2025届江苏省兴化市安丰初级中学高三复习第一次阶段性过关考试数学试题试卷

2025届江苏省兴化市安丰初级中学高三复习第一次阶段性过关考试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（）A． B． C． D．3．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则4．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．6．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户7．若变量，满足，则的最大值为（）A．3 B．2 C． D．108．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A． B．C． D．9．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是()A． B． C． D．10．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．9011．已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（）A．1194 B．1695 C．311 D．1095二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足，则的最小值为________.14．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.15．的展开式中的系数为____.16．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.（ⅰ）求面积最大值；（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.18．（12分）已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，，，求证：.19．（12分）已知，且．（1）请给出的一组值，使得成立；（2）证明不等式恒成立．20．（12分）已知函数，且．（1）若，求的最小值，并求此时的值；（2）若，求证:．21．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．22．（10分）已知函数（为常数）（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若为增函数，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.2．A【解析】

画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.【详解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.3．C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．4．B【解析】

根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.【详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示复数对应的点与点间的距离，又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，所以.故选：B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.5．D【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，∴，解得.∴.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.6．D【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.7．D【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．B【解析】

根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；选项，计算，不符合函数图象；对于选项，与函数图象不一致；选项符合函数图象特征.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．D【解析】

根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.10．A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为．故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.11．A【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程，双曲线的方程为，则椭圆离心率，双曲线的离心率，由和的离心率之积为，即，解得，所以渐近线方程为，化简可得，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.12．D【解析】

确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．【详解】时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．故选：D．【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．5【解析】

先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.故答案为：4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。14．【解析】

利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以，数列的通项公式为；（2），，令，则且，，由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，当或时，取得最大值为.故答案为：；.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．28【解析】

将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.16．【解析】

作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得.【详解】如图，设，圆心坐标为，可得，，，，，解得，，即的长是.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】

（1）由，解方程组即可得到答案；（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】（1）设，由，得.将代入，得，即，由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，则，（ⅰ）易知为的中位线，所以，所以，又满足，所以，得，故，当且仅当，即，时取等号，所以面积最大值为.（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，所以直线方程为.由，得，由韦达定理得，所以，代入直线方程，得，于是，直线斜率，所以直线与斜率之积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.18．（1），.（2）见解析【解析】

（1）分三种情况讨论即可（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式可化为.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集为，故，.（2）由（1）知，，即，由，得，，当且仅当，即，时等号成立.故，即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.19．（1）（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】

（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.【详解】解析:（1）（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,,因为,所以.所以,即.因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.20．（1）最小值为，此时；（2）见解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造，可得最值；法三：运用柯西不等式得：，可得最值；（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.【详解】（1），法一:，，的最小值为，此时；法二:，，即的最小值为，此时；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值为，此时；（2），，又，.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.21．（1）；（2）.【解析】

（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取