概率及统计的个人总结

随机抽样和样本估计总体1.统计的基本概念(1)总体(2)个体(3)样本．(4)样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．2．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中抽取n个个体作为样本(n≤N)，(2)最常用的简单随机抽样方法有两种和．抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．(3)应用范围：总体个体数较少．3．分层抽样(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成的层，然后按照一定的，从各层独立(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．4.频率分布表(2)频率分布表的画法步骤：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；第二步：分组；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．5.频率分布直方图利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．(1)作频率分布直方图的方法①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形．③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．(2)频率分布直方图的特征①直方图中各小长方形的面积之和为.②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的．③直方图中每组样本的频数为频率×总体数．茎叶图两位数的茎叶图，则茎为，茎按从小到大的顺序从列出，共茎的叶为，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．茎叶图的画法步骤7．(1)条形图；(2)折线图；(3)扇形图；8．样本的数字特征：众数;、中位数、设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\x\to(x)=，则这组数据的标准差和方差分别是，s2＝s＝标准差是反映总体波动的特征数，当标准差大时，反映数据；标准差小时，反映数据样本方差是标准差的平方．补充：平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)(5)标准差和方差的一些结论若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为eq\x\to(x)=；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为，方差为.关于样本方差的常用变形：s2＝补充：在频率直方图中，众数为中位数平均数方差、标准差可由分层抽样的样本均值及样本方差计算设样本中不同两层，一层有n个x1，x2，…，xn，平均数及方差分别为eq\x\to(x)，seq\o\al(2,1)；另一层y1，y2，…，ym平均数及方差分别为，seq\o\al(2,2)，则这个样本的平均值为=方差为s2＝更一般的有：多个分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均值为eq\x\to(x)=方差为s2＝[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x))2](eq\x\to(x)为样本的平均数)．公式推导：百分位数1．第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的3．四分位数25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．1．事件的相关概念频数、频率和概率3．事件的关系与运算事件的关系：包含关系及相等关系；互斥事件及对立事件；相互独立事件甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含义是________________，事件“密码被破译”可表示为________________．对偶律：;4．概率的几个基本性质当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率为.(3)不可能事件的概率为eq\a\vs4\al(0).如果A⊆B，那么P(A)P(B)．(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝说明：“事件A与事件B互斥”是P(A∪B)＝成立的条件(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(eq\x\to(A))＝任意两事件A与事件B，P(A∪B)＝对比集合中的个数计算公式：Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(AB)5．古典概型(1)特点：①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．(2)计算公式：P(A)＝.6．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件有公式P(AB)=(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)是事件A，B相互独立的条件对比：事件A，B互斥的充要条件1.条件概率一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．2.概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝＝为概率的乘法公式。公式总结：对于任意两事件A,B有P(A∪B)＝当事件A，B互斥时，P(A∪B)＝当事件A，B独立时，P(A∪B)＝=(利用对偶律转化）对于任意两事件A,B，则有P(AB)=当事件A，B独立时，则有P(AB)=3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称该公式为全概率公式．贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝4．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②＝1(1)均值：称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(D(X))为随机变量X的标准差．期望、方差的运算性质：E(aX+b)=D(aX+b)=期望与方差的关系：D(X)=四大分布1、超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))E(X)=n*M/N,D(X)＝(了解）2．独立重复试验与二项分布(1)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～，并称p为成功概率．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．4．正态分布记作X～则E(X)＝，D(X)＝正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越，曲线越，表示总体的分布越；σ，曲线越，表示总体的分布越，如图乙所示．特殊表达式的概率：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.P(X≤μ)=，P(μ－3σ<X)=若P(X≤s)+P(X≤t)=1,则有s+t=2μ1．两个变量的线性相关知识点一一元线性回归模型称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．知识点二最小二乘法将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝不需要记，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).知识点三残差与残差分析1．残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．2．残差分析残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．知识点四对模型刻画数据效果的分析1．残差图法在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．2．残差平方和法残差平方和(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差(1)正相关(2)负相关(3)线性相关关系、回归直线2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定参数．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up9(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do3(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))注意：样本点的中心在回归直线上3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为样本点的中心．其中eq\x\to(x)=，eq\x\to(y)=(3)相关系数当r>0时，表明两个变量；当r<0时，表明两个变量．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，均在直线y＝bx＋a(b>0)上，则两个变量X,Y的相关系数为在直线y＝bx＋a(b<0)上，则两个变量X,Y的相关系数为4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．(3)独立性检验0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2>2.706时，判定变量A，B；推判断犯错误的概率不超过当χ2≤2.706时，没有充分理由判定变量A，B，故认为A，B当χ>3.841时，判定变量A，B；当χ>6.635时，判定变量A，B．从上表可知值越小，临界值越；当接受变量A，B相互独立时，也可能犯错误，这类错误大小，随值越大，犯错误的概率越精讲06两个计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以这件事；分步乘法计数原理针对问题，各个步骤，只有各个步骤才算完成这件事．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．知识点三排列数公式及全排列1．排列数公式的两种形式(1)AEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(m),n)＝=，其中m，n∈N*，并且m≤n.2．全排列：AEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(n),n)＝(叫做n的阶乘)．规定：0！＝题型三排列处理排队问题1.简单问题直接法：2.特殊元素(特殊位置)优先法，如元素的“在”与“不在”问题，解决时；3.相邻问题捆绑法4.不相邻问题插空法5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.如甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的eq\f(1,A\o\al(3,3)).1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．2、组合数计算公式CEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(m),n)==注意=