中国第二十冶金建设公司综合学校高中分校高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河北省中国第二十冶金建设公司综合学校高中分校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（4分)数列2，5，11，20，x，47,…中的x值为（）A．28 B．32 C．33 D．272．（4分)曲线y=ex在点A(0，1)处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．3．（4分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0)或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1,﹣4）4．（4分）函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2,极大值3C．极小值﹣1,极大值1 D．极小值﹣2，极大值25．（4分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i6．（4分)某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是（）A．黑色 B．白色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大7．（4分）给出下列三个类比结论．①（ab）n=anbn与（a+b)n类比,则有（a+b）n=an+bn；②loga（xy）=logax+logay与sin（α+β）类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+)2类比,则有(+）2=+2•+;其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．(4分）已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．9．（4分）函数f（x）=+x2﹣3x﹣4在[0，2]上的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣4 D．﹣10．（4分）若a，b∈R，且（a+i）i=b+i，则（)A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1,b=﹣111．（4分）命题P：自然数a,b，c中恰有一个偶数，则其否定¬P为（）A．a,b，c都是奇数B．a，b,c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a,b，c中至少有两个偶数或都是奇数12．（4分）复数（i是虚数单位）的实部是（)A． B．﹣ C．﹣i D．﹣13．（4分）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i14．（4分)由直线x=﹣，x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A． B．1 C． D．15．(4分）用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2=n（4n2﹣1）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（）A．（2k)2 B．（2k+3）2 C．(2k+2）2 D．（2k+1）216．（4分)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有(）A．140种 B．84种 C．70种 D．35种17．(4分)下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx)′=﹣2xsinx18．（4分）设a,b∈R,若a﹣|b｜＞0，则下列不等式中正确的是（)A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞019．（4分）复数分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是(）A． B．﹣3﹣i C．1+i D．3+i20．(4分)已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x)的图象可能是(）A． B． C． D．二、解答题（共3道题，共20分）解答应写出演算步骤或证明过程．21．(6分）求证：+＜2．22．(7分）5个同学排成一横排照相．（1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（2）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（3）甲、乙不能相邻的排法有多少种？23．（7分）已知函数f（x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=﹣12x．（1）求函数f（x）的解析式;(2)求y=f（x）的单调递增区间．

2016—2017学年河北省中国第二十冶金建设公司综合学校高中分校高二（下）期中数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题1．数列2，5,11,20，x，47，…中的x值为()A．28 B．32 C．33 D．27【考点】81:数列的概念及简单表示法．【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性,即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．【解答】解：由题意知，数列2，5，11,20，x，47，∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9,则x﹣20=12,解得x=32，故选B．【点评】本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力．2．曲线y=ex在点A（0,1）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．【考点】I3：直线的斜率；62：导数的几何意义．【分析】由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．【解答】解：由y=ex，得到y′=ex，把x=0代入得：y′（0）=e0=1,则曲线y=ex在点A(0,1）处的切线斜率为1．故选A．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题．3．曲线f(x)=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1,则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8) C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．(2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率,即可求出切点的坐标．【解答】解:因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f’(x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f’（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时,f（1）=0，当x=﹣1时，f(﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为(1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．【点评】本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键．4．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2,极大值2【考点】6C:函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3,∴y′=3﹣3x2,由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1,或x＞1，∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1)，减区间是(﹣∞，﹣1），（1，+∞）．∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f（1）=1+3﹣13=3．故选A．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围,再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用5．复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==2﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．6．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A．黑色 B．白色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大【考点】F1：归纳推理．【分析】把○○○●●看作一个整体，发现并利用周期性求解．【解答】解:把○○○●●看作一个整体，这串符号以这个整体重复出现．由于36=5×7+1，前35个中共出现7×3=21个白圆，7×2=14个黑圆，接着是一个白圆．故选B．【点评】解题的关键是找出图形的变化规律．这里的规律是周期性．7．给出下列三个类比结论．①（ab）n=anbn与（a+b）n类比，则有（a+b）n=an+bn；②loga(xy）=logax+logay与sin(α+β）类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ;③（a+b)2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+)2=+2•+；其中结论正确的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．3【考点】F3:类比推理．【分析】分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．【解答】解:根据乘方的运算法则知:（a+b）n≠an+bn,①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知:（+)2=2+2•+2，③正确；故选B．【点评】本题考查对数的性质和应用,解题时要认真审题，仔细解答．合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．8．已知为纯虚数，则实数a的值为()A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则花间要求的式子等于为纯虚数，可得2﹣a=0，且1+2a≠0，由此求得实数a的值．【解答】解：已知==为纯虚数，∴2﹣a=0，且1+2a≠0，解得a=2，故选A．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质,属于基础题．9．函数f（x）=+x2﹣3x﹣4在[0,2]上的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣4 D．﹣【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对f（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，注意要验证端点值与极值点进行比较；【解答】解：∵f(x）=+x2﹣3x﹣4在定义域［0,2]上，∴f′（x）=x2+2x﹣3=(x﹣1）（x+3),令f′(x)=0,解得x=1或﹣3;当0＜x＜1时,f′（x）＜0，f（x）为减函数；当1＜x＜2时，f′(x）＞0,f（x）为增函数;∴f(x）在x=1上取极小值，也是最小值，∴f（x）min=f（1）=+1﹣3﹣4=﹣；故选A；【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b］上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f(a），f（b）比较而得到的,这是容易出错的地方;10．若a，b∈R，且（a+i)i=b+i,则()A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：a,b∈R，且（a+i）i=b+i，则﹣1+ai=b+i，∴b=﹣1,a=1，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．命题P：自然数a，b,c中恰有一个偶数，则其否定¬P为()A．a，b,c都是奇数B．a,b，c都是偶数C．a,b，c中至少有两个偶数D．a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】2J：命题的否定．【分析】根据命题的否定的定义，即可得到结论．【解答】解：根据命题的否定的定义，可得命题P否定¬P为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础，要求熟练掌握量词之间的关系．12．复数(i是虚数单位）的实部是（）A． B．﹣ C．﹣i D．﹣【考点】A2:复数的基本概念．【分析】直接由复数的除法运算化简为a+bi（a,b∈R）的形式，则实部可求．【解答】解：﹣=﹣==﹣﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．13．在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(）A．4+8i B．8+2i C．2+4i D．4+i【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2,3），确定中点坐标为C（2，4）得到答案．【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B(﹣2，3）,则其中点的坐标为C（2，4),故其对应的复数为2+4i．故选C．【点评】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化．14．由直线x=﹣,x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为(）A． B．1 C． D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解,积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=,所以围成的封闭图形的面积是．故选D．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力,化归与转化思想、考查数形结合思想,属于基础题．15．用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n﹣1）2=n(4n2﹣1）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为(）A．（2k）2 B．(2k+3)2 C．（2k+2)2 D．(2k+1）2【考点】RG：数学归纳法．【分析】可从证题的第二步起，假设n=k时等式成立（写出等式），去证明n=k+1时，等式成立（写出等式)，观察即可．【解答】解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2=n(4n2﹣1）的过程中,第二步，假设n=k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2=k（4k2﹣1），那么，当n=k+1时，12+32+52+…+（2k﹣1）2+（2k+1）2=k（4k2﹣1）+(2k+1)2，等式左边增加的项是（2k+1）2，故选：D．【点评】本题考查数学归纳法，掌握用数学归纳法的证题步骤与思路是关键，属于中档题．16．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种 B．84种 C．70种 D．35种【考点】D2:分步乘法计数原理．【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42•5=30;不同的取法共有70种故选C【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．17．下列求导运算正确的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx)′=﹣2xsinx【考点】63：导数的运算．【分析】由导数的运算法则逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，（x+）′=1﹣，故错误;选项B，（log2x）′=，故正确；选项C，（3x）′=3xln3，故错误；选项D，(x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．故选：B【点评】本题考查导数的运算，属基础题．18．设a，b∈R，若a﹣|b｜＞0,则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．【解答】解:利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误;a2﹣b2=1＞0,故C错误；排除A，B，C，选D．【点评】此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．19．复数分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是（)A． B．﹣3﹣i C．1+i D．3+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算;A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的乘除运算化简复数，求出对应的点,得到向量的坐标，则答案可求．【解答】解:由．．∴P(﹣1,0）,Q（2，1），则．∴向量对应的复数是3+i．故选D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的袋鼠表示法与几何意义，是基础题．20．已知函数f（x)的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x)的图象可能是(）A． B． C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数与原函数单调性间的关系判断:导数大于零则该函数为增函数，导数小于零则该函数为减函数．【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分,第一部分导数小于零，第二部分导数大于零,第三部分导数小于零，则相应的，第一部分原函数为减函数,第二部分原函数为增函数,第三部分原函数为减函数；满足题意只有D．故选D．【点评】本题主要考查导数法是如何利用函数的导数来刻画函数的单调性的，即：原函数的导数若大于零，则该函数在区间上是增函数；原函数的导数若小于零，则该函数在区间上是减函数．二、解答题（共3道题，共20分）解答应写出演算步骤或证明过程．21．求证:+＜2．【考点】72：不等式比较大小．【分析】直接法不易求证,可用分析法进行证明．【解答】证：∵和都是正数，若证只需证:整理得:即证：21＜25∵21＜25当然成立∴原不等式成立【点评】本题考查分析法证明不等式,用此方法应保证每步与上一步都互为充要条件．22．5个同学排成一横排照相．(1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（2）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（3）甲、乙不能相邻的排法有多少种?【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1)根据题意,假设5个人分别对应5个空位，甲不排在排头也不排在排尾，有3个位置可选;而其他4人对应其他4个位置,对其全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）采用捆绑法．先排甲、乙，再与其他3名同学排列，问题得以解决．（2）采用插空法，先排其余的3名同学，出现4个空位