新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷（解析）

第三师图木舒克市第一中学高一年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第七章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则计算化简即得.【详解】，故选：D.2.已知向量，若，则（）A. B.2 C. D.－2【答案】B【解析】【分析】由向量垂直转化为数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为，且，所以,则，所以，故选：B．3.已知复数满足（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.【详解】设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.4.已知向量，若，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可.【详解】因为，所以，则，解出.故选：D.5.已知虚数是关于方程的一个根，且，则（）A.3 B.2 C.4 D.7【答案】D【解析】【分析】法一：设，代入原方程，根据复数相等和可得到答案；法二：解关于的方程求出对应的含参数的虚数根，再由，求出的值.【详解】法一：设，由则则解得；法二：由有虚数根，可知且，又由，有，解得．故选：D．6.在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积》【详解】设外接圆的半径为，则，解得，所以外接圆的面积为.故选：B.7.在矩形中，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】选做基底，根据向量的加法和减法的平行四边形法则和三角形法则运算，即可求得答案.【详解】在矩形中，为的中点，故选：D8.在中，角的对边分别为，且，则为（）A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理进行角化边进而判断.【详解】在中，由余弦定理得，，，因为，所以，即，即，又因为，所以，所以为等腰三角形.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式的运算结果是实数的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据复数加减乘除运算法则逐一计算即可求解.【详解】A项中，，故A正确；B项中，，故B错误；C项中，，故C正确；D项中，，故D错误.故选：AC.10.已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（）A. B. C.7 D.【答案】BC【解析】【分析】先由三角形三边关系确定的范围，再借助余弦定理列出关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为是三角形的三边，则且，得，设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角，而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得，即，解得，所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误.故选：BC11.已知正八边形的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.若函数，则函数的最小值为D.【答案】ACD【解析】【分析】延长交于点，根据向量数量积的定义可判断A；由投影向量的定义可判断B；将用数量积化简，结合二次函数判断C；对于D，过点作直线的垂线，垂足为，可分析D.【详解】对于A，延长交于点，正八边形内角，因此，故A正确；对于B，由图可知，因此投影向量即为，故B错误；对于C，由图可知，，，所以由题意可知函数，当时，取得最小值，，故C正确；对于D，过点作直线的垂线，垂足为，因此，易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，故选项D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z对应的点为，则_______．【答案】【解析】【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解．【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以．故答案为：13.在中，，，，则______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，再结合同角三角关系分析求解.【详解】由正弦定理，可得，又因为，则，所以.故答案为：.14.已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】由为钝角，得到且与夹角不为，代入公式计算，再看与夹角是否可能为即可得解.【详解】由，且为钝角，所以，解得，当时，则，解得，此时与夹角为，不成立，且．故答案为：且．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知，复数是虚数单位.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解.【小问1详解】因为是纯虚数，所以解得；【小问2详解】在复平面内对应的点为，由题意可得解得，即的取值范围是.16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为，求a、b的值．【答案】（1）；（2），或，．【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合，即可求角C；（2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值．【详解】（1）由余弦定理有，因为，可得；（2）由题意有，可得，由余弦定理得：，将，代入可得：，可得，所以，所以，由，解得或故，或，．17.已知向量，若与的夹角为．（1）求；（2）当何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积公式及计算即可；（2）两个向量垂直则这两个向量数量积为，把条件代入计算即可.【小问1详解】，.【小问2详解】当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得，所以当时，向量与向量互相垂直.18.在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的定义及坐标表示列式求解作答.（2）由（1）的结论结合正弦定理边化角，利用三角恒等变换及三角函数性质求解作答.【小问1详解】因，，则，而，且向量，的夹角为，则，因此，在锐角中，，则，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，又，由正弦定理得：，则，，而，由锐角得，，即有，显然有，于是得，有，，所以周长的取值范围为.19.如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.（1）若是边