天津市滨海高新技术产业开发区第一学校2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

天津市滨海高新技术产业开发区第一学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案写在答题卡上，答在试卷上的无效.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡中.1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵，∴故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.2.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项．【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：，故C不正确；对于D：，故D正确，故选：D．3.完成一项工作有3种方法，其中有5个人只会用第一种方法，有4个人只会用第2种方法，有3个人只会用第3种方法，从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A.5种 B.4种 C.9种 D.12种【答案】D【解析】【分析】根据分类加法计数原理，求得答案.【详解】若用第一种方法完成，有5种选法，若用第二种方法完成，有4种选法，若用第三种方法完成，有3种选法，故从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有种，故选：D4.下列函数中，存在极值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据极值定义逐一分析即可.【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值；对于：函数在上单调递增，不存在极值；对于：函数在区间上单调递减，不存在极值；对于：在上单调递增，在上单调递减，因此是函数的极小值点，符合题意.故选：D.5.已知，则（）A.2 B.5 C.2或5 D.2或6【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质可得或，解方程即可.【详解】由，可得或，解得或5.故选：C6.已知函数，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，得到，结合导数的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则，根据导数的概念，可得.故选：D.7.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果.【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以为极小值点，为极大值点，为极小值点故极大值点有1个故选:A8.某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（）种A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用分步乘法原理，不相邻问题运用插空法，可求出这九个学科不同的考试顺序的种数.【详解】解：语文考试必须安排在首场，方法，除了物理、英语外，还有6科，这6科任意排，方法种，这6科中间有7个空，从这7个空中，插入物理、英语这2科，方法有种，则这九个学科不同的考试顺序共有种，故选：C.9.一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（）A.当时，有极小值 B.当时，有极大值C.当时，有极小值 D.当时，有极大值【答案】B【解析】【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.【详解】小盒子的容积为，所以，令，得或（舍去），当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，无极小值.故选：B.10.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（）A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1）【答案】C【解析】【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．11.天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于年月日（周二）至月日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学（此周学生不休息），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】【分析】首先确定高一年级的安排方法，再在剩下的四天里安排高二和高三，按照分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】由于周一闭馆，所以高一年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共种选择方法，再从剩下的四天里安排高二和高三，共种选择方法，故不同的方案有种．故选：C．12.已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】与题意可知，直线与函数的图象有个或个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】时，，，令，可得.当时，，函数递增；当时，，函数递减，且此时；时，，，当时，，函数递增；当时，，函数递减，且此时.所以极小值，极大值，，在且时，，函数的示意图如图所示，所以当它与有个或个交点时，.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了导数的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.第Ⅱ卷非选择部分（90分）二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13.计算：___________.【答案】0【解析】【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.【详解】解：原式.故答案为：0.14.函数单调递减区间为______．【答案】##【解析】【分析】求导，再令即可得解.【详解】函数的定义域为，，令，得，所以函数函数的单调递减区间为.故答案为：.15.已知函数的导函数为，且满足，则________．【答案】1【解析】【分析】对已知式求导，然后令代入即得．【详解】因为，则，令，可得，解得.故答案为：1．16.若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围.【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是.故答案为：17.用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个.【答案】【解析】【分析】组成没有重复数字三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类;个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解.【详解】由题意，从六个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位偶数，可分为两类，当末位是时，这样的三位数有个当末位不是时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有综上得这样的三位数共有个.【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．18.如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有______种.【答案】144【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列即可求解.详解】先涂红桥区，河北区和南开区，此时共有种方法，若和平区与红桥区不同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择，若和平区与红桥区同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择，因此总的涂色方法有，故答案为：14419.已知函数，当时，有极大值，则a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先求导数，结合极大值情况可求范围.【详解】，令，得或，且是开口向上的二次函数，因当时，有极大值，所以，解得.故答案为：20.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值.【详解】（1）当时，，过定点，对称轴为，当时，，解得：，所以；当时，在单调递减，且，所以；所以在恒成立，可得.（2）当时，恒成立，即恒成立，令，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以.综合（1）（2）可得：.【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴和两种情况.三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知函数在区间内，当时取得极小值，当时取得极大值.（1）求函数在时的对应点的切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)【解析】【分析】(1)根据函数解析式得到，利用在处取极小值，在处取极大值得到，由此求出的值,结合的值求出的解析式，进而求出切点以及，利用点斜式求出切线方程；（2）由（1）可得，此时根据导数研究函数的最值即可.【详解】（1），又，分别对应函数的极小、极大值，则，是方程的两实根，，于是，经检验满足题意则且当时，，且，所求切线方程为，即；（2），，在上的最大值为2,最小值为，【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22.从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答）（1）共有多少种不同的选法；（2）若将选出的人排成一排．①共有多少种不同的排法；②若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）先分析属于分步问题，然后根据组合数进行计算；（2）①在（1）的基础上乘以所选人的全排列即可得到结果；②在（1）的基础上，采用捆绑法将名男同学看成一个人，和名女生进行排列，注意男生内部排序.【详解】解：（1）从名男同学中选出人，名女同学中选出人，共种选法．（2）①这人全排列，共种排法；②男同学必须相邻共种排法，人排列共种排法所以共有种排法．23.如图，在多面体中，，，，平面，，，.（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值；（3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解.【小问1详解】因为，平面，平面，所以，所以，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令，得，所以，则，又因为平面所以直线平面.【小问2详解】由，得，，设平面的法向量为，则，令得，所以则平面与平面夹角的余弦值为【小问3详解】由于，平面的法向量，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为24.已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3).【解析】【详解】试题分析：（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值；（2），则，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增；（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：.试题解析：（1）的定义域为，当时，，，3—0+极小所以的极小值是，没有极大值；（2），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增；（3）“对内任意一个，都有成立”等价于“函数在上的最小值大于零”由（2）可知①当时，在上单调递增，所以，解得；②当，即时，在上单调递减，所以的最小值为可得，因为，所以；③当