自动控制理论课件 zk-5 线性系统的频域分析法学习资料

2025/4/141导读为什么要介绍本章?对于某些高阶系统，由于可能包含有数十个以上的储能元件，难以建模和求解。频率分析法以正弦波为激励信号建立系统的输入输出特性，采用图解法分析控制系统的动态性能与稳态性能，是研究线性系统的一种工程方法。第5章线性系统的频域分析法本章主要讲什么内容?

介绍频率特性的概念、典型环节的Bode图、绘制控制系统Bode图和Nyquist图的方法、由最小相位系统Bode图确定传递函数的方法、奈氏稳定判据、幅值裕度和相角裕度、运用Matlab进行相关仿真等。2025/4/1425.1

频率特性的基本概念5.2

典型环节的频率特性5.3

控制系统的开环频率特性5.4

奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的稳定裕度5.6

闭环频率特性5.7频率特性分析5.8Matlab频率特性分析第5章线性系统的频域分析法主要内容：2025/4/1431、频率特性的定义频率特性与传递函数存在下列简单的关系频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。5.1

频率特性的基本概念2025/4/144频率特性是复变函数，频率w是实变量例：指数形式幅角形式代数形式5.1

频率特性的基本概念R1Ci1(t)ur(t)uc(t)2025/4/1455.1

频率特性的基本概念系统的稳态输出2025/4/146频率响应：正弦输入信号作用下线性定常系统的稳态响应。线性定常系统在正弦输入信号作用下：稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的幅频特性；稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系统的相频特性。5.1

频率特性的基本概念

幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G(jw)，

，它也是

w的函数。G(jw)称为频率特性或频率响应。2025/4/147

这里和分别称为系统的实频特性和虚频特性。

还可将

G(jw)写成复数形式，即：5.1

频率特性的基本概念幅频、相频特性和实频、虚频特性之间具有下列关系：2025/4/148微分方程频率特性传递函数脉冲函数5.1

频率特性的基本概念

到目前为止，已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：2025/4/1495.1

频率特性的基本概念

频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。2025/4/14102、频率特性的表示方法5.1

频率特性的基本概念

幅相频率特性曲线工程上常用图形来表示频率特性，常用的有三种：对数频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)图、极坐标图。以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量的幅值与相位的图解表示法。对数幅相特性曲线又称尼柯尔斯(Nichols)图。以为横坐标，以为纵坐标，以w为参变量的一种图示法。又称伯德(Bode)图、对数坐标图。由两张图组成，以lgw为横坐标(按对数分度)，分别以和作纵坐标的一种图示法。2025/4/14115.1

频率特性的基本概念(1)幅相频率特性曲线——奈奎斯特(Nyquist)图、极坐标图

它是在复平面上用一条曲线表示w

由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。w

是参变量。在曲线上的任意一点可以确定实虚频、幅相频特性。

由于是偶函数，所以当w从和变化时，奈奎斯特曲线对称于实轴。2025/4/14125.1

频率特性的基本概念(2)对数频率特性曲线——伯德(Bode)图、对数坐标图由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：

横坐标分度：它是以频率w

的对数值

lgw

进行分度的。所以横坐标(称为频率轴)上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程(或十倍频)，用Dec表示。如图所示：2025/4/1413由于以对数分度(单位：弧度/秒)，所以零频率线在处。5.1

频率特性的基本概念在此坐标系内不可能标出这一点。通常，把0dB线定义为横轴，而纵轴位置根据需要选定。2025/4/1414相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。

一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标(频率轴)。

当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益＝20lg(幅值)。20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值5.1

频率特性的基本概念

纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标以lgA(w)或20lgA(w)表示。其单位分别为贝尔(Bl)和分贝(dB)。直接将lgA(w)或20lgA(w)值标注在纵坐标上。2025/4/14155.1

频率特性的基本概念可以展宽频带：频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性；可以将乘法运算转化为加法运算；所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示；对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。使用对数坐标图的优点：2025/4/14165.1

频率特性的基本概念(3)对数幅相特性曲线——尼柯尔斯图

尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。2025/4/1417ReImK(1)比例环节实频特性：；虚频特性：；幅频特性：；相频特性：。比例环节的极坐标图为实轴上的K点。1、典型环节的极坐标图5.2

典型环节的频率特性频率特性：2025/4/1418频率特性：ReIm(2)积分环节

积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1419(3)微分环节

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：5.2

典型环节的频率特性2025/4/1420①纯微分环节ReIm

微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1421②一阶微分ReIm

一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1422③二阶微分环节幅频和相频特性为：5.2

典型环节的频率特性2025/4/1423(4)惯性环节5.2

典型环节的频率特性频率特性：2025/4/1424极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：

下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1425实频、虚频、幅频和相频特性分别为：(5)振荡环节讨论时的频率特性：5.2

典型环节的频率特性2025/4/1426当时，，曲线在3、4象限；当 时，与之对称于实轴。实际曲线还与阻尼系数有关。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1427由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1428极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。(6)延迟环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：5.2

典型环节的频率特性1ImRe2025/4/1429幅频特性：(1)比例环节：

；对数幅频特性：相频特性：2、典型环节的对数坐标图相频特性：

5.2

典型环节的频率特性在此坐标系内不可能标出w=0这一点。2025/4/1430(2)积分环节可见斜率为－20dB/dec。5.2

典型环节的频率特性当时，；当时，。注意横竖坐标交点处的横坐标值(如果交点处没有标横坐标值，则斜线不到头)。2025/4/1431如果n个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性为：因此，它是一条斜率为

-20ndB/dec

的直线，并在w＝1处穿越横轴。对数相频特性为：

所以，相频特性是通过纵轴上-n•90°且平行于横轴的直线。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1432(3)惯性环节①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/dec

的直线(表示每增加10

倍频程下降20分贝)。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1433低频高频渐近线的交点为：，得： 称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。绘渐近线的关键是找到转折频率1/T。②对数相频特性：作图时先用计算器计算几个特殊点：

当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。5.2

典型环节的频率特性当时，；当时，；当时，。2025/4/1434图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1435(4)微分环节

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：5.2

典型环节的频率特性2025/4/1436①纯微分环节5.2

典型环节的频率特性2025/4/1437②一阶微分环节这是斜率为+20dB/dec的直线。低、高频渐近线的交点为相频特性：几个特殊点如下：相角的变化范围从0到。5.2

典型环节的频率特性低频段渐近线：当时，高频段渐近线：当时，对数幅频特性（用渐近线近似）：2025/4/1438一阶微分环节的伯德图5.2

典型环节的频率特性2025/4/1439幅频幅频和相频特性为：③二阶微分环节：低频渐近线：时，转折频率为：，高频段的斜率+40dB/dec。对数幅频特性：5.2

典型环节的频率特性高频渐近线：时，2025/4/1440对数相频特性：5.2

典型环节的频率特性当时，；当时，；当时，

。可见，相角的变化范围从0~180

度。二阶微分环节的伯德图2025/4/1441(5)振荡环节讨论时的频率特性：幅频特性为：对数幅频特性：低频段渐近线：时

高频段渐近线：时两渐近线的交点称为转折频率。斜率为－40dB/dec。5.2

典型环节的频率特性2025/4/1442相频特性：几个特征点：5.2

典型环节的频率特性由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。2025/4/1443当x较小时，在w=wn附近，A(w)出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr

对应的频率为谐振频率wr。令得谐振频率5.2

典型环节的频率特性谐振峰值x>0.707时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振。2025/4/1444

左图是不同阻尼系数情况下的对数频率特性曲线图。下图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。5.2

典型环节的频率特性可见当x较小时误差比较大，通常要在折线的基础上依据两特征点的值进行修正。2025/4/1445(6)延迟环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数频率特性：5.2

典型环节的频率特性延迟环节的伯德图2025/4/14465.2

典型环节的频率特性2025/4/14471、开环系统幅相频率特性曲线的绘制

开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论哪种形式，都可由下面的方法绘制。

使用Matlab工具绘制。将开环系统的频率特性写成或 的形式，根据不同的算出或可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。——手工画法绘制方法：5.3

控制系统的开环频率特性精确绘制——描点概略绘制——把握好四点：起点、终点、象限、与负实轴的交点2025/4/14485.3

控制系统的开环频率特性1、将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：2、求系统的频率特性：即：概略绘制的具体步骤：2025/4/14495.3

控制系统的开环频率特性3、求、；、。4、补充必要的特征点（主要指曲线与负实轴的交点）。5、根据、的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性，画出Nyquist的大致曲线。与负实轴的交点：在-1的左边还是右边？求法一：令G(jw)的虚部为零，求实部；求法二：令G(jw)的，再求模值。2025/4/1450例5-1：已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Nyquist图并求与实轴的交点。解：5.3

控制系统的开环频率特性1、系统的频率特性2、起点和终点：：2025/4/14515.3

控制系统的开环频率特性3、曲线与实轴的交点4、系统Nyquist图如右图所示。相交时满足：解得：-3.16舍去又解得：2025/4/1452开环Nyquist图的一般形状：5.3

控制系统的开环频率特性考虑如下系统：(1)

Nyquist图的起点2025/4/14535.3

控制系统的开环频率特性(2)

Nyquist图的终点对控制系统而言,2025/4/14545.3

控制系统的开环频率特性结论：（最小相位系统）（快速做题方法）(1)开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为-v90°的无穷远处。(2)n=m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。(3)n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为-(n-m)*90°。(4)不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，Nyquist曲线可能出现凹凸。2025/4/14555.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1456例5-2：已知系统的开环传递函数,试概略绘制系统的开环幅相曲线。解：5.3

控制系统的开环频率特性系统的频率特性各环节在w：时的相频特性范围：(象限判断)开环幅相曲线的起点幅频：开环幅相曲线的终点幅频：因此，开环频率特性的相频范围为：2025/4/14575.3

控制系统的开环频率特性与实轴的交点：令虚部为零，得：系统Nyquist图如右图所示。因K>0，与实轴无交点。ImRe0即2025/4/14582、开环系统对数频率特性曲线的绘制系统的开环传递函数一般都由典型环节构成：对应的开环频率特性为：开环对数幅频特性：相频特性：结论：开环对数频率特性等于相应的基本环节对数频率特性之和。5.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1459注意：在绘制对数幅频特性曲线时，总是用基本环节的直线或渐近线代替精确幅频特性，然后求它们的和。(2)在求直线渐近线的和时，要用到下述规则：在平面坐标上，几条直线相加的结果仍为一条直线，和的斜率等于各直线斜率之和。(3)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点的值绘出大致曲线。5.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1460例5-3：开环系统传递函数为：，T1>T2，试画出该系统的伯德图。解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节，两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。5.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1461

绘制开环对数幅频特性的步骤：(1)将开环传递函数写成基本环节相乘的形式。(2)计算各基本环节的转折频率，并标在横轴上。(3)绘出的低频区图形，为最低的转折频率。(4)按低频到高频的顺序将已画好的直线或折线图形延长。每到一个转折频率，折线发生转折，直线的斜率就要在原数值上加上对应的基本环节的斜率。每条折线上应注明斜率。(5)如有必要，可对折线在转折频率处进行修正。

实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线(渐近线)组成，在转折频率处改变斜率。5.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1462一般的近似对数幅频曲线有如下的特点：(1)最左端直线的斜率为－20

dB/dec，这里是积分环节的个数；(2)在时，最左端直线或其延长线的分贝值等于20lgK；(3)在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决于典型环节种类。例如，惯性环节后，斜率减少20dB/dec；而在振荡环节后，斜率减少40dB/dec。5.3

控制系统的开环频率特性2025/4/1463例5-4：系统开环特性为：，试画出伯德图。解：1、系统由三个典型环节组成：比例、惯性、振荡环节。则2、低频渐近线：斜率为，过点(1,20)。3、对数幅频特性曲线如右图所示：5.3

控制系统的开环频率特性对数相频特性曲线在同样的坐标系下绘制一条近似的曲线即可。注意相频的角度范围不要错即可。2025/4/1464红线为渐近线，兰线为实际曲线。5.3

控制系统的开环频率特性伯德图如下图所示：2025/4/1465

最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。3、最小相角系统和非最小相角系统例如传递函数：5.3

控制系统的开环频率特性最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。如：w20-20L(w)102025/4/14665.3

控制系统的开环频率特性半对数坐标系中的直线方程其中，[w1,L(w1)]和[w2,L(w2)]为直线上的两点，k(dB/Dec)为直线斜率。

L(w)50-20-40100w2025/4/1467例5-5：某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。5.3

控制系统的开环频率特性解：由图可写出

其中所以2025/4/1468例5-6：某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。5.3

控制系统的开环频率特性解：由图知，系统最左端直线的斜率为-20dB/dec，得v=1，系统有一个积分环节。w1和w2分别是两个惯性和两个微分环节的转折频率，则系统开环传递函数为：2025/4/14695.3

控制系统的开环频率特性若w=1时与实轴有交点得：得：K=25则系统开环传递函数为：2025/4/1470控制系统的闭环系统稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频率判据使用方便，易于推广。5.4奈奎斯特稳定判据1、奈奎斯特稳定判据

——由开环传递函数判断闭环稳定性

若系统的开环传递函数在右半平面上有P

个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为R，(R>0逆时针，R<0顺时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=P-R

。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。

当系统的开环传递函数在s平面的原点及虚轴上无极点时2025/4/14715.4奈奎斯特稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当w从

到变化时，极坐标图不包围(-1,j0)点。如果奈氏曲线刚好通过(-1,j0)点，表明闭环极点在s平面虚轴上，闭环系统处于临界稳定状态。

当系统开环稳定时，即P=0如果开环传递函数G(s)中含有ν个积分环节，则应从绘制的开环幅相特性曲线上ω=0+对应点处逆时针方向作ν90°、无穷大半径圆弧的辅助线，找到ω=0时曲线G(jω)的起点，再应用奈奎斯特稳定判据。ν=1ν=2ν=32025/4/14725.4奈奎斯特稳定判据

正负穿越G(jw)穿越负实轴

段对数幅值L(w)>0范围内相频曲线穿越

线正穿越N+(↓)自上而下(↑)自下而上负穿越N-(↑)自下而上(↓)自上而下2025/4/14735.4奈奎斯特稳定判据(1)若开环传递函数有P个极点在右半平面，w从变化时的奈氏曲线正负穿越之差为P/2(

P/2=N=N+-N-)，则闭环系统稳定。(2)开环极点全部在左半平面（P=0），则在曲线正负穿越次数之差为零，则闭环系统稳定。

奈奎斯特稳定判据也可如下表述：自实轴区间开始向下称为半次正穿越；自实轴区间开始向上称为半次负穿越。N+-1

Re

ImN+N-N-2025/4/1474例5-7：设系统的开环幅相频率特性如图所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数右半s平面的极点数，r为其s=0的极点数。稳定不稳定不稳定稳定5.4奈奎斯特稳定判据(a)P=1，Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点半圈(Z=P–2R=1-1=0)，系统稳定。

N+-N-=0.5-0=P/2(b)P=1，Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点半圈(Z=P–2R=1+1=2)，系统不稳定。N+-N-=0-0.5≠P/2(c)P=1，Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点半圈(Z=P–2R=1+1=2)，系统不稳定。N+-N-=0-0.5≠P/2(d)P=0，Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点零圈(Z=P–2R=0-0=0)，系统稳定。N+-N-=0-0=P/22025/4/14755.4奈奎斯特稳定判据2025/4/14765.4奈奎斯特稳定判据

若系统的开环传递函数有P个极点位于右半s平面，则当在L(w)>0的所有频率范围内，对数相频特性曲线与-180°线的正负穿越次数之差等于P/2

时，闭环系统稳定，否则不稳定。2、对数频率特性稳定判据2025/4/1477

系统的稳定裕度是用来衡量闭环系统的相对稳定程度的指标，是控制系统常用的开环频率性能指标，它与闭环系统的动态性能密切相关。两个表征系统稳定程度的指标：幅值裕度h和相角裕度

r。5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1478对数幅频特性上，幅值裕度

相角穿越频率wg：开环频率特性的相角为－180°时所对应的角频率。1、幅值裕度h开环幅频特性在相角穿越频率处的倒数，称为幅值裕度。5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1479

幅值裕度表示出Nyquist图在负实轴上离(-1,j0)点的远近程度。幅值裕度大，系统不易变成不稳定。对于开环稳定的系统，欲使闭环稳定，其幅值裕度必须为正。通常要求或。

物理意义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的h倍，则系统就处于临界稳定状态，或者在Bode图上，开环对数幅频特性再向上移动多少分贝，系统就不稳定了。如果系统是不稳定的系统，则相反。5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1480

幅值穿越频率wc：开环频率特性幅值为1时所对应的角频率。在极坐标平面上，开环Nyquist图与单位圆交点所对应的角频率。在Bode图上，开环幅频特性与0dB线交点所对应的角频率。

开环频率特性在幅值穿越频率处的相角与相角穿越频率之差，称为相角裕度。2、相角裕度g5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1481

相角裕度表示出Nyquist图在单位圆上离(-1,j0)点的远近程度。相角裕度大，系统不易变成不稳定。对于开环稳定的系统，欲使闭环稳定，其相角裕度必须为正。通常要求5.5

控制系统的稳定裕度物理意义：如果系统是不稳定的，那么系统的开环相频特性还需要改善多少度就处于稳定状态了。2025/4/14820

w

wg

wc

Im

-1

j(wc)1/h5.5

控制系统的稳定裕度

Re0

hL(w)-180

wg

wc

w

w

j(w)2025/4/14835.5

控制系统的稳定裕度2025/4/14845.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1485对于高阶系统，一般难以准确计算幅值穿越频率wc。在工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕度，故一般可以根据对数幅频渐近特性（即折线图）确定幅值穿越频率wc。再由相频特性确定相角裕度。

求法：对数幅频特性渐近线与wc的位置关系3、幅值穿越频率wc的近似求解5.5

控制系统的稳定裕度wc位于某段渐近线的两个转折频率之间。2025/4/1486步骤：5.5

控制系统的稳定裕度(1)

写出对数幅频特性曲线在各个频段的渐近线方程；(2)按顺序求各渐近线20lgAK(w)与0dB线的交点频率；(3)若

，则

。2025/4/1487例5-8：已知系统的开环传递函数，试求相角裕度与幅值裕度。解：(1)开环频率特性求wc，则令用插值法求得：5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1488求wc5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/1489解得：5.5

控制系统的稳定裕度可见：实际：2025/4/1490则求wg，则令所以，于是，5.5

控制系统的稳定裕度2025/4/14915.6闭环频率特性向量法等M圆和等N圆尼柯尔斯曲线1、闭环频率特性的求取(1)利用向量法求取闭环频率特性

单位反馈控制系统，闭环频率特性与开环频率特性的关系为一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐，在实际中通常都是采用图解法来求取。2025/4/14925.6闭环频率特性O

w1

A

Im

-1

G(jw)

Re

P设系统的开环频率特性如图所示。当频率时，向量表示G(jw1)，向量表示1+G(jw1)。在

=0

的范围内逐点采用图解计算支求出整个系统的闭环频率特性。2025/4/14935.6闭环频率特性(2)尼柯尔斯曲线

尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。尼柯尔斯图线由两簇曲线组成，一簇对应于闭环频率特性的幅值(20lgM)

为定值时的轨迹；另一簇则是对应于闭环频率特性的相角(

)为定值时的轨迹。两簇曲线在对数幅相平面上绘制等幅值、等相角轨迹而得到。尼柯尔斯图对称于-180°的轴线。每隔360°，等幅值图线和等相角图线重复一次。2025/4/14945.6闭环频率特性

注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。(3)等M圆和等N圆

该知识点略。学习可参考教材“鄢景华.自动控制原理(修订版).哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2006”。

按通常的方法对两者进行处理，然后再将两者的对数频率特性叠加。2025/4/14955.6闭环频率特性2、闭环频率特性(1)零频幅值M0为时的闭环频特性值。

(2)谐振峰值Mr为幅频特性极大值与零频幅值之比，即。(3)谐振频率wr为出现谐振峰值时的频率。(4)系统带宽闭环幅频特性幅值减小到时的频率，称为带宽频率，用表示。频率范围为系统带宽。“频带宽、峰值小，过渡过程性能好”2025/4/14965.7频率特性分析

1、控制系统的性能指标

时域指标：静态指标：静态误差ess、无差度v、开环放大系数K

动态指标：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、超调量

s%

频域指标：开环指标：剪切频率wc、相角裕度g、幅值裕度h

闭环指标：闭环谐振峰值Mr、谐振频率wr、带宽频率wb2025/4/14972、开环对数幅频特性与性能指标间的关系

对于常见系统，主要利用开环对数幅频特性分析和设计系统

(1)低频段

——第一个转折频率以前的频段对数频率坐标的低频段反映了系统的静态特性，即无差度v

和开环放大系数

K

低频段的斜率越小，对应于系统的积分环节的数目越多；位置越高，开环增益越大，闭环系统在满足稳定的条件下，其稳态误差越小。5.7频率特性分析2025/4/1498(2)中频段

——幅值穿越频率wc

所在的直线段为中频段

反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性开环频率特性最好以－20dB/dec的斜率通过0dB线

(3)高频段

——频率远大于wc的频段

其形状主要影响系统的抗干扰性

高频段对系统的性能指标影响不大5.7频率特性分析2025/4/14995.8Matlab频率特性分析Matlab控制系统工具箱在频率响应法方面提供了许多函数支持，使用它们可以很方便地绘制控制系统的频率特性图并对系统进行频域分析或设计。常用的函数有：bode()

绘制控制系统的伯德图；nyquist()

绘制控制系统的奈奎斯特曲线；nichols()

绘制控制系统的尼科尔斯图；margin()

计算控制系统的稳定裕量；freqresp()计算系统在指定频率处的频率响应值；evalfr()计算LTI系统在单个复频率处的频率响应