高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：9.2.3总体集中趋势的估计（教案）

第九章统计

9.2.3总体集中趋势的估计

一、教学目标

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．

2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．

3.理解集中趋势参数的统计含义.

4.通过对总体集中趋势的估计的学习，培养学生数学分析、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

求样本数据的众数、中位数、平均数.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，完成下列判断题。

判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变．()

(2)改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变．()

(3)在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标．()

10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、

【答案】（1）√(2)×（3）√.

2.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）

A．abcB．cbaC．cabD．bca

【答案】B

【解析】将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，

1

a1517141015171716141214.7，中位数为b15，

10

众数为c17.因此，cba.故选：B.

（2）新知探究

问题1:在初中的学习中我们学习了平均数、中位数和众数等刻画“中心位置”的量，请大家

探究它们之间的联系与区别以及根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.

学生回答,教师点拨并(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

中位数：把一组数据按大小依次排列，处在最中间位置位置(或最中间两个数据的平均数)的

数叫做这组数据的中位数．

1

平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

n

频率分布直方图中的众数、中位数、平均数:

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标

之和．

（4）数学运用

例1.2020年宿州市某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级

有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平

均成绩为（）

A．72分B．73分C．74分D．75分

【答案】C

60704080

【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为74.

100

故选：C.

变式训练1:一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的

数据的平均数是1.6，方差是3.6，则求原来数据的平均数.

【答案】17.2，0.4

【解析】设一组数据为xi(i1,2,3,,n)，平均数为x，所得一组新数据为

，平均数为，方差为2，

yi(i1,2,3,,n)ys2

yyy

则y3x50(i1,2,3,,n)，y12n1.6，

iin

3x503x503x50

所以12n1.6，

n

51.6

所以3x501.6，所以x17.2，

3

变式训练2:一组数据12，13，x，17，18，19的众数是13，则这组数据的中位数是（）

A．13B．14C．15D．17

【答案】C

【解析】因为数据12，13，x，17，18，19的众数是13，所以x13，则这组数据的中

1317

位数是15，

2

故选：C．

例2.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消

毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生

产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产

的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50，50,60，

60,70，…，90,100，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数

(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).

【答案】（1）m0.030；（2）平均数为71，中位数为73.33.

【解析】（1）由100.0100.0150.015m0.0250.051，得m0.030.

（2）平均数为x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，

220

设中位数为n，则0.10.150.15n700.030.5，得n73.33.

3

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.

变式训练:为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考

试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]

六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数.（每组数据以区间的中点值为代表）.

220

【答案】（1）第四组的频率为0.3；作图见解析；（2）；

3

【解析】因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为

1(0.0100.0150.0150.0250.005)1010.70.3.

补全的频率分布直方图如图所示.

(2)前三组的频率之和为：(0.0100.0150.015)100.40.5

前四组的频率之和为：0.40.03100.70.5

设中位数为x，则应有x(70,80)

220220

又0.4(x70)0.030.5，x即样本的中位数为

33

抽取学生的平均数约为

x10(450.010550.015650.015750.030850.025950.005)71

例3:某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现

分数都位于20~55之间，现将所有分数情况分为20,25、25,30、30,35、35,40、

40,45、45,50、50,55共七组，其频率分布直方图如图所示，已知m2n.

（1）求频率分布直方图中m、n的值；

（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.（每组数据用该组区间中点值作为

代表）

【答案】（1）m0.04，n0.02；（2）平均数为36.25，中位数为35.

m2n

【解析】（1）由频率分布直方图，得，

0.010.030.06m0.03n0.0151

m0.04

解得；

n0.02

（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为

22.50.0527.50.1532.50.3

37.50.242.50.1547.50.152.50.0536.25，

因为，0.010.030.0650.5，所以该班级这次月考语文作文分数的中位数为35.

变式训练:某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名

学生的数学成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),

第5组[95,100],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据

频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

【答案】（1）中位数为86.67，平均数为87.25（2）300

【解析】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为m,n

因为前2组的频率之和为0.40.5,因为前3组的频率之和为0.70.5,所以85m90,

由0.40.06(m85)0.5,得m86.67.

n77.550.0182.550.078