2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题（含答案）

第第页2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题一、单选题1．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（） A． B． C． D．2．下列各数中，是有理数的是（） A．27 B．−1π C．−1.010010001⋯ 3．如图几何体的俯视图是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．2a+b=3ab B．−C．ab−1=ab−a 5．如图，AC=AD，BC=BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（）A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 第5题图 第7题图6．某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在九年级随机抽查了20名同学在一年内的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示：关于这20名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（）课外名著阅读量(本)89101112学生数33464A．极差是1本 B．中位数是10本C．众数是11本 D．阅读量多于10本的同学占70%7．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=55°，则∠ABO的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．55°8．如图，已知直线AB∥CD∥EF，若AD:DF=3:2，CE=4，则BE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12 第8题图 第9题图 第10题图9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosBA．12 B．22 C．3210．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接①S四边形ACFP=k；②③若APBP=13，则DADO=14；其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．二次根式x−7有意义的条件是．12．已知点A1,y1,B−2,y2在函数y=−2x+1的图象上，则y113．已知一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则扇形的面积等于．（结果保留π）14．将多项式ax2−4ax+4a15．如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，则AC的长为16．如果关于x的方程m3−x−1−x三、解答题17．计算：−1218．先化简，再求值：2x2+19．某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为10°，已知两楼的间距CE为50米，教学楼高BC为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度AE．（参考数据sin10°≈0.1720．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．21．如图，在△ABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥BD交CO的延长线于点E．（1）求证：AE=BD；（2）若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的长．22．“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．23．如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F取BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H．（1）求证：△HBE~△ABC；（2）若CF=8，BF=10，求AC和EH的长．24．我们定义：点P在一次函数y=ax+b上，点Q在反比例函数y=cx上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y=ax2+bx+c为一次函数和y=ax+b反比例函数y=cx的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P−1,−2在y=x−1上，点Q1,−2在y=−（1）判断一次函数y=x+1和反比例函数y=−2（2）若一次函数y=x−k与反比例函数y=k+3（3）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”①a+b+c=0②“向光函数”经过点−3,4，③a>b>0，记四边形ACBD的面积为S，求Sa25．如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC=4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是AB的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P．（1）证明：AHCH（2）求BH的长；（3）若存在一个实数m，使得tan∠APH=mBH，试求出m的值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故A不符合；既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合；既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合；既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故D符合.故答案为：D．【分析】利用中心对称图形与轴对称图形的概念，根据“轴对称图形的关键是寻找对称轴”、“中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重图合”逐一分析，再作出判断．2．【答案】D【解析】【解答】解：27是无理数，故A不符合；

−1π=1π是无理数，故B不符合；故答案为：D．

【分析】根据有理数的定义和无理数的定义求解，能化简的需要先化简，再作出判断．3．【答案】A【解析】【解答】解：俯视图是从几何体的上面看到的图形，从几何体的上面看到的图形是：

故答案为：A.【分析】根据三视图的概念求解．4．【答案】C【解析】【解答】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B、−aC、ab−1D、7−故答案为：C．

【分析】根据单项式乘以多项式，积的乘方，合并同类项，二次根式的乘法法则主线判断解题．5．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC与△ABD中，

AC=ADBC=BD∴△ABC≌△ABDSSS故答案为：A．【分析】根据全等三角形的判定-SSS求解．6．【答案】C【解析】【解答】解：最大值为12，最小值为8，所以极差是12−8=4本，故A错误；把这20名周学课外阅读经典名著的本书按从小到大的顺序排列为8，8，8，9，9，9，10，10，10，10，11，11，11，11，11，11，12，12，12，12，所以中位数是10+112这组数据中8出现了3次，9出现了3次，10出现了4次，11出现了6次，12出现了4次，11出现次数最多，所以众数是11，故C正确；阅读量多10本的同学所占百分比为6+420故答案为：C．【分析】（1）根据极差的定义求解；

（2）根据中位数的定义求解；

（3）根据众数的定义求解；

（4）根据表中数据求阅读量多于10本的同学所占的百分比．7．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠ACB=55°，∴∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=1故答案为：B．【分析】先根据圆周角定理求得∠AOB，再根据等边对等角和三角形内角和定理，求得∠ABO的度数．8．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∵CE=4，∴BC=6，∴BE=BC+CE=6+4=10．故答案为：C．

【分析】根据平行线分线段成比例定理定理解答即可．9．【答案】B【解析】【解答】解：过点A作AD垂直BC的延长线于点D，如图，

∵AD=BD=4，∠ADB=90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠B=45°，AB=AD∴cos故答案为：B．【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值求解．10．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，反比例函数y=k∴设A0,a，Cb,0，则点Bb,a，P∴设直线PE的解析式为y=k∴kak∴直线PE的解析式为y=−a当y=0时，−abx+∴Fk∴CF=k∵Pk∴AP=k∴AP=CF，∵四边形OABC是矩形，∴OA∥AB，AB∥OC，∴四边形ACFP是平行四边形，∴S四边形ACFP∵四边形ACFP是平行四边形，∴AC∥DF，∵OA∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；∵AP∴AP∵Bb,a∴AB=b，且Pka,a∴k∴ab=4k，∵直线PE的解析式为y=−a∴D(0,kb+a)∴AD=k∴DADO=∵S∴1解得k2∵S∴12∴ab−k−k+k∴1∴k=−2（舍去）或k=6，故④正确；综上所述，正确的有①②④，共3个.故答案为：C．【分析】先设A0,a，Cb,0，再表示出B、P、E三点的坐标，然后求出直线PE的表达式，从而可求得点F的坐标，接着可判断四边形ACFP是平行四边形，求出CF，利用平行四边形面积可判断①；

利用平行四边形的判定可判断②；

先利用APBP=13和点坐标特征求出DA、DO，就可判断③；

先利用S△CEF=1，求出11．【答案】x≥7【解析】【解答】解：∵二次根式x−7有意义，

∴x−7≥0，解得：x≥7.故答案为：x≥7．【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．12．【答案】<【解析】【解答】解：∵y=−2x+1，∴y随x的增大而减小，∵1>−2，∴y1故答案为：<．

【分析】利用一次函数的增减性解答即可．13．【答案】3π【解析】【解答】解：∵这个扇形的半径为3，圆心角为120°，∴S扇形故答案为：3π．【分析】利用扇形的面积公式直接求解．14．【答案】a【解析】【解答】解：ax2=a(x−2)故答案为：a(x−2)【分析】先提公因式法，再利用完全公式法求解．15．【答案】10【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=10，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=10．故答案为：10．【分析】根据菱形的性质得到△ABC是等边三角形解题即可．16．【答案】2【解析】【解答】解：m3−x−1−xx−3=0∵关于x的方程m3−x∴x−3=0，解得：x=3，∴m=x−1=3−1=2故答案为：2．【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程无解，求出x，再求出m．17．【答案】原式=2【解析】【分析】先代入殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后合并计算解题．18．【答案】解：2x2=5当x=−2,y=−1时，原式=5×4+6×−2【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，再代入求值．19．【答案】解：由题意得，四边形BCED是矩形，

∴BD=CE=50，DE=BC=16，

∵∠ABD=10°，

∴AD=BD⋅tan10°=50×0.18=9（米），

∴AE=DE+AD=16+9=25（米），

【解析】【分析】利用正切的定义求出AD长，根据线段的和差解题即可．20．【答案】（1）60名；

（2）条形图中，D级人数为：

60−3−18−24=15（名），

补全条形统计图为：

（3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个，

∴小利被选中的概率为：612=12【解析】【解答】（1）本次被抽取的人数是24÷40%=60（名）．故填：60；【分析】（1）利用C级的人数除以他的占比求出总人数；（2）让总人数减去其它租的人数求出D级人数，补全条形统计图；（3）画树状图得到所有等可能结果结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．21．【答案】（1）证明：∵O是AB边的中点，∴AO=BO．

又∵AE∥BD，

∴∠E=∠BDO，∠OAE=∠OBD，

在△OAE与△OBD中，

∠E=∠BDO∠OAE=∠OBDOA=OB，

∴△OAE≌△OBDAAS

（2）解：∵O是AB边的中点，∠ACB=90°，∴AO=BO=OC=12AB．

∴∠ACO=∠CAO，

∵△OAE≌△OBDAAS，

∴BD=AE，∠BDO=∠E，

∵∠BDO=∠CAO，

∴∠ACO=∠CAO=∠E，

∴AC=AE=6，【解析】【分析】（1）根据AAS证明△OAE≌△OBD，然后根据全等三角形的对应边相等解题即可；（2）先证明△OAE≌△OBDAAS，即可得到BD=AE，∠BDO=∠E，推理得到∠ACO=∠CAO=∠E（1）证明：∵O是AB边的中点，∴AO=BO．又∵AE∥BD，∴∠E=∠BDO，∠OAE=∠OBD，在△OAE与△OBD中，∠E=∠BDO∠OAE=∠OBD∴△OAE≌△OBD∴AE=BD；（2）解：∵O是AB边的中点，∠ACB=90°，∴AO=BO=OC=1∴∠ACO=∠CAO，∵△OAE≌△OBDAAS∴BD=AE，∠BDO=∠E，∵∠BDO=∠CAO，∴∠ACO=∠CAO=∠E，∴AC=AE=6，∴BD=AE=6．22．【答案】（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，可列出方程组为：9x+6y=3905x+8y=310解得x=30y=20答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋30−m箱，可列不等式组：m−30−m解得352∵m为正整数，∴m=18，19，20.①当m=18时，30−m=12，购买总费用为30×18+20×12=780（元），②当m=19时，30−m=11，购买总费用为30×19+20×11=790（元），③当m=20时，30−m=10，购买总费用为30×20+20×10=800（元），所以购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【解析】【分析】（1）设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，根据“购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元”、“购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元”分别列出方程，联立组成方程组，求出这个解方程组解；（2）设购买A种盐皮蛋m箱，先用m表示出购买B种盐皮蛋箱数，再根据“购买A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍”列出不等式组求解，并求出正整数解，再分3种方案分别计算得出结论．（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，由题意得：9x+6y=3905x+8y=310解得x=30y=20答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A种盐皮蛋m箱，则购买B种盐皮蛋30−m箱，∵购买A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，∴m−解得352又∵m为正整数，∴m所有可能的取值为18，19，20，①当m=18，30−m=12时，购买总费用为30×18+20×12=780（元），②当m=19，30−m=11时，购买总费用为30×19+20×11=790（元），③当m=20，30−m=10时，购买总费用为30×20+20×10=800（元），所以购买A种盐皮蛋18箱，B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．23．【答案】解：（1）∵AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，

∵EH⊥AB，

∴EH//AC，∴△HBE∽△ABC．（2）连接AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，

∵∠ACF=∠BCA，

∴△CAF∽△CBA，∴CACB=CFCA，

∵D为BF的中点，

∴∠BAD=∠FAD，∵EF⊥AF，EH⊥AB，

∴EF=EH．设EH=x，则EF=x，BE=10−x，∵△HBE∽△ABC，∴BEBC=EHCA，

∴10−x10+8【解析】【分析】（1）先利用切线的性质证得AB⊥AC，再证明EH∥AC，然后根据相似三角形的判定证得结论；（2）先利用圆周角定理求得∠AFB，再证明△CAF∽△CBA，列出比例式求得CA，然后利用D点为弧BF的中点证得∠BAD=∠FAD，再利用角平分线的性质定理证得EF=EH，设EH=x，然后用x表示出EF，BE，再△HBE∽△ABC，列出比例式求出x即可．24．【答案】（1）解：假设一次函数y=x+1和反比例函数y=−2x是存在“向光函数”，

设“幸福点”坐标为P(m,n)，则Q(−m,n)，

∴m+1=n−2−m=n，

解并检验得：m1=1n1=2，m2（2）解：∵一次函数y=x−k关于y轴对称的直线函数解析式为y=−x−k，而且一次函数y=x−k与反比例函数y=k+3x只有一个“幸福点”，所以y=−x−k与反比例函数y=k+3x只有一个交点，

∴y=−x−k③，y=k+3x④，

整理得：x2+kx+(k+3)=0，

Δ=k2−4(k+3)=0，

解得：k1=−2，k2=6，

当k=−2时，则一次函数y=x+2与反比例函数y=1x（3）解：∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y=−ax+b上，∴A、B关于y轴对称的点A'、B'是y=−ax+b与y=cx的交点坐标，

∴−ax+b=cx，

整理得：ax2−bx+c=0，

又∵“向光函数”为y=ax2+bx+c，

∴y=ax2−bx+c与“向光函数”为y=ax2+bx+c关于y轴对称，

∴xB−xA=xA'−xB'，

∵“向光函数”y=ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c=0②“向光函数”经过点(−3,4)，③a>b>0，

∴D(1,0)，c＜0

∴a+b+c=09a−3b+c=4，

∴b=2a−1c=1−3a，

即“向光函数”为y=ax2+(2a−1)x+(1−3a)

又∵a>b>0，

∴a>2a−12a−1>01−3a<0，

∴12<a<1，

又∵“向光函数”y=ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y=ax2−bx+c与“向光函数”为y=ax2+bx+c关于y轴对称，

∴ax2−(2a−1)x+(1−3a)=0，

∴x1=−1，x2=3a−1a，

∴xB'=−1【解析】【分析】（1）设“幸福点”坐标为P(m,n)，则Q(−m,n)，分别代入解析式，得到m、n的方程组求出m、n的值，解题即可；（2）根据题意可得一次函数y=x−k与反比例函数y=k+3x只有一个交点，联立方程组得到关于x的一元二次方程，令Δ=0（3）根据提议的的哦啊则A、B关于y轴对称的点A'、B'一定在y