广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以.故选：C.2.已知，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以．故选：B．3.曲线在处的切线方程为（）A. B. C.2x-y-1=0 D.【答案】B【解析】求导得到,，将代入原函数，得到，即切点；将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式.故选：B.4.将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（）种．A.60 B.120 C.240 D.480【答案】C【解析】5名大学生分成满足题意的4组，只有分组形式，即只有一所学校有2人，其余都是1人，则选2人组成一组剩余3人各自成组，然后将四组分到四所学校，因此，共有（种）.故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，则，所以，故选：A.6.已知双曲线的渐近线过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由双曲线，可得渐近线为：，把点代入渐近线方程：，得，解得.故选：D.7.过点P(-1,1)直线与圆相切于点，则（）A.4 B.16 C. D.17【答案】B【解析】圆，即圆的圆心为，半径，点P(-1,1)到圆心的距离，所以，=16.故选：B8.如图中，图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，对于A，，故函数为偶函数，不符合，对于B,，根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，对于C，由于，显然不符合，故选：D二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分．9.的展开式中，下列结论正确的是（）A.所有项的系数之和为0 B.常数项为C.所有项的二项式系数之和为64 D.展开式共6项【答案】ABC【解析】对于A，令，则所有项的系数之和为，故A正确；对于B，展开式的通项为，令，得，所以常数项为，故B正确；对于C，所有项的二项式系数之和为，故C正确；对于D，展开式共7项，故D错误；故选：ABC.10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数的极小值点为C.函数无极大值D.函数在上的最大值为【答案】BCD【解析】因为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；在上递减，在上递增，，，所以函数在上的最大值为，D正确.故选：BCD.11.正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（）A.当在线段上运动时，与所成角的最大值是B.若在上底面上运动，且正方体棱长为1，与所成角为，则点的轨迹长度是C.当在面上运动时，四面体的体积为定值D.当在棱上运动时，存在点使【答案】CD【解析】对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，如图二，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，所以在中，，由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误.对于C，如图三，因为在面内，面到平面的距离等于，而面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，如图四，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，因为，由，所以，故D正确.故选：CD.三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分．12.在等差数列中，，则数列的前项和__________.【答案】【解析】设等差数列的首项与公差，则有，解得，故.故答案为：13.中，已知，，，那么_________．【答案】【解析】，，，则，解得.且，由正弦定理得到.故答案为：.14.过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】如图，由，设直线的方程为，，由直线与圆相切，可得，解得，即直线的方程为，由，可得直线的方程为，与切线的方程联立，可得，，由，可得，，若，则，化为，即，即为，则．故答案为：．四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为．（1）求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率；（2）若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列．解：（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”，由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），因为每位消费者抽中三等奖的概率均为，所以，．（2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3，由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况，表示4个人挑选了4种奖品，所以；表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品，所以；当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种），对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种），所以有2种奖品被选中的方法有（种），所以，；当表示4个人挑选了同一种奖品，所以．所以的分布列为012316.如图所示,在四棱锥中，底面是梯形，且，，若，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.解：（1）∵，∴，又，∴，∵，，且，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）以的中点为坐标原点，过点与平行的直线为轴，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量m=x1,y取，平面的一个法向量，设平面的一个法向量n=x2,y取，平面的一个法向量，∴，设二面角的平面角为，则17.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，函数，其定义域为0,+∞令得+0-单调递增极大值单调递减所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由可得令，下面求gx在0,+∞令∴在0,+∞上单调递减且所以当时，；当时，．于是当时，，gx在上单调递增；当时，，gx在上单调递减；所以gx的最大值为故．18.椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的面积；（3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上．解：（1）由题意知：，得，又，所以，故椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设，,则，所以，又，解得或，由题意可得t<0，故所在直线方程为，即，所以点到直线的距离，故的面积为；（3）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设，,则，所以，又即，所以的角平分线平行轴，故的内切圆的圆心在一条定直线上.19.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”．（1）若数列满足，，求证：数列是“G型数列”．（2）若数列的各项均为正整数，且，为“G型数列”，记，数列为等比数列，公比q为正整数，当不是“G型数列”时，求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，令，记的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的，都有成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）①，当时，②，由得，当时，，所以数列和