广西壮族自治区2025届高三年级下册3月第二次高考适应性测试数学试题

广西壮族自治区2025届高三下学期3月第二次高考适应性测试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/<1},2={_3,_1,0,2,4},则/口8=（）

A.{-1,0}B.{2,4}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2）

2.已知复数z满足（2-i）z=l+2i,则复数z的虚部为（）

33

A.-B.1C.--D.-1

55

3.已知向量。=（3,加）》=（加一5,2）,若£_11，则加二（）

A.2B.3C.6D.15

4.双曲线£-4=1的焦点到渐近线的距离为（）

54

A.1B.V3C.2D.3

5.已知某圆锥的侧面积为2兀，轴截面面积为百，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）

A.15B.30°C.45°D.60°

6.曲线》=4cosx与直线y=-x+2的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛码放在天平左盘中,

取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的祛码放在天平右盘中，再取出

一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

8.已知函数V=/（X）（X,〉£N+）满足：（1）对任意都有

4伍）+"（0）<4（。）+"修）；（2）对任意〃eN+，都有;=则12〃8）+8〃12）

的值是（）.

A.324B.336C.348D.360

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.记数列｛%｝的前〃项和为S“，且S“=/+M”eN*),则()

A.g=4B.数列｛鼠｝是公差为1的等差数列

an

C.数列｛2“”｝是公比为4的等比数列D.数列｛(-1)%“｝的前2025项和为-2026

10.设函数〃X)=(X+1)2(X-2),则()

A.x=T是/(x)的极大值点

B.当0<x<l时，/(x)>/(x2)

C.当一2〈尤<0时，一4</(尤+1)<0

D.曲线了=八>)有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为Q-2)

11.在平面直角坐标系中，已知曲线£上的动点尸(x,y)到点FQ,0)的距离与其到直线x=-2

的距离相等，点厂与点。关于原点对称，过点C的直线/与曲线E交于A、B两点，则下列

命题正确的是()

A.曲线E的轨迹方程为/=8%

B.若点T的坐标为(4,2),则|"|+|尸尸|的最小值为6

C.存在直线/使得8

D.对于任意直线/,都有尸|+忸尸|>2|C尸］

三、填空题

12.若正项等比数列｛叫满足。3=1。，则lgai+lg%+L+3%=.

13.在平面直角坐标系xQy中，若圆C的圆心在x轴上，且与>轴相切，则圆C的标型方程

可以为.(写出满足条件的一个答案即可)

14.如图，在3x3的点阵中，依次随机地选出A、B、C三个点，则选出的三点满足荏.衣<0

的概率是.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.记V4BC内角48,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=在cosB,-2=总方,

2

⑴求3；

(2)若c=2能,求V4BC的面积.

16.如图，在四棱锥P-/8CD中，ABHDC,CD=2AB=2AD=2,W为棱尸C的中点.

⑵若AD1平面PCD,PC=4^>,PD=\,求平面PDM和平面BDM所成的角的正弦值.

2

17.已知直线/：>=而+加与椭圆C:土+/=1交于A、5两点，。为坐标原点.

4

(1)证明：4k2+1>w2;

⑵已知方.砺=0,证明：点。到直线/的距离为定值.

18.已知函数/(x)=e「x.

⑴求曲线了=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵当尤田0,+8),6€(-00,1］时，恒成立，求实数。的取值范围；

n+\111

(3)证明:

19.在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学

爱好者挑战.挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能

力和运算求解能力.现有〃名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运

算求解题的概率均为两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如

下：

①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；

②记第M"1,2,3,L,〃)位同学挑战为本次挑战活动的第左轮，若第中=1,2,3,L位同

学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第i轮挑战失败，该同学退出由第

1+1位同学挑战；

试卷第3页，共4页

③若第十=1,2,3,L,1)位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解

题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第，轮挑战失败，该同

学退出，由第1+1位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本

次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战.

④挑战进行到第〃轮，则不管第〃位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束.令随机

变量X,表示这n名同学在进行第X,(X„=1,2,3,L,〃)轮挑战后结束挑战活动.

(1)求随机变量七的分布列；

(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时

间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题.令随机

变量匕表示这«名同学在第Y„(工=1,2,3,L,〃)轮挑战后结束挑战活动.

⑴求随机变量工(〃wN*,"»2)的分布列；

(ii)证明:£(工)<3.

试卷第4页，共4页

《广西壮族自治区2025届高三下学期3月第二次高考适应性测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABBCDCBCACDACD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】求出集合4,再利用交集的定义即可求出/C2.

【详解】由/W1得：-14x41,所以集合/={#2叫=卜卜14》41},故/nB={T,0}

故选：A

2.B

【分析】根据复数的除法先计算出ZF+为，得虚部为立

【详解】由（2-i）z=l+2inz=E=i,则复数z的虚部为1.

故选：B.

3.B

【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得.

【详解】由£，人可得3（机一5）+2加=0,解得加=3.

故选：B.

4.C

【分析】由双曲线的焦点，渐近线方程和点到直线的距离公式可解.

【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为（±3,0）,渐近线方程为y=士亭x,

由对称性不妨求右焦点到y=^x的距离，

由点到直线的距离公式可得d=

故选：C

5.D

22

【分析】利用圆锥侧面积公式S=”/和轴截面面积列方程再联立尸=r+h即可得到结果.

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为『，高为"

答案第1页，共13页

1=2

解得r=1

11=退

设该圆锥的母线与底面所成的角为6,则0。<。<90。，可得tane="=G,

r

所以该圆锥的母线与底面所成的角为60°.

故选：D.

6.C

【分析】构造函数，利用导数探讨在区间[-2,6]上的单调性，再利用零点存在性定理确定零

点个数即可.

【详解】函数了=-x+2在R上单调递减，当尤<-2时，>>4；当x>6时，y<-4,

由-iWcosxVl,得-444cosx«4,因此曲线歹=4cosx与直线y=-x+2的交点横坐标必在

[-2,6]上，

令/(x)=4cosx+x-2,xG[-2,6],求导得/(x)=-4sinx+l,

由/'(x)=0，得sinx=；,存在再£(06,%2£(：兀)，使得sin』=sin%2=；,

当一2<％<再或/<x«6时，f\x)>0；当芯<%<l2时，

函数/(幻在(-2,%6)上单调递增,在(再,/)上单调递减，

X/(-^)=-|-2<0,/(0)=2>0,/(j)=j>0,/(^)=j-2<0,/(7r)=7r-6<0,

/碎3兀)=,3712>0,因此函数/(尤)在(-2,士),(工,%),(3,6)上各有一个零点，

所以曲线V=4cosx与直线y=-x+2的交点个数为3.

故选：C

7.B

【分析】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.

【详解】设天平左臂长为机，右臂长为"，见”>0且加片”，左盘放的药品为占克，右盘放

答案第2页，共13页

的药品为工2克，

100m=nx2100m

则，解得西

mxx=100〃mn

100〃100m、.幽哗=200,

x=x+x=-------1-------->2,

x2mnmn

当且仅当加="时,取到等号，而加片"，所以x>200.

故选：B

8.C

【分析】先由条件(1)得到/(X)在N+上为单调增函数，再由条件(2)得到了⑴=2,再

根据/(/(叫=3n逐个递推可得.

【详解】对任意的〃=N+，由(1)得(〃+1)/("+1)+棚⑺>(〃+1)/(〃)+/(”+1),即

/(n+1)>/(«).

故/(x)在N+上为单调增函数.

对任意"eN+，由⑵得“3〃)=/(/(7•(〃)))=3八吟

显然/(I)丰1.否则，3=/(/(I))=/⑴.矛盾.

若〃1"3,则3=〃/(1))2〃3)>〃2)>〃1"3,矛盾.

所以，/⑴=2.

故〃3)=3〃1)=6,/(6)=/(/(3))=3x3=9.

由6=/(3)</(4)〈/⑸</(6)=9,得"4)=7,"5)=8.

则〃8)=/(〃5))=3X5=15,/(12)=/(3X4))=3X/(4)=21.

故12/(8)+8/(12)=12x15+8x21=348.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够确定〃x)在N+上为单调增函数和/⑴=2,然后

利用/(/("))=3”求解.

9.ACD

【分析】利用给定的前”项和求出％,再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判

答案第3页，共13页

断.

【详解】由s,=/+〃，n>2,得a“=S“-S,T=〃21)2一(〃一I)=2〃，而a]=5]=2满

足上式，

因此数列｛6｝的通项公式为an=2n,

对于A,a2=4,A正确；

rt2.i^(1C

对于B,—=nn=-n+~,，包--,数列｛=4是公差为5的等差数列，B错误；

2

an2n22an+ian2an

对于C,2fl"=4"，*=4,数列｛2"”｝是公比为4的等比数列，C正确；

对于D,令％=(-1)"%=(—ly•2〃,b2n_l+b2n=-2(2n-l)+2-2n=2,数列次,｝前2025项和

为

1-(4023+24)+25

(bx+b1)+(bi+fe4)H----砥狐=2x1012—2x2025=—2026,D正确.

故选：ACD

10.ACD

【分析】求出函数〃无)的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.

【详解】函数〃x)=(x+l)2(x-2)的定义域为R,求导得/'(x)=3(x+l)(x-D,

当x<-l或x>l时，>0；当一1<X<1时，f\x)<0,

函数在(1,+功上单调递增，在(-1,1)上单调递减，

对于A,x=-l是/(x)的极大值点，A正确；

对于B,〃x)在(0,1)上单调递减，0<x2<x<l,则/(x)</(£),B错误；

对于C,当一2<x<0时，T<x+l<l,/(l)</(x+1)</(-1),/(1)=-4,/(-1)=0,C正

确；

对于D,令g(x)=/(x)+2=x，-3x,g(—x)=(―x)3—3(—x)=—g(x),函数g(x)是奇函数，

函数g(x)的图象关于原点对称，则函数/(X)的图象关于点(0,-2)对称，

若函数g(x)的图象还有一个对称中心(。,6),a40,贝U26=g(a+尤)+g(a-x)

=(<7+x)3-3(tz+x)+(a-x)3-3(tz-x)=2a3-6a+6ax2,而2/_617+632不为常数，

因此点(。,6),。工0不是函数g(x)图象的对称中心，即函数g(x)的图象有且只有一个对称中

心，

答案第4页，共13页

则曲线y=/(x)有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为(0,-2),D正确.

故选：ACD

11.ABD

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线E的轨迹方程，再结合各选项条件逐一求

解判断.

【详解】对于A,由曲线E上的动点尸(x,y)到点尸(2,0)的距离与其到直线》=-2的距离相

等，

得曲线E是以尸为焦点，直线》=-2为准线的抛物线，方程为V=8x,A正确；

对于B,令点尸到直线x=-2的距离为d,贝"尸尸|=",过T作7厂垂直于直线尤=-2于7,

于是|尸7|+|尸用=|PT|+4217Tl=4-(-2)=6,当且仅当P是线段7〃与抛物线的交点时取

等号，B正确；

对于C,过A作4D垂直于直线x=-2于。，C(-2,0)，若|ZC|=01/4|,则|/C|=/|,

[y—x+2

|AD|=|CDI,ZACF=45°,直线/C方程为y=x+2,由T得好-8尸16=0,

[y=Xx

而此方程有相等实根，直线4C与抛物线相切，同直线NC与抛物线相交矛盾，C错误；

[x=ty—2c

对于D,v直线AC方程为x=ty—1,由<2得V-8川+16=0,A=64厂-64>0,解

[y=8x

得/>1,

2

设/(xQi),8a2，“，则%+xi+x2=t(yi+y2)-4=8t-4,

\AF\+\BF\=xl+2+x2+2=8i>8=21CF,D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

①设直线方程，设交点坐标为(士,%),(%2)2)；

答案第5页，共13页

②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或了）的一元二次方程，注意A的判断;

③列出韦达定理；

④将所求问题或题中的关系转化为玉+尤2、再%（或%+%、h%）的形式；

⑤代入韦达定理求解.

12.5

【分析】根据等比数列项的性质计算化简结合对数运算求解.

【详解】正项等比数列｛&｝满足%=1。，

55

则[g%+[ga2^---i-lga5=]ga1a2a3a4a5=lg（a3）=1g10=5.

故答案为：5.

13.（》一1）2+/=1（答案不唯一）

【分析】利用标准方程确定圆心和半径即可

【详解】设圆的标准方程为（x-a）2+（y-6）2=/（r>0）,

因圆C的圆心在x轴上，且与V轴相切，则同=匕6=0,

贝IJ圆的方程为（x-“y+『=/,故任取实数。即可，现取。=1,

故答案为：（x-l）2+j?=l（答案不唯一）.

14.A

63

【分析】先将9个点标号，对点A的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结

果.

【详解】由题意可知A、B、C三个点是有序的，讨论点A为主元，

对点A分三种情况讨论，如下图所示：

（1）第一类A为5号点.

①若4B/C=180°,三点共线有4条直线，止匕时有44；=8种；

②若/R4C=135。，如点8在1号位，则点C在6号位或8号位，即确定第二号点有4种方法,

确定第三号点有2种方法，此时有4x2£=16种；

答案第6页，共13页

(2)第二类A为1、3、7、9号点，此时，不存在这样的点；

(3)第三类A为2、4、6、8号点，以2号点为例，有三种情况如下图所示:

^<(1+2+2)x44=40种.

综上所述，满足荏.正<0共有8+16+40=64种.

648

因此，所求概率为尸=下=募.

故答案为：金.

63

【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

(1)列举法；

(2)列表法；

(3)数状图法;

(4)排列组合数的应用.

n

15.(1)5=-；

⑵2省+2.

【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理求出角C,进而求出3.

(2)利用和角的正弦及正弦定理、三角形面积公式计算得解.

【详解】(1)在V/8C中，由/及余弦定理，得2abeosC=云他，

解得cosC=",而0<C<兀，则C=g,由sinC=Y^cosB,得cos3=，^,

2622

7T

又0<5<兀，所以5=一.

答案第7页，共13页

(2)由(1),^sinA=sin(B+C)=sin—cos—+cos^-sin^=---------，

46464

.R2g显

由正弦定理得6=名"=——=4,

sinCJ-

2

所以VABC的面积为S=—bcsin^=—x4x2后x"+二=2枢+2

224

16.(1)证明见解析;

⑵叵

6

【分析】(1)取线段尸。中点N,连接AN,NM,易证四边形是平行四边形，再由

线面平行判定证结论;

(2)构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值.

【详解】(1)

取线段尸。中点N,连接AN,NM,

因为N是线段尸。中点，”为棱PC的中点,

所以MW7/DC,NM=-DC^\,

2

因为48//DC,48=1,

所以AB//NM,AB=NM,

所以四边形45MN是平行四边形，

所以8M7/AN,

又因为8Mlz平面尸ND,/Nu平面PN。，

所以8M7/平面P4D.

(2)

答案第8页，共13页

因为尸。=右,巳0=1«。=2,

所以PC?=P02+c02,所以尸D_LCD,

因为4D_L平面尸8,PD,COu平面PCD,

所以4DJ_PD,4D_LCZ).

如图以。为原点，ZX4为x轴，DC为V轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,10,1,(U,。),

所以由丽=(1,1,0),

显然平面尸DM的一个法向量为所=(1,0,0),

设平面的一个法向量为力=(x),z),

n-DM=0y+—z=0,、

贝IJ_，即/2,令x=l,则y=-l,z=2,所以k=(1,一1,2),

ii-DB=0x+v-o

所以平面PDM和平面BDM所成的角0的余弦值为：

cos0=Icosm,n\==-----,1==-

122

।同洞#Jp+(-i)+26，

贝！Jsin0=Vl-cos20=，

6

故平面PDM和平面BDM所成的角的正弦值为叵.

6

17.(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得.

(2)利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得.

y=kx+m

【详解】(1)由消去儿M(4^2+l)x2++4m2-4=0,由直线/与椭圆C交

x1+4/=4

答案第9页，共13页

于两点,

222

得A=64k2m2-16(4左2+l)(m-1)--16(m-4^-1)>0,

所以4左2+1＞加2

8km4m2-4

(2)设/(XQ1),882，/)，由⑴知，X1+x=-

24k2+rX'X2_4k2+1

2

〃、〃、727/、2724m-48k2m22

y1y2=(o：1+m)(Ax2+m)=kx1x2+km(xx+x2)+m=k-~~-+m

2222,2

m—4k.——►——►zH4m-4m—4k

--5----------，由04・05=0，得』%2+必先=------7----------1-----------7---—----二0，

4左+14左2+14左2+1

整理得加=3(F+I),因此点。到直线/的距离为定值=拽

5VFTiu2+i5

所以点。到直线/的距离为定值.

18.(1)了=1；

1

⑵。J；

(3)证明见解析.

【分析】(1)求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)不等式对6Vl恒成立可得d-"2一％_120对彳20恒成立，再构造函数并利用导数探

讨单调性推理得证.

(3)由(2)取。=1,6=1可得不等式〃了”1一+1户20,再取1,并借助裂项相消法

22k

求得证.

【详解】⑴函数〃%)=卜-％,求导得/'(x)=e:1,贝"(0)=0,而洋0)=1,

所以曲线>=/(X)在点(0"(0))处的切线方程为V=L

(2)不等式/(x)26+60e"-ax?-x26,

由bw(—8,1]时，/(x)2a/+6恒成立，得e"-a/一、21o二一"？_%_]之o,

令g(x)=QX-ax2-x-1,由当工£[0,+8)时，f(%)>ax2+b恒成立，

得VxG[0,+oo),g(x)>0,求导得g'(x)=ex-2ax-1,令h(x)=ex-2ax-l,x>0,

答案第10页，共13页

求导得/(%)=3-2。，而e"21,则当2QW1,即时，A(x)>0,

f

函数g(x)在［0,+8)上单调递增，gM>gXO)=O9函数g(x)在［0,+8)上单调递增,

贝Ug(x)2g(0)=0,符合题意，因止匕

2

当时，由/z'(x)<0,得0cx<1II2Q,函数g'(x)在(0/n2〃)上单调递减，

当工£(0,In2a)时,g'(x)<g'(0)=0,函数g(x)在(0,In2a)上单调递减，

则当xe(0,ln2a)时,g(x)<g(0)=0,不符合题意，

所以实数。的取值范围是。<二.

2

(3)由(2)矢口，当。=；,6=1时，/(x)>^-x2+l,x>0,

取x=/eN,贝丫%"正+1,而2r飞成+1)二

因此如(是〃+笑

在k2M左22334n-H

11111

=n-\—(Z-------)=n-\----------,

22〃+242H+4

n+i111

所以Z〃7)>"-Lr+K

M方2〃+44

19.(1)分布列见解析;

(2)(i)分布列见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)分析出工的所有可能取值为1，2,3,4,5,再根据独立性事件乘法公式即

可得到答案；

(2)⑴首先计算出尸亿=左)=4+区=«、，则网%=〃)=P：+P,；=(〃+1)出,再

写出工的分布列即可；

(ii)计算得E(工+J-E亿)=("+2)g),再累加得

E亿)q+4xg；+5xG-j+L+力(3"+("+1)13”,最后再利用错位相减法即可得到

答案.

【详解】(1)由题意可得,每名同学两题均完成挑战的概率为:，

答案第11页，共13页

工的所有可能取值为1，2,3,4,5,

则尸一;