE,PD=AB,则“EP

的度数是.

/--------'B

11.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，在菱形力BCD中，对角线AC,BD相交于点。，以点C为圆心，BC

长为半径画弧交8c的延长线于点E,连接DE.

⑴求证：AC||DE；

(2)若4B=4,AABC=60°,求△BDE的周长和面积.

钳能力提升

1.（2024,湖北武汉•模拟预测）如图，点N在等边△48C的边BC上，CN=6,射线BD1BC,垂足为8,P

是射线BD上一动点，又是线段4C上一动点，当MP+NP的值最小时，CM=7,贝必C的长为.

2.（2024,广东深圳,模拟预测）如图，AO1OM,AO=6,8为射线OM上的一个动点，分别以力法。8为直角

边，2为直角顶点，在。M两侧作等腰RtzXABC,等腰Rt^BD。，连接CD交。M于点尸.当3在。“上

运动时，PB的长度为

3.（2024•湖北•模拟预测）如图，在△ABC中，AB^AC,将△28C绕点/逆时针旋转，得到△?!£）£BC,

DE相交于。，^ACE=60°.

E

A

B

⑴判断△ABD的形状;

⑵求NC。。的度数.

4.（2024•贵州遵义•模拟预测）如图①，在Rt△力BC中，AB^AC=3,NB2C=90。，点。在B4边上，连接

CD,点E在射线CD上，连接4E.

（1）如图，将4E绕点力逆时针旋转90。得到4F,连接BE,CF.求证：a/lBE三

（2）若点。是4B的中点，连接EF,求EF的最小值；

（3汝口图②，若BE1CE于点EHE=VL求BE的值.

真题感知

1.（2024•四川广元・中考真题）如图，将△ABC绕点/顺时针旋转90。得到△力DE,点、B,C的对应点分别

为点。，E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,贝。4。的长为（）

BA

A.V5B.V10C.2D.2V2

2.（2024•河北•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，AACB=90°,以点/为圆心，AC长为半径画弧，交力B于

1

点。，再分别以5,。为圆心，大于匏。的长为半径画弧，两弧交于M,N两点，作直线MN分别交A8

于点E,若AD=3,BE=1,则BC的长为（）

C.4.5

3.（2023•海南省直辖县级单位•二模）如图，在△48C中，按以下步骤作图：①分别以点8、C为圆心，以

大于裴C长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交边于点E.若4C=5,

BE=4,ZB=45°,贝MB的长为（）

6C.7D