贵州省安顺市2025届高三下学期3月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省安顺市2025届高三下学期3月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】复数，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.已知，角的终边过点，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因为角的终边过点，所以，所以.故选：B.4.若抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A.2 B.4 C. D.12【答案】B【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，∴焦点到直线的距离，解得或（舍去），∴.故选：B.5.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，向量在向量上的投影向量为，∵，是夹角为的两个单位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量为.故选：A.6.已知直线与曲线相切，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】设切点坐标为.∵，∴，则，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故选：A7.曲线与直线的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，，，作出与的大致图象，易知共有3个交点.故选：A.8.已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径为，记的中点为，则，易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大.因为，所以，.当点在的延长线上时，的面积最大，为，四面体体积的最大值为，解得，从而球的体积为.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组样本数据，则这组数据的（）A.众数为6 B.平均数为7.6C.中位数为6.5 D.第72百分位数为10【答案】AD【解析】将数据按从小到大的顺序排列为，出现次数最多的数为6，故A正确；平均数为，故B错误；中位数为，故C错误；∵，∴第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确.故选：AD.10.已知函数，则（）A.是奇函数 B.C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称，且，从而是奇函数，A正确；，B错误；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确；当时，，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.11.记为等比数列的前项和，若，，则__________.【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，所以，所以.故答案为：12.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________.【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，连接，.由题知，长轴长，由双曲线定义知，，则，当P，D，三点共线时，取得最小值，且最小值为.故答案为：13.若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】令，作出的图象，如图所示.由图可知，当时，只需当时，直线的图象恒在图象的下方，此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为，则，所以，则的取值范围为；当时，显然符合题意；当时，只需当时，直线的图象恒在图象的上方，此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为，则，所以，则的取值范围为.综上，实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面积.解：（1）由，可得.由余弦定理可知，所以，又，所以.（2）由，可知.由正弦定理可知，所以，因，所以，又，所以，则.又，所以的面积为.15.如图，在三棱柱中，，平面平面.（1）证明：.（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴，∵，，∴.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，则，故.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.16.为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.（1）小王同学的答题情况如图所示，①求小王同学的得分；②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.解：（1）①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分.②经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况，其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为.（2）由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40.，，，\\.X的分布列为：X0102040P故.17.已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆C的方程.（2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点.①求k的取值范围；②若，求的面积.解：（1）由已知得.因为，所以，解得，，故椭圆的方程为.（2）①将代入，得，则，解得或，故的取值范围为.②设，，由（1）可知，.因，所以.又，所以，所以或.易知直线与轴交于点，所以.当时，；当时，.故的面积为或.18.已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.（3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.解：（1）是上的非负函数.理由如下：因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故是上的非负函数.（2）由，，得.当时，，单调递减，当时，，单调