河南省H20联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省H20联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈N−1<xA.4 B.8 C.16 D.322.已知函数f(x)=log5x，g(x)是f(x)的反函数，则f(1)+g(1)=A.10 B.8 C.5 D.23.已知平面α，β和直线m，n，α∩β=n，则“m⊥n”是“m⊥β”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆x24+y23=1的两焦点分别为F1，FA.7+27 B.14+47 C.5.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则d的取值范围为(

)A.(0,20.9] B.(19,20.9] C.(19,+∞) 6.在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，A0,B0A.2 B.32 C.43 7.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动;动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.A，B分别以A0(0,1)，B0(2,0)为起点同时开始运动，经过ts后，动点A，B的坐标分别为(x1,yA.−3 B.−2 C.−32 8.为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为(

)

A.160 B.192 C.224 D.256二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知如图是函数f(x)=2cos(ωx+φ)，(ω>0,−π2A.f(x)的图象关于3π2,0中心对称

B.f(x)在(−1,2)单调递增

C.f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3210.下列说法正确的是(

)A.数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9

B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且PD=1−PDC ，则C，D相互独立

C.某物理量的测量结果服从正态分布N10,σ2，σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大11.闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为A=a1,a2,⋅⋅⋅,an和B=A.若A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则dAB(1)=4；

B.若A=(a,a+1),B=(b−1,b)，其中a,b∈R，则dAB(1)=2dAB(2)；

C.若A=a,ea,B=(b,b−1)，其中三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a为常数，且a∈R，复数z在复平面内满足|z−a|≤1，则复数z对应的点Z的集合所形成图形的面积为

．13.若P为等边▵ABC内一点，∠BPC=90°，∠APC=120°，∠PAC=α14.已知▵AF1F2的顶点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，正四棱锥S−ABCD的底面边长为2，二面角S−AB−C的正切值为6，P为侧棱SD上的点，且SB/\!/平面PAC(1)求直线SB到平面PAC的距离．(2)请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得▵ESB是以SB为底边，2π3为顶角的等腰三角形.若存在，请求出点16.(本小题15分记Tn为正项数列an的前n项积，且a1=2，(1)求数列an(2)[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2，[−1.5]=−2，设bn=an17.(本小题15分某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2×单位：人满意程度性别合计男生女生满意120不满意150合计200(1)请补全上面的2×2列联表，依据小概率值(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为23，12，12(i)用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；(ii)记有n人进入总决赛的概率为P(n)，求P(n)取最大值时n的值．附：χ2=nα

0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.82818.(本小题17分)已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4.动圆圆心的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设过点F(1,0)的直线交曲线E于A，B两点，过点M(−1,0)的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间．(i)证明：线段BC垂直于x轴；(ii)记▵FBC的面积为S1，▵MFC的面积为S219.(本小题17分)已知函数f(x)=x3+ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B(O(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，求(3)若a≠−1，点P在y=f(x)的图象上，且异于A，O，B，点Q满足PA⋅QA=0，PB⋅QB参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.C

8.B

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.π

13.43714.13−63或15.解：(1)连接PO．∵SB//平面PAC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面PAC=PO在▵SBD中，O为BD的中点，∴点P为SD取AB中点G，由正方形ABCD的边长为2，易知OG⊥AB，SG⊥∴∠SGO即为二面角在Rt▵SGO中，∵二面角S−AB−C的正切值为6，∴OS=6，侧棱的长都是易知直线SO，AC，BD两两垂直，以点O为原点建立空间直角坐标系，如图所示．∴A0,−2,0，C0,2,0∴AC=0,22设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z)则m⋅AC=0m令x=32，则∴平面PAC的一个法向量为m=∵SB//平面PAC，∴直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC又BC在法向量m上的投影向量的模为BC⋅∴直线SB到平面PAC的距离为6(2)不存在.理由如下：根据第(1)问可得直线SB到平面PAC的距离为6又∵SB//平面PAC，设点Q为SB的中点，∴点Q到平面PAC的距离为假设在平面PAC上存在点E，使得▵ESB是以SB为底边，2则有EQ=1∵EQ=63<

16.解：(1)由TnTn+2=2T又∵a2=2a1，∴∴a(2)由(1)可知，bn∵=3×可得2n当n为奇数时，则2n3=当n为偶数时，则2n3=设Sn为数列bn的前可得S=2∴数列bn的前2n项和为2

17.解：(1)2×单位：人满意程度性别合计男生女生满意12030150不满意8070150合计200100300零假设为H0：满意程度与性别无关，χ所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001(2)(i)依题意，设Ai=“答对第i道题”(i=1,2,3)；则P(A1)=23所以P(B)=P(=2依题意，X～B(20,712)(ii)依题意，P(n)=C20n若P(n)最大，则C解得454≤n≤494，因为所以P(n)取最大值时n的值为12．18.解：(1)由题意，动圆过定点P(2,0)，设圆心T(x,y)，弦的中点为R，连接RT，则由圆的性质得|PT|∴(x−2)2+当y=0时，也满足上式，∴曲线E的方程为y2(2)(i)∵直线AB的斜率不为0，故设AB的方程为x=ty+1，Ax1,联立x=ty+1y2=4xΔ=(−4t)则y1y2k=2t故∠BMF故直线BM与直线CM关于x轴对称，即点B与点C关于x轴对称，∴线段BC垂直于x轴.(ii)由(i)可知Cx2,−∵点A在M与C之间，∴x2>S1S2则5S令f(y)=6y−y则f′令f′(y)>0，则令f′(y)<0，则f(y)在2,22上单调递增，在f(y)∴5S2−19.解：(1)由已知得，f(x)=0有三个根，

令x3+ax=0，得x=0或x2+a=0，

所以x2+a=0有两个不同的解，所以a<0．

令f′(x)=3x2+a>0，得x<−−3a3或x>−3a3;令f′(x)<0，得−−3a3<x<−3a3，

所以当a<0时，f(x)在(−∞,−−3a3)和(−3a3,+∞)上单调递增;

在(−−3a3,−3a3)上单调递减．

(2)令1−x1+x>0，得−1<x<1．

令g(x)=x3+ax−2ln1−x1+x，

因为g(−x)+g(x)=−x3−ax−2ln1+x1−x+x3+ax−2ln1−x1+x=0，

所以g(x)为奇函数．

因为g(0)=0，所以0是g(x)的一个零点，

要使g(x)=f(x)−2ln1−x1+x有三个零点，只需要g(x)在(0,1)有且仅有一个零点．

g′(x)=3