江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，则．故选：A．2.在中，D是AB边上的中点，则=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故选：C.3.设函数的零点为，则所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，函数在上为增函数，，，，因此.故选：C.4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】因为，所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点右平行移动个单位长度，故D正确；经检验，其他选项都不正确.故选：D.5.已知非零向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，则，因为，所以，，，则可得：，又因为，所以，即，，将代入上式可得：，设与的夹角为，，根据向量的夹角公式.因为，，所以.因为，且，所以.与的夹角为.故选：D.6.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，，且.可得：，即，.，将其变形为.分子分母同时除以（因为，若，则，此时，，两向量不平行），得到.将代入可得：，则.故选：D.7.已知函数其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，的图象如图所示，因为时，，所以要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，所以的取值范围是.故选：C.8.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，将其变形可得，即.根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线.因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线，所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形.根据投影向量的定义求的值，，可得，即，又因为，所以，因为，所以.的值为.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.C.向量与的夹角为D.若在上的投影向量为【答案】AD【解析】因为，所以，故A正确；由已知可得，，故B错误；因为，又，所以，故C错误；在上的投影向量为，故D正确.故选：AD.10.已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】如图，为的重心，D为BC的中点，因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确；，则，B正确；，C正确.，D不正确.故选：BC.11.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实根，，，，且，则下列叙述中正确的有（）A. B.C. D.有最小值【答案】ACD【解析】根据题意画出图象，如图所示：对于A：由图象可得，故A正确；对于B：因为是的两个实数根，所以，即，故B错误；对于C：因为且，即，所以，即，，故C正确；对于D：因为，所以，又，因此时取得最小值，故D正确.故选：ACD.三、本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12已知向量，，若，则______．【答案】1【解析】已知，.则；.因为，可得.所以，解得.13.已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______．【答案】【解析】已知，，则，所以.因为函数（）在区间上恰有一个零点.正弦函数的零点为，.当时，；当时，.要使函数在上恰有一个零点，则.解不等式可得：.的取值范围是.14.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是______．【答案】3【解析】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.根据正六边形的性质可知：，，.根据向量坐标运算，可得.因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么.所以.由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，．（1）求满足的实数，；（2）若，求实数．解：（1）因为，所以，所以，解得.（2），，因为，所以，解得.16.若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域．解：（1）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，记的周期为，则，又，，.函数的图象经过点，，则，.函数的解析式为.（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，由（1）得，，函数的解析式为.当时，，则.综上，当时，函数的值域为.17.为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.（1）求常数的值；（2）写出的解析式；（3）当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元?解：（1）依题意得，，所以，解得，故的值为.（2）依题意可知，又由（1）得，，当时，，当时，，所以.（3）当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以；当时，，当且仅当，即时等号成立，所以；又，故.答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元.18.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.解：（1）由，得，所以.（2）在等边中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共线，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.19.已知函数对一切实数，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求解析式；（3）若关于方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.解：