数学事件的关系和运算教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算

一、教学目标1.结合具体实例，了解随机事件的并、交与互斥的含义；会利用简单事件，借助并、交与互斥等事件关系准确的表示出较复杂的随机事件.2.能结合具体实例进行随机事件的并、交运算.3.在了解随机事件关系与运算的过程中，感受类比思想、由特殊到一般思想在解决问题中的运用.

二、教学重难点重点：事件的包含、互斥、互相对立、并事件、交事件的含义．难点：能进行随机事件的并、交运算，用简单事件表示复杂事件，能够区分互斥事件、对立事件．

三、教学过程（一）创设情境从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．设计意图：通过介绍教材设计的意图，简单明了的让学生理解本节课的授课目的，并引导学生把复杂的事件转化为简单的事件，从而引出用集合的运算表示较复杂事件，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系.发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.（二）探究新知任务1：探究事件的关系.在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6G＝“点数为奇数”；思考：1.你能写出事件的样本空间吗？2.你能用集合表示下列事件吗？C1＝“点数为1”；G3.你能发现这两个集合之间有什么关系，这两个事件之间又有何关系呢？小组活动：先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.答：1.样本空间Ω=2.它们分别是C1＝｛１｝和3.集合关系：｛1｝⊆｛1，3，5总结：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B⊇A（或特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件提示：不可能事件记为说一说：鼓励学生举出生活中具有包含关系与相等关系的实例师生活动：先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.答：.(1)已知某产品是否合格包括长度、直径两个指标，如果A表示“长度不合格”，B表示“产品不合格”，则A⊆B;(2)掷一个骰子，如果A表示“出现偶数点”，B表示“出现的点数能被2整除”则A=B.设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，通过熟悉的集合知识，引导学生探究事件的包含与相等关系，带领学生从多个角度理解事件的包含关系，多用实例帮助学生理解并培养学生发现生活中的数学知识的能力，进一步提升他们的数学学科素养.任务2：探究事件的运算探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，如：C2=“点数为2”；D1=“点数不大于3”；E21.你能用集合表示上面的事件吗？2.①集合D1,E1,②集合C2,E1,师生活动：合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.答：1.；C2={22.①集合关系：{1,2}∪2,3={1,2,3}，即E②集合关系：{1,2}∩2事件关系：事件E1和事件E2同时发生，相当于事件总结：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B下图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件总结：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B下图中的蓝色区域表示这个交事件设计意图：类比集合的并、交运算，探究事件的和与积运算，通过语言描述让学生更进一步的理解和与积事件的含义，培养学生知识的运用能力.任务3：探究互斥事件与对立事件探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，如：C3=“点数为3”，CF＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；1.你能用集合表示上面的事件吗？2.①集合C3，C②集合F师生活动：合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.答：1.C2.①集合关系：{3}∩5=∅，即C3∩C5=∅总结：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件下图中可以表示这两个事件互斥提示：（1）两事件互斥，两事件的交事件是不可能事件.（2）两事件互斥，两事件的和事件不一定是必然事件.②集合关系：{2,4,6}∪1,3,5=Ω；总结：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件下图中可以表示这两个事件对立提示：（1）两事件对立，两事件的交事件是不可能事件.（2）两事件对立，两事件的和事件一定是必然事件.注意：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.设计意图：在集合知识的基础上，进一步让学生理解互斥事件与对立事件的含义，并通过对比区别与联系，让学生理解与掌握到互斥事件与对立事件的概念，并会灵活运用.总结：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或互斥(互不相容)A与B不能同时发生A互为对立A与B有且仅有一个发生A（三）应用举例例1如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A，（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩解：（1）用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用x1（2）根据题意，可得A={(1,0),(1,1)}，BA={(0,0),(0,1)}，B（3）A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}，A∩B={(0,0)}；A∪例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与R1，R与G，M与N（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组x1,x2表示可能的结果，Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件R1=“第一次摸到红球”，即于是R1事件R2=“第二次摸到红球”，即于是R2同理，有R={(1,2),(2,1)}，G={(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}（2）因为R⊆R1，所以事件R因为R∩G=∅，所以事件R与事件G因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N（3）因为R∪G=M，所以事件Ｍ是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2=R，所以事件例3把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D分析：先判断是否可能同时发生，判断是否互斥，再看是否有一个发生，最后确定是否对立.解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选C.例4从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（）A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球解：从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球．对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A．（四）课堂练习1.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为(

)A.M∪N B.M∩N C.M−∩N−解：因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件和同时发生，即事件发生.故选：C.2．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（

）A．E∪F B．E∩F C．E解：因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F.故选3．掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)记是事件的对立事件，求，，，．解：（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（

）A． B． C． D．解：对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.故选：CD5.在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况．(1)写出该试验的样本空间；(2)用集