高考物理一轮专项复习讲义：卫星变轨问题、双星模型（含解析）

专题强化：卫星变轨问题双星模型

【目标要求】1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。

3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

考点一卫星的变轨和对接问题

1.卫星发射模型

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道I上，卫星在轨道I上做

匀速圆周运动，有色=机《，如图所示。

n2n

⑵在N点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，卫星做离心运

片n

动进入椭圆轨道n。

2I2

⑶在椭圆轨道3点(远地点)，落,m”将做近心运动，再次点火加速，使产=〃?巴一,

12

rir2nr-L

进入圆轨道III。

思考若使在轨道III运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？

答案使飞船先减速进入椭圆轨道II,到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道I,之

后再减速做近心运动着陆。

2.变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道I和III上运行时的速率分别为％、片,在椭圆轨道II上过/点和2

点时速率分别为匕、修，四个速度关系为匕>%>%>/。

(2)向心加速度

在/点，轨道I上和轨道H上的向心加速度关系三°山，在3点，轨道II上和轨道III上的

向心加速度关系三曲出，/、8两点向心加速度关系a后劭。(均选填“=”或)

(3)周期

卫星在I、II、III轨道上的运行周期71、不、73的关系为？1<?2<73。

(4)机械能

在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在I、II、III轨道的机械能分别为£卜瓦、

氏，从轨道I到轨道II和从轨道n到轨道口1都需要点火加速，则机械能关系为生&组。

【例1】（2024•黑龙江哈尔滨市第九中学月考）在发射一颗质量为机的人造地球同步卫星时，先

将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道I上（离地面高度忽略不计），再通过一椭圆轨道II变

轨后到达距地面高为分的预定圆轨道III上。已知它在圆轨道I上运行的加速度大小为g,地

球半径为尺，卫星在变轨过程中质量不变，则（）

h

A.卫星在轨道III上运行的加速度大小为（-)2g

R+h

7R2

B.卫星在轨道III上运行的线速度大小为

R+h

C.卫星在轨道III上的动能大于在轨道I上的动能

D.卫星在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能

答案B

解析卫星在轨道III上运行时，根据万有引力提供向心力得在地球

（R+〃）2R+h

表面附近由加g=G”得GAf=g7?2,所以卫星在轨道III上的加速度大小为a=（—^—）2g,线

R-R+h

速度大小为g及,故A错误，B正确；卫星的线速度大小为片'卫星在圆轨

\jR+hVr

道上运行的动能为可知卫星在轨道III上的动能小于在轨道I上的动能，

22r

故C错误；卫星从轨道I进入椭圆轨道II要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道II进入轨道

III要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道III上的机械能大于在轨道I上的机械

能，故D错误。

［例2］北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现

径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间

站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接

前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置（距空间站200m）o为到达这个位

置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是（）

A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可

B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可

C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

答案D

解析根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空

间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道

上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。

考点二双星或多星模型

1.双星模型

（1）绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

（2）特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即®7詈=如0/小

—--=冽2①2尸2。

②两星的周期、角速度相同，即T\=Ti,coi=co2o

③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为n+尸2="

思考（1）若两星运行的线速度大小分别为修、%，加速度大小分别为。1、。2,质量分别为

冽1、m2,则，、。与轨道半径八两星质量的关系怎样？

答案由片口尸，冽1①2八=加2①2r2，得」=2=些，由。=口2/及加1口2/=冽2①2尸2得建=二=这

/丫2mi。2井2m\

（2）两星之间的距离上、周期T与总质量（加1+冽2）的关系怎样？

223

攵用rhGmim24砂4TL4曰Z?G（加i+冽2）­.4KZ

合案由^：—=如二7片=加2二7r2及r\+n=L,^―=---------或

1}T1T1T14兀2GF

【例3】（2024•河北石家庄市调研）夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，

而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同

的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质

量之比mp:mq=k：1。则（）

乙

A.根据图乙可以判断出DI

B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定

C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比

D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小

答案B

解析设P、Q之间的距离为P做圆周运动的轨道半径为九，Q做圆周运动的轨道半径为

厂2,角速度为。，则有G处磐=如＞。2八，G些等=mQS2r2,联立可得皿由于及，

L1L-mQr\1

则左＜1,故A错误；根据线速度与角速度之间的关系有屋=。，1,\/Q—a＞n,ri+r2—L,则14

+1^=。（n+七）=。"可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运

动的线速度大小之和一定，故B正确；根据6吗2="“干，可得砥=

Ln

1}

:黑,故C错误;根据醴詈=mp净I,酢詈=%Q苔2可得7=2兀

G（冽p+加Q）

若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。

2.多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度

或周期相同。常见的多星模型及其规律：

2

小

①Gmc,lGMpm加。向

m•----・------♦根

'、RR：(2火)2上

\、/!

、/

、、___一，，

常见的三星模型

''1、\

L/；\②Txcos30°X2=ma向

/人'

m-------------立根

源机

/：\oyzi\

®^r-Xcos45°X2+~^——ma向

；L,Ai；

L2(W)2

J——

常见的四星模型m

2

/:\J^GrnGMm

②"Xcos30OX2+=31向

/*、、、L

L嘲

【例4】（2023•广东珠海市调研）宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成

的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种

是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，

周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外

接圆运行，如图乙所示，周期为乃。若每颗星的质量都相同，则不：？2为（）

3Rl3r

5r5R

'3R,3R

5r5r

答案D

解析第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心

力，则唠7+G潟;=机口，解得7I=4TIR

—,第二种形式下，星体之间的距离为r,

那么圆周运动的半径为R'=①，星体A所受合力厂金=2G等-cos30。，根据合力提供向心

3r2

力有2G,cos30。=嘿年,解得丁"盒,则7"=詈当故选D。

考点三星球“瓦解”问题黑洞问题

1.星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘

起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提

供向心力，即重等=加尺,

02I寸，星球瓦解，当"V

球稳定运行。

2.黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞

运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的也倍）

超过光速时，该天体就是黑洞。

[例5]2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，

其自转周期7=5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为

6.67X10-11N-m2/kg2o以周期7稳定自转的星体的密度最小值约为（）

A.5X109kg/m3B.5X1012kg/m3

C.5XIO15kg/m3D.5XIO18kg/m3

答案C

解析毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有又知初=夕上凡

3X3.14,,、

整理得密度22篇------------------------------------kg/nP

6.67X10-11X(5.19X10-3)2

^5.2X1015kg/m3,故选C。

【例6】科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的/倍）大于光速时，

该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为公地球的半径为心地球的环绕速度（第

一宇宙速度）为H，光速为以则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（）

2H2R2h2及kWR2kz2R

A.-------B.C.-------D.--------

kc1片22c2c1

答案D

解析地球的第一宇宙速度为则黑洞的第一宇宙速度为修并且有

也区〉c,

联立解得一

所以D正确，A、B、C错误。

课时精练

基础落实练

1.（2023•江苏南京市期中）地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星

探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分,

在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一

号”在飞往火星的过程中（）

,_一、*星轨道

/地球就道\

1!O;!

曼转移ftj!

A.速度变大B.速度不变

C.加速度变小D.加速度不变

答案C

解析“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误;

根据G丝骨=根.可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错

、口

O

2.（2023•山东济南市模拟）2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此

次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标

志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于

同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站

实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（）

运行方映X更气方向运行气方向

/凄氤空间站

AB

_.、天舟五号,天舟五号

运行方包弟*运行方向叱:

/箜商站-/青间端喷

方向方向

CD

答案A

解析要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要

想不脱离原轨道，根据尸="7—,则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道

r

向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，

则图A是正确的。

3.（2023•河南南阳市期中）2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，

对接过程如图所示。天和核心舱处于半径为心的圆轨道III上；神舟十二号飞船处于半径为九

的圆轨道I上，运行周期为九,经过/点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到3处与

核心舱对接，则神舟十二号飞船（）

神

舟

十

二

号

载

人胆皂卜轨道

M飞

轨道叱及

天和核心舱

A.沿轨道I运行的周期大于天和核心舱沿轨道III运行的周期

B.沿轨道II从/运动到2的过程中，机械能增大

C.在轨道I上的速度小于沿轨道II运动经过2点的速度

D.沿轨道II运行的周期为72=71/手^

答案D

解析对神舟十二号飞船，由万有引力提供向心力可得^^=加奈^厂，解得

由于小〈尸3,神舟十二号飞船沿轨道I运行的周期小于天和核心舱沿轨道ni运行的周期，A错

误；飞船沿轨道II从/运动到5的过程中，机械能守恒，B错误；对神舟十二号飞船，由万

有引力提供向心力可得/^=加《，解得因为尸1＜尸3,则有飞船在轨道I上的速

度大于沿轨道in运行的速度，飞船从轨道n运动到5处时加速做离心运动进入轨道m,因此

3

在轨道I上的速度大于沿轨道II运动经过8点的速度，C错误；由开普勒第三定律可得气=

7i2

（2）,解得72=4';6*±*）3,D正确。

T?V2n

4.（2023•广东广州市第二中学三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射

意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图

所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，贝!1（）

A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度

B.天间一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期

C.天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”

D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒

答案C

解析天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A

错误；根据开普勒第三定律左=!，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火

星捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从“火星

捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；着陆巡视器从“离轨着陆

段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故D错误。

5.（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较

近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

两颗质量分别为〃小加2的星体A、B组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上

的。点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距离为，质量之比为如："22

=3:2o则可知（）

A.A与B做圆周运动的角速度之比为2：3

B.A与B做圆周运动的线速度大小之比为2:3

C.A做圆周运动的半径为4

5

D.B做圆周运动的半径为

答案BC

解析A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速

度相等，A项错误；A与B所需向心力大小相等，有如苏片=加2①2r2,即机1尸1=加2r2,因为

A、B质量之比为mi：冽2=3:2,则轨道半径之比n：r2=2：3,所以A做圆周运动的半径

为¥，B做圆周运动的半径为¥，C项正确，D项错误；根据可知，角速度相等，A

与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之比为2：3,B项正确。

6.（多选）2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑

洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物

质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐

瓦解事件”。天鹅座X—1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线

上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之

间的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（）

A.黑洞和恒星之间的万有引力变大

B.黑洞的角速度变大

C.恒星的线速度变大

D.黑洞的线速度变大

答案AC

解析假设恒星和黑洞的质量分别为M、m,环绕半径分别为R、r,Am<M,两者之间的距

离为则根据万有引力提供向心力有=F向,恒星和黑洞之间的距离不变，随着黑洞

吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M与正的乘积变大，黑洞和恒星之间的万有引力变

大，故A正确；黑洞和恒星的角速度相等，根据万有引力提供向心力有加。

其中R+r=£,解得黑洞的角速度0=由于（M+根）和£均不变，则角速度不变,

故B错误；根据得丝=2_,因为河减小，增大，所以R增大，厂减小，由/

mR

恒=Q氏，/黑=s,可得/恒变大，，黑变小，故C正确，D错误。

7.一近地卫星的运行周期为To,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不因自转而

瓦解的最小密度之比为（）

答案

2

解析对近地卫星，有G^~=m^R,地球的质量跖=pi/R3,联立解得〃=刍三，以

地球赤道处一质量为恤的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起

旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为0,则有泮詈

=恤（四）2尺，M2=P2；R3,联立解得分=%,所以久=与，故选D。

T3GT1p2To2

IW能力综合练

8.（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的

过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动

12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学

知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）

A,质量之积B.质量之和

C.速率之和D.各自的自转角速度

答案BC

解析双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=-=-s）,由万有引力提供向心力，

/12

n+r2=r=400km

联立解得办+冽2=Q叨r,质量之和可以估算；由k=2/可得n+H=27i/ri+27i/r2=27i/r,

G

速率之和可以估算；不能得出质量之积和各自的自转角速度，故选B、Co

9.(2024•江苏南通市开学考)如图所示，/、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，

在相互之间的万有引力作用下，绕圆心。在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，山。=叱。

=2以。。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是()

A.星体的线速度大小以=2%

B.星体的加速度大小aA=^CIB

2

C.星体所受合力大小月=晶

D.星体的质量牝4=侬？

答案B

解析三星系统是三颗星都绕同一圆心。做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由

线速度与角速度的关系公式l^=a)r,可知星体的线速度大小匕=1/，A错误；由向心加速度

2

公式。=。2乙可得星体的加速度大小a4=co,aB=a>rBo=1(orAo,则有。<=1矶B正确；

2

三颗星体都绕同一圆心。做匀速圆周运动，因此可得星体/、8受力如图所示，由图可知，

/、8间的万有引力大小等于N、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小于N、B

间的万有引力大小，分力的夹角相等，因此乃>色，C错误；

B/

FA

由图可知，/、3间的万有引力大小等于/、C间的万有引力大小，可知B、C间的

万有引力大小小于/、8间的万有引力大小，可知〃>jmc,则有nu>ntB,D错误。

10.2021年3月24日，科学家对人类首次“看见”的那个黑洞，成功绘制出偏振图像，已

知引力常量为G。试解