第23课 空间点、直线、平面之间的位置关系

第23课空间点、直线、平面之间的位置关系普查与练习23空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质及应用a．空间点、线、面的位置关系(1)(2023汇编，5分)下列说法正确的是__①④__．①若直线上有两个点在平面外，则直线上至多有一个点在平面内；②线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内；③三条平行直线共面；④两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；⑤圆心和圆上两个点确定一个平面；⑥三角形和四边形都是平面图形．解析：①因为直线上有两个点在平面外，所以直线与平面相交或平行．当直线与平面相交时，直线上有且只有一个点在平面内；当直线与平面平行时，直线上所有点都在平面外，所以直线上至多有一个点在平面内，故①正确．②线段AB上所有的点都在平面α内，则直线AB在平面α内，故②错误．③三条平行直线不一定共面，如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故③错误．④两平面有一个公共点，则两平面相交，必有无数个公共点，故④正确．⑤当圆心和圆上的两点满足三点共线时，无法确定一个平面，故⑤错误．⑥三角形是平面图形，四边形可能是平面图形，也可能是空间图形，故⑥错误．故选①④.(2)(2021黑龙江齐齐哈尔二模，5分)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的(C)A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a⊂α，b⊂β，α∩β＝c.①若a，b相交，设a∩b＝P，则P∈α，P∈β，∴P∈c，∴a，c相交，∴“a，b相交”是“a，c相交”的充分条件．②若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线，∴“a，b相交”不是“a，c相交”的必要条件．综上，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件，故选C.(3)(2021安徽芜湖月考节选，6分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：EG与HF的交点在直线AC上．答案：见证明过程证明：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，EF＝eq\f(1,2)BD.∵BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD∥EF，GH＝eq\f(2,3)BD≠EF，∴四边形EFHG为梯形，∴EG与HF必相交，设交点为M.(3分)∵EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝直线AC，∴M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．(6分)(4)(2020全国Ⅲ节选，6分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：点C1在平面AEF内．答案：见证明过程证明：在AA1上取点M，使得A1M＝2AM，连接EM，B1M，EC1，FC1.∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥AA1∥BB1，DD1＝AA1＝BB1，且2DE＝ED1，A1M＝2AM，BF＝2FB1，∴DE＝AM＝FB1，∴四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形，∴AF∥MB1且AF＝MB1，AD∥ME且AD＝ME.(3分)∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥B1C1且AD＝B1C1，∴B1C1∥ME且B1C1＝ME，∴四边形B1C1EM为平行四边形，∴EC1∥MB1且EC1＝MB1，∴AF∥EC1且AF＝EC1，∴四边形AFC1E为平行四边形，∴点C1在平面AEF内．(6分)(5)(2023汇编，20分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点．①若正方体的棱长为4，过D，M，C1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为(A)A．18B．6eq\r(10)C．12eq\r(2)D．36②过A，M，G三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的形状为(B)A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形③若正方体的棱长为4，过A，E，G三点的平面截正方体为两部分，则截面与平面BCC1B1所交线段的长度为__eq\f(10,3)__．④若正方体的棱长为2，过E，F，G三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为(C)A.eq\r(3)B.eq\r(2)C．3eq\r(3)D．3eq\r(2)解析：①如图，取AB的中点N，连接DN，MN，AB1.∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，∴AB1＝4eq\r(2)，DN＝C1M＝2eq\r(5).∵M，N分别是BB1，AB的中点，∴MN∥AB1∥DC1，且MN＝eq\f(1,2)AB1＝2eq\r(2).∴过D，M，C1三点的平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形DNMC1，其面积S＝eq\f(1,2)×(4eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(（2\r(5)）2－（\r(2)）2)＝18.故选A.②如图，延长AM，A1B1相交于点P，连接PG并延长，与B1C1相交于点R，与A1D1的延长线相交于点Q，连接AQ，与DD1相交于点S，连接GS，MR，则五边形AMRGS即为截面.故选B.③如图，连接AE并延长，交DC延长线于K，连接GK交CC1于H，则EH即为经过点A，E，G的正方体的截面与平面BCC1B1所交线段．∵点E，G分别为BC，C1D1的中点，正方体的棱长为4，∴CE＝C1G＝2.∵CE∥AD，∴△KCE∽△KDA，∴eq\f(CK,DK)＝eq\f(CE,AD)＝eq\f(1,2)，∴CK＝CD＝4.∵DK∥C1D1，∴△KCH∽△GC1H，∴eq\f(CH,C1H)＝eq\f(CK,C1G)＝2，∴CH＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)，∴EH＝eq\r(CE2＋CH2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝eq\f(10,3)，∴截面与平面BCC1B1所交线段的长度为eq\f(10,3).④如图，取A1D1，C1C，AB的中点I，J，N，连接GI，IF，FN，NE，EJ，JG，所围成的六边形GIFNEJ即为过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，GI，IF，FN，NE，EJ，JG的长度均为面对角线的一半，∴六边形GIFNEJ为边长为eq\r(2)的正六边形，∴截面面积为6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)×sin60°))＝3eq\r(3).故选C.b．点共线、线共点、点线共面的证明(6)(2020安徽宣城期末，5分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，P是线段AC上一点，且直线PA1交平面AB1D1于点M.给出下列结论：①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1不共面；③A，M，C，O共面；④B，B1，O，M共面．其中正确结论的序号为__①③__．解析：连接A1C1，AO.∵O是B1D1的中点，∴O∈A1C1.∵平面AB1D1与平面AA1C1C有公共点A与O，∴平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AO.对于①，∵M∈PA1，PA1⊂平面AA1C1C，∴M∈平面AA1C1C.又M∈平面AB1D1，∴M∈AO，即A，M，O三点共线，故①正确．对于②③，由①知M∈平面AA1C1C.又A，O，A1，C均在平面AA1C1C内，∴A，M，O，A1共面，A，M，C，O共面，故②错误，③正确．对于④，连接BD，则B，B1，O都在平面BB1D1D内．若M∈平面BB1D1D，则直线OM⊂平面BB1D1D，则A∈平面BB1D1D，显然A∉平面BB1D1D，故④错误．∴正确结论的序号是①③.(7)(2020江苏扬州期中，10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(Ⅰ)E，C，D1，F四点共面；答案：见证明过程证明：如图，连接EF，A1B，D1C.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，EF＝eq\f(1,2)A1B.∵A1D1BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形．∴A1BCD1，∴EF∥CD1，(2分)∴EF与CD1确定一个平面α.∴E，F，C，D1∈α，故E，C，D1，F四点共面．(5分)(Ⅱ)CE，D1F，DA三线共点．答案：见证明过程证明：由(Ⅰ)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四边形CD1FE为梯形．(7分)∴直线CE与D1F相交，设交点为P(如图所示)，∴P∈CE.又∵CE⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD.同理，P∈平面A1ADD1.又平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD，故CE，D1F，DA三线共点．(10分)2．判断空间两直线的位置关系(8)(2020四川达州模拟，5分)如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，AS⊥BS，M是线段AS上的点(不与端点A，S重合)，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能(C)A．异面B．相交C．平行D．垂直解析：当N不与A或B重合时，BS是平面SAB内的一条直线，MN是平面SAB外的一条直线，且M不在BS上，可知BS与MN异面；当N与B重合时，可知BS与MN相交；当N与A重合时，可知BS与MN垂直．因此直线BS与MN不能平行．故选C.(9)(2019全国Ⅲ，5分)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：如图，连接BD，MN，BE.因为N为正方形ABCD的中心，所以N在BD上，且N为BD的中点．又M为DE的中点，所以MN∥EB且MN＝eq\f(1,2)EB，所以M，N，B，E四点共面，且四边形MNBE为梯形．又△ECD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，所以BD＝eq\r(2)CD＝eq\r(2)ED，即BD≠ED.又M，N分别为ED，BD的中点，所以BN≠EM，即四边形MNBE为非等腰梯形，所以该梯形的对角线相交但不相等，即BM≠EN，且BM，EN是相交直线．故选B.(10)(2020宁夏银川期末，5分)如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(C)A．①②B．②③C．②④D．②③④解析：在①中，∵M，G分别是所在棱的中点，∴GH∥MN，∴直线GH与直线MN共面；在②中，∵点G，H，N确定一个平面，与平面相交的直线MN经过该平面内的N点，平面上的直线GH不经过点N，∴直线MN与直线GH异面；在③中，连接GM，易证GM与NH平行，∴G，H，N，M四点共面，∴直线GH与直线MN共面；在④中，∵点G，M，N确定一个平面，与平面相交的直线GH经过该平面内的G点，平面内的直线MN不经过点G，∴直线MN与直线GH异面．故选C.(11)(经典题，5分)已知平面α∩平面β＝c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a与b的位置关系是(C)A．平行B．相交C．异面D．上述三种都有可能解析：若a与b平行，因为a∥c，所以b∥c，这和b与c相交矛盾，所以A错；若a和b相交，因为直线a⊂α，直线b⊂β，平面α∩平面β＝c，则a和b都与c相交且交点在同一点处，这与a∥c矛盾，所以B错；因为两条直线的位置关系有平行、相交、异面这三种情况，故a和b只能异面，故选C.随堂普查练231．(2020浙江，4分)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，则“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，若m，n，l在同一平面内，则m，n，l两两相交或m，n，l中有两条平行，另一条直线与之相交，或三条直线两两平行，故“l，m，n共面”不是“l，m，n两两相交”的充分条件；若m，n，l两两相交，则m，n，l在同一平面内，故“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要条件．综上，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件．故选B.2．(2021安徽阜阳开学测试，5分)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H，如果EH，FG交于一点P，则(A)A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在直线AC上解析：∵点E，H分别在AB，AD上，而AB，AD是平面ABD内的直线，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴直线EH⊂平面ABD.∵点F，G分别在BC，CD上，而BC，CD是平面BCD内的直线，∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，∴直线FG⊂平面BCD.因此，直线EH与FG的交点P在平面ABD与平面BCD的交线上．又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P在直线BD上．故选A.3．(2020湖南长沙雨花区校级模拟，5分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝6，E，F分别为BB1，A1C1的中点，过点A，E，F的平面交B1C1于M，则EM＝(C)A．9B．5C.eq\r(13)D．3eq\r(5)解析：如图，延长AF，CC1交于点P，连接PE交B1C1于点M，连接FM，则四边形AEMF即为过点A，E，F的平面截三棱柱所得的截面．因为点F为A1C1的中点，所以FC1＝eq\f(1,2)AC.又因为FC1∥AC，所以点C1为PC的中点．取CC1的中点N，连接EN.因为点E为BB1的中点，所以B1E＝3，B1C1∥EN，所以eq\f(MC1,EN)＝eq\f(PC1,PN)＝eq\f(2,3)，所以MC1＝eq\f(2,3)EN＝eq\f(2,3)BC＝4，所以B1M＝2，所以在Rt△B1EM中，EM＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).故选C.4．(2020贵州月考节选，6分)如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC＝2，DA＝DC＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，EF＝2eq\r(2)，证明：A，B，E，D四点共面．答案：见证明过程证明：取AC的中点M，连接DM，FM.因为DA＝DC＝3，M为AC的中点，所以DM⊥AC.又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC.(2分)因为EF⊥平面ABC，所以DM∥EF.(3分)在Rt△ADM中，DM＝eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2)＝2eq\r(2)＝EF，所以四边形DEFM是平行四边形，所以DE∥MF.(4分)因为M，F分别是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．(6分)5．(2021江苏如皋中学高一月考，8分)如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点．答案：见证明过程证明：由题意知△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内且不全等，不妨设AB≠A1B1.又因为AB∥A1B1，所以四边形ABB1A1为梯形，所以AA1与BB1必相交，设其交点为S.(4分)因为BB1⊂平面BB1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，所以S∈平面BB1C1C，S∈平面AA1C1C.又因为平面BB1C1C∩平面AA1C1C＝C1C，所以S∈C1C，所以AA1，BB1，CC1三线共点．(8分)6．(2021四川泸州三模，5分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝eq\f(1,4)BB1，CF＝eq\f(1,2)CC1，则(B)A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线解析：连接B1D1，AC.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，BE＝eq\f(1,4)BB1，CF＝eq\f(1,2)CC1，∴D1E＝eq\r(D1Beq\o\al(2,1)＋B1E2)＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Deq\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)BB1))2)＝eq\r(17)，AF＝eq\r(AC2＋CF2)＝eq\r(AB2＋BC2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)CC1))2)＝2eq\r(3)≠D1E.连接BD与AC交于点O，取B1D1的中点为O1，连接OO1，易知OO1∥CC1∥BB1.∵AF∩CC1＝F，OO1∥CC1，∴AF与OO1相交，设交点为P；∵D1E∩BB1＝E，OO1∥BB1，∴D1E与OO1相交，设交点为Q.∵OO1⊂平面B1BDD1，∴P∈平面B1BDD1.∵OP∥CF，F为CC1的中点，∴OP＝eq\f(1,4)OO1.同理得O1Q＝eq\f(3,8)OO1，∴点P，Q不重合，∴P∉D1E.∵E∈BB1，∴D1E⊂平面B1BDD1.又∵A∉平面B1BDD1，P∈平面B1BDD1，P∉D1E，∴直线AF与D1E异面．故选B.7．(2021山东聊城期中，5分)已知a，b是两条异面直线，b，c是两条垂直直线，那么a，c的位置关系是(D)A．平行或相交B．异面或平行C．异面或相交D．平行或异面或相交解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取异面直线C1D1与BB1分别为a，b.若取直线CD为c，此时满足b⊥c，则a∥c；若取直线A1D1为c，此时满足b⊥c，则a和c相交；若取直线AD为c，此时满足b⊥c，则a和c异面．综上可得，a，c的位置关系是平行、相交或异面．故选D.课后提分练23空间点、直线、平面之间的位置关系A组(巩固提升)1．(2020全国Ⅱ改编，5分)设有下列四个命题：①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．②过空间中任意三点有且仅有一个平面．③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则上述命题中所有真命题的序号是__①④__．解析：两两相交且不过同一点的三条直线有三个交点，由基本事实1与基本事实2得①为真命题；过空间中任意三点，若三点在一条直线上，则有无数个平面，故②为假命题；如图，直线AB与B1C1不相交，但异面，故③为假命题；由线面垂直的定义可知，④为真命题．故答案为①④.2．(2021重庆校级模拟，5分)下列关于点、线、面位置关系的命题中正确的是(D)A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C．已知异面直线c，d，若直线a，b分别与c，d相交，则直线a，b异面或相交D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，O，C，M四点共面解析：对于选项A：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，在AD上任取点E，则平面ABCD与平面ADD1A1有三个公共点A，D，E但不重合，故选项A不正确．对于选项B：正方体ABCD－A1B1C1D1中以点A为公共点的三条棱AA1，AB，AD不在同一个平面内，故选项B不正确．对于选项C：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取异面直线A1B1和BC为c，d.若取直线B1C1为a，直线AB为b，则a，b异面；若取直线BB1为a，直线C1C为b，则a，b平行；若取直线B1C1为a，直线CC1为b，则a，b相交，∴直线a，b可能异面、平行或相交，故选项C不正确．对于选项D：∵平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AO，A1C∩平面AB1D1＝M，A1C⊂平面AA1C1C，∴M∈AO，即A，M，O三点共线．又∵C∉AO，∴A，O，C，M四点共面，故选项D正确．故选D.3．(2021山西运城模拟，5分)已知不在平面α内的任意两点A，B，给出以下命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④在α内存在直线与直线AB平行．其中正确的命题是(A)A．①③B．①②③C．②③D．①③④解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由A，B是不在平面α内的任意两点，得直线AB∥α或直线AB与平面α相交．对于①，当直线AB∥α时，取平面CDD1C1为α，则α内存在DD1与AB异面；当直线AB与平面α相交时，取平面CBB1C1为α，则α内存在CC1与AB异面，故在α内存在直线与直线AB异面，命题①正确．对于②，当直线AB∥α时，直线AB与平面α没有公共点，此时在α内不存在直线与直线AB相交，故命题②错误．对于③，当直线AB∥α时，取平面CDD1C1为α，则存在过AB的平面ABCD与α垂直；当直线AB与平面α相交时，取平面CBB1C1为α，则存在过AB的平面ABCD与α垂直，故存在过直线AB的平面与α垂直，故命题③正确．对于④，当直线AB与平面α相交时，在α内不存在直线与直线AB平行，故命题④错误．故选A.4．(2021江西南昌一模，5分)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是(C)A．直线EF，HG有可能平行B．直线EF，HG一定异面C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上解析：连接EH，GF.∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(AH,DH)＝eq\f(1,2)，则EH∥BD，且EH＝eq\f(1,3)BD.同理得FG∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD，∴EH∥FG，且EH≠FG，∴四边形EFGH为梯形，故直线EF，HG共面且不平行，∴直线EF，HG一定相交，故选项A，B错误．设直线EF，HG的交点为O.∵O∈EF，EF⊂平面ABC，∴O∈平面ABC，同理可得O∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．故选C.5．(2021福建泉州期末，5分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，B1P＝2PC，D1Q＝3QC1，用经过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为(D)A．3eq\r(15)B．15eq\r(3)C.eq\f(15\r(15),4)D．3eq\r(21)解析：如图1，延长BP交CC1于点R.∵CC1∥BB1，∴△CRP∽△B1BP，∴eq\f(CR,B1B)＝eq\f(CP,B1P)＝eq\f(1,2)，∴R为CC1的中点．连接QR，分别取A1B1，C1D1的中点H，G，连接BH，CG，QH，易知BH∥CG.图1又∵D1Q＝3QC1，R为CC1的中点，∴QR∥CG∥BH，BH＝BR＝2QR＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴四边形BHQR为梯形，且为经过B，P，Q三点的平面截正方体所得的截面．如图2，过Q作QJ⊥A1B1于J，连接C1H，RH.易得QH＝eq\r(QJ2＋（B1H－B1J）2)＝eq\r(B1Ceq\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)A1B1))\s\up12(2))＝eq\r(17).∵CC1⊥底面A1B1C1D1，∴CC1⊥C1H，∴RH＝eq\r(HCeq\o\al(2,1)＋C1R2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A1B1))2＋B1Ceq\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)CC1))2)＝2eq\r(6).图2如图3，连接RH，分别过B，R向RH，BH引垂线，垂足分别为M，N.图3在等腰△BRH中，RH上的高BM＝eq\r(BR2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)RH))2)＝eq\r(14).∵BH·RN＝RH·BM，∴RN＝eq\f(RH·BM,BH)＝eq\f(2\r(6)×\r(14),2\r(5))＝eq\f(2\r(21),\r(5))，∴S梯形BHQR＝eq\f(1,2)(QR＋BH)·RN＝eq\f(1,2)×3eq\r(5)×eq\f(2\r(21),\r(5))＝3eq\r(21).故选D.6．(2020甘肃模拟，5分)如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中异面的对数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：将展开图还原，可知C与G重合，B与F重合，所以四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中异面的有AB与GH，AB与CD，GH与EF，共3对．7．(多选)(2020山东日照联考，5分)对于四面体ABCD，下列命题正确的是(BD)A．由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的垂心B．分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C．若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面D．最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱解析：三角形的垂心是三条高线的交点，而A点的位置可以任意变化，垂足也可以任意变化，故A错误．如图，E，F，G，H，I，J分别为棱AC，AB，CD，BD，AD，BC的中点．易得EI∥CD∥JH，JE∥AB∥IH，所以四边形JEIH为平行四边形，同理，四边形EFHG也是平行四边形．因为FG，EH为平行四边形EFHG的对角线，EH，IJ为平行四边形JEIH的对角线，所以FG，EH，IJ相交于一点，故B正确．若四面体为正四面体，则两条高线恰好相交于AB的中点，故C错误．假设D错误，设AB最长，则AC＋AD≤AB，BC＋BD≤AB，相加可得AC＋AD＋BC＋BD≤2AB.在△ABC，△ABD中，AC＋BC＞AB，AD＋BD＞AB，所以AC＋AD＋BC＋BD＞2AB，矛盾，故D正确．故选BD.8．(2020江苏南通月考，14分)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；答案：见证明过程证明：在△ABD中，∵E，F分别为AD，AB的中点，∴EF∥BD.(3分)在△CBD中，∵BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(7分)(2)设FG与HE交于点P，求证：P，A，C三点共线．答案：见证明过程证明：∵FG∩HE＝P，∴P∈FG，P∈HE，∵FG⊂平面ABC，HE⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC.(11分)又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．(14分)9．(2021山东滨州期中，12分)已知平面α与平面β的交线为直线l，m为平面α内一条直线，n为平面β内一条直线，且直线l，m，n互不重合．(1)若直线m与直线n交于点P，判断点P与直线l的位置关系并证明；答案：P∈l，见证明过程解：P∈l.(1分)证明：∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈α，P∈β.(4分)又∵α∩β＝l，∴P∈l.(6分)(2)若m∥n，判断直线l与直线m的位置关系并证明．答案：m∥l，见证明过程解：m∥l.(7分)证明：∵m∥n，m⊄β，n⊂β，∴m∥β.(10分)又∵α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l.(12分)10．(2021安徽合肥瑶海区月考，10分)在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3).求证：直线EH，BD，FG相交于一点．答案：见证明过程证明：连接HG，E