高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：函数的极值与最大（小）值（2）-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA076学科数学年级高二学期第一学期

课题函数的极值与最大（小）值（2）

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师范方兵北京市第二中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心

教学目标：

1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；

2．初步掌握求函数最值的方法．

3．体会数形结合、化归转化的数学思想．

教学重点：

掌握求函数最值的方法

教学难点：

函数最值与函数极值的区别与联系

教学过程

时间环节主要师生活动

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整

新

2

课个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在

分

引

钟x=x0附近找不到比f(x0)更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的

入

性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．

问题1函数的最大值与最小值的定义是什么？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

探(1)x∈I，都有f(x)≤M；

15究(2)x0∈I，使得f(x0)=M．

∀

分新那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）.

∃

钟知一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)x∈I，都有f(x)≥m；

(2)x0∈I，使得f(x0)=m．

∀

那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值（minimumvalue）.

∃

1

如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于

函数y=f(x)在此区间上的所有函数值．

问题2下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大

值吗？

观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2)，f(x4)，

f(x6)是函数y=f(x)的极大值．

问题3进一步地，你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？

从图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a)．

追问在下面两幅图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们

在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

结论一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，

那么它

必有最大值和最小值．

问题4最值与极值有什么区别和联系？

最值与极值的区别是：

2

1.极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质；

2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的；

3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一

定大于最小值(常值函数除外).

4.函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最值可以在端点取到.

最值与极值的联系是：

最值有时是函数的极值.

问题5如何求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值呢？

结合上面两幅图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)

的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．

例求函数f(x)=x34x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值.

1

3

解：又由于f(0)=4，f(3)=1，

所以，函数f(x)=x34x+4在区间[0，3]上的最大值是4，最小值是.

14

33

知

2

识

分

应

钟

用

小结一般地，求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在区间[a，b]内的极值；

3

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值．

观察上图，我们发现，当x>0时，1≤lnx.

1

�

例当x>0时，证明：1≤lnx.

1

�

解将不等式1≤lnx转化为1+lnx≥0.

11

��

设f(x)=1+lnx，那么f′(x)=+=.

111�−1

22

����

令f′(x)=0，解得x=1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示

x(0，1)1(1，+∞)

f′(x)0+

f(x)单调递减0单调递增

所以，当x=1时，f(x)取得最小值.

所以f(x)≥f(1)=0.

即1+lnx≥0.

1

�

所以当x>0时，1≤lnx.

1

�

追问证明：当x>0时，lnx≤x1.

解将不等式lnx≤x1转化为lnxx+1≤0.

设g(x)=lnxx+1，那么g′(x)=1=.

11−�

��

令g′(x)=0，解得x=1.

当x变化时，s′(x)，s(x)的变化情况如下表所示

4

x(0，1)1(1，+∞)

g′(x)+0

g(x)单调递增0单调递减

所以，当x=1时，g(x)取得最小值.

所以g(x)≤g(1)=0.

即lnxx+1≤0.

所以，当x>0时，lnx≤x1.

追问2ex≥x1.

小结求函数最值，还可以采取下列方法:

第１步，求出导数f′(x)的零点；

第２步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在

各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性；

第３步，根据函数单调性求出函数最值.

本节课，我们学习了如何利用导数来求函数的最大（小）值，

一般说来，我们有两种方法：第一种方法是利用导数求函数的极值，进一

步比较函数的极大(小)值与区间端点的函数值，从而求出函数的最大（小）值，

课值得注意的是，这种方法适合求函数在闭区间上的最大(小)值；

2

堂

分第二种方法是利用导数研究函数的单调性，进而利用函数单调性来求函数

小

钟

结最大（小）值.

这两种方法的共同点都是利用导数研究函数的单调性，同学们在这个过程

中要注重体会导数的工具性作用，体会数形结合的数学思想.