人教版高中数学选修2-2教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集

第一章导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

i.理解平均变化率的概念；

2.了解平均变化率的几何意义；

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率：

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微

积分的划立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度及加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值及最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二.新课讲授

(一)问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.

从数学角度,如何描述这种现象呢？

44

■气球的体积/(单位：£)及半径T(单位:血之间的函数关系是丫(r)=§行3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)

分析：获

(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(曲i)

气球的平均膨胀率为一()b0.62(2m/L)

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(l)«0.16(曲z)

气球的平均膨胀率为一；。）X0.16（Jnt/£）

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从匕增加到匕时，气球的平均膨胀率是多少？

“匕）一-（匕）

问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度力（单位：叫）及起跳后的时间”单

位：s）存在函数关系力（力=-4.9内■&51+10.如何用运动员在某些时间段内的立均

速V度粗略地描述其运动状态？

思考计算：0</（0.5和1的平均速度;

在0«1W0.5这段时间里，V='°$）-）。）=4.05（/71/5）；

0.5-0

在1WfW2这段时间里，v=一二一8.2（根/s）

探究：计算运动员在04，W竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数。*）=-4.9/+6.5伊10的图像，结合图形可知，人（（|）=〃（0）,

_跃一献。）

所以口=——3------=0（5/〃?）,

竺-0

49

虽然运动员在0«/«果这段时间里的平均速度为O（s/m）,但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可

以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

<->平均变化率概念：

1.上述问题中的变化率可用式子--一1-表示，称为函数/•（*）从X到照的平均变化率

一

X22

2.若设政=工2一再，纣=/（々）一/区）（这里Ac看作是对于汨的一个“增量”可用加+Ax代替加,

同样纣=

Ay=f(x2)~/(%)))

AyAf/(x2)-/(X))/(x,+Ax)-/(x.)

3.则平均变化率为12)八"二乙」------J"

ArArx,—x{Ax

思考：观察函数F(x)的图象

例2.求y=/在％=与附近的平均变化率。

22

解：0，=(%+©)27。2,所以包=—

AxAx

所以y=%2在x=%附近的平均变化率为2x0+Ax

四.课堂练习

1.质点运动规律为s=*+3,则在时间(3,3+△1)中相应的平均速度为.

2.物体按照s1)=3/+什4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.25+32V

3.过曲线『FCr)=系上两点尸(1,1)和0nl作曲线的割线，求出当^尸。.1时割线的斜率.

五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率

六.教后反思：

§1.1.2导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念:

教学难点：导数的概念.

教学过程：

一.创设情景

(-)平均变化率

(二)探究：计算运动员在OWEV奂这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数力3=Y.9/+6.5什10的图像，结合图形可知，71(—)=/2(0),

49

_碟)-碗)

所以口=——与-------=0(5/m)，

奂-0

49

虽然运动员在0Wt<关这段时间里的平均速度为0($/，但实际情况是运

动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

二.新课讲授

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度、运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度.

那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，，=2时的瞬时速度是多少？考察，=2附近的情况：

4<0时，在［2+4,2］这段时间内.4>0时，在［2,2+4］这段时间内

-奴2)-4(2+4)4.9Ad+13.14-奴2+4)-奴2)-49△尸一133

V=-------------=------------V=------------=---------------

2—(2+4)—&(2+AE)-2A/

=-4.94-13.1

当位=一0.01时，4=-13.051；/当4=0.01时，4=-13.051；•

当4=-0.001时，4=73.0951一当4=0.001时,AZ=-13.0951；

当0.001时，AZ=-13.09951；/当4=0.001时,M=73.09951一

当4=-0.0001时，4=-13.099951；/当4=0.0001时,4=-13.099951一

当&=-0.00001时,4=73.099951一当4=0.00001时,4=-13.099951一

...P•..P

思考：当△，趋近于0时;平均速度v有什么样的变化趋势?

结论：当趋近于0时，即无论(从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度U都趋近

于一个确定的值一13.1.

从物理的角度看，时间|A/|间隔无限变小时，平均速度［就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在r=2

时的瞬时速度是一

为了表述方便，我们用limh(2+'，)-h(2)=一为7

8->o&

表示“当/=2,ZV趋近于。时，平均速度3趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬

时速度的精确值。

2导数的概念

从函数尸/'(x)在尸刘处的瞬时变化率是：

我们称它为函数y=/(x)在x=/出的导数，记作/(%)或yk与，即

说明：C)导数即为函数片/*(力在产用处的瞬时变化率

(2)Ax=x-x0,当—0时，x—>x^,所以/"(Xo)=lim~

KTOX-XQ

三.典例分析

9

例1.(1)求函数片3x在尸1处的导数.

o

分析：先求A#=△y=f{14-△x)-A1)=6△(Ax)

再求包=6+Ax再求lim—=6

AxA—。Ax

解：法一定义法(略)

3r2-3-123(x2-I2)

法二：y|.=lim--------=lim-......=lim3(x+l)=6

XIX-\IX-\3

(2)求函数F(x)=-x2+%在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包…)"=3…

ArM

例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第力2

时，原油的温度(单位：°C)为/(x)=f-7x+15(OWx(8),计算第2%时和第6力时，原油温度的

瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2〃时和笫6力时，原油温度的瞬时变化率就是7'(2)和f(6)

根据导数定义，"(2+词—

AxAx

所以/'(2)=lim—=lim(A¥-3)=-3

Ax->oArA—o

同理可得：/⑹=5

在第2〃时和第6%时，原油温度的瞬肘变化率分别为-3和5,说明在2万附近，原油温度大约以3°C“7

的速率下降，在第6〃附近，原油温度大约以5℃/0的速率上升.

注：一般地，/'(/)反映了原油温度在时刻/附近的变化情况.

四.课堂练习

1.质点运动规律为$=产+3,求质点在/=3的瞬时速度为.

2.求曲线片〃力=/在冗=1时的导数.

3.例2中，计算第30时和第5/1时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

六.教后反思：

§LL3导数的几何意义

教学目标：

1.了解平均变化率及割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义：

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

一.创设情景

(-)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数尸f(x)在尸加处的瞬时变化率，反映了函数片〃力在尸照附近的变化情况，导数

f\xQ)的几何意义是什么呢？

二.新课讲授

(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当4(与，/(与))(〃=1,2,3,4)沿着曲线/(x)趋近于点

尸(%,/(%))时，割线的变化趋势是什么？

率是4=""）一"/），当点e沿着曲线无限接近点/时,左无限趋近于切线外的斜率左,即

与一与

k=lim/（＞+〃）-"/）=小）

0

.TOAr

说明，（1）设切线的倾斜角为。，那么当ALO时，割线PQ的斜率，称为曲线在点夕处的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在X=x0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线：1）及该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断及求解.如有极限，则

在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定及曲线只有一个交点，可

以有多个,甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数尸F（x）在后田处的导数等于在该点（X。，/（%））处的切线的斜率，

即/,（%）=5—八一/（/）=R

0.TOAx

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出尸点的坐标；

②求出函数在点/处的变化率/'（%）=lim/■0（八口―/（玉））=%,得到曲线在点（x°

-Ax

的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

（二）导函数：

由函数/U)在产X。处求导数的过程可以看到，当时，/(小)是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的

一个函数,我们叫它为r(x)的导函数.记作：/(X)或y,

/(x+Ar)-/(尤)

即:r(x)=y=lim

Ar

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

(=)函数/(x)在点/处的导数/'(%)、导函数/'(%)、导数之间的区别及联系。

(1)函数在一点处的导数/'(%),就是在该点的函数的改变量及自变量的改变量之比的极限，它是一个常数,

不是变数。

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

(3)函数/(%)在点/处的导数f(%)就是导函数/'(X)在X=X0处的函数值，这也是求函数在点玉1处的

导数的方法之一。

三.典例分析

例1:(1)求曲线片F(x)=/+1在点P(1,2)处的切线方程.

(2)求函数尸3,在点(1,3)处的导数.

222

皿小”r[(1+Ar)+1]-(14-1)-2Ax+Ax.

解：⑴yL=1=hm--------------------=hm----------=2,

—Ax-Ax

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2(x—1)即2x-y=0

3x2-3-123(x2-I2)

(2)因为y'L=[=Hm---------=lim---------=lim3(x+1)=6

■一XTlX~\XTI%—1A—>1

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y—3=6(x—l)即6x—y—3=0

(2)求函数/'(才)=一12+x在1=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解

Ay-(-1+AJT)2+(-1+Ax)-2_.

—=-------------------------=3—zlr

AxAx

例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随

时间变化的函数

2

/7（%）=-4.9%+6.5x+10,根据图像，请描述、比较曲线力（1）在J、％、J附近的变化情况.

解:我们用曲线〃（。在务、4、，2处的切线，刻画曲线人。）在上述三个时刻附近的变化情况.

（1）当/=务时，曲线/iQ）在办处的切线4平行于x轴，所以，在，附近曲线比较平坦，几乎没有开

降.

（2）当，=乙时，曲线〃«）在，।处的刃线4的斜率〃'储）＜0,所以，在1=乙附近曲线下降，即函数

h（x）=-4.9x2+6.5x4-10在，二乙附近单调递减.

（3）当，一弓时，曲线屈。在与处的切线12的斜率〃'02）＜0，所以，在，_，2附近曲线下降，即函数

〃（x）=-4.9x~+6.5x+10在/=芍附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线6的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在G附近下降的缓

慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度C=f（t）（单位："2g//%L）随时间/（单位:

min）变化的图象.根据图像，估计1=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度了«）在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线

/«）在此点处的切线的斜率.

如蛰3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化

率的近似值.

作，=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：

0.48-0.91

k

1.0-0.7

所以/'(0.8)。一1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t0.20.40.60.8

药物浓度瞬时变化率/(/)0.40-0.7-1.4

四.课堂练习

1.求曲线*/*(»=/在点(1,1)处的切线;

2.求曲线y=y在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

六.教后反思：

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

21

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=%、j=了=一的导数公式；

x

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

21

教学重点：四种常见函数y=c、y=x、y=x\y=—的导数公式及应用

x

教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=x\y的导数公式

x

教学过程：

一.创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那

么，对于函数＞=/(%),如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但山于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求

极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷

的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

二.新课讲授

1.函数y=/(x)=c的导数

根据导数定义，因为包=但也二©=二=0

AxAxAx

所以y=lim—=lim0=0

Ax->0ArAx->0

函数导数

y=cy=o

了=0表示函数、=。图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若表示路程关于时间的函数,

则了=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.

2.函数y=/(x)=x的导数

因为竺=F(x+Ax)_/(x)=x+Ax-x=]

ArAxAx

所以y=lim—=lim1=1

Ar-»0ArAr->0

函数导数

y=xV=1

y'=l表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,

则/=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

3.函数y=f(x)=/的导数

因为包=/(x+Ar)―/(x)=，+以尸一心

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

-ArAx->o

函数导数

y=x2V=2%

y'=2x表示函数y=/图像(图32—3)上点(二丁)处的切线的斜率都为2x,说明随着工的变化，切线的

斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着工的增加，函

数y=V减少得越来越慢；当%>0时，随着x的增加，函数y=f增加得越来越快.若>=/表示路程

关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2尤.

4.函数y=/(x)=，的导数

X

11

因为Ay=/(4+&)_/(4)=x+加一］

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(——--------)=\

△soAx-x+x-Axx"

函数导数

1)，'=」

y=-

XXT

5.函数y=/(x)=4的导数

因为包=次四二」史=正运二正

MMAx

所以y'=lim—=lim-/:—五=—产

A—O^Vx+Ax4-Vx2yjx

函数导数

-1

y=E

(2)推广：若＞=/(x)=x"(〃wQ"),则f\x)=nx"~l

三.课堂练习

1.课本上探究1

2.课本%探究2

四.回顾总结

函数导数

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y=2x

11

)'=一

X

y=\[x

y=/(x)=x”£。*)y=nxn~l

五.教后反思：

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2.掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一.创设情景

五种常见函数y=c、y=x.y=x2.y=—

______________________________x

函数导数

y=y/x的导数公式及应用

y=c

二.新课讲授y=0

（一）基本初等函数的导数公式表

\)=Y、:-1

（二）导数函数导数的运算法则

y=cy=0

y=nxn~'

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=fM=axy=axlna(a>0)

y=fW=e'y=ex

fM=log,X/(x)=log”#(x)=(a>。且。w1)

xlna

/(x)=lnxf,M=-

X

导数运算法则

1.[f(x)±g(x)]-f\x)±g'(x)

2-[fM'gM]=fXx)g(x)±f(x)g\x)

f(x)g(x)-/(x)g'(x)

3.(g(x)wO)

g(x)

（2）推论：［（/（切=cf\x）

（常数及函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三.典例分析

例L假设某国家在20年期间的年均道货膨胀率为5%,物价P（单位：元）及时间f（单位：年）有如

下函数关系〃Q）=Po（l+5%y,其中为f=O时的物价.假定某种商品的，0=1，那么在第10个年头,

这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?

解：根据基本初等函数导数公式表，有pQ）=l.O5」nl.O5

所以P(1O)=1.O510In1.05«0.08(元/年)

因比,在第io个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=x3-2x+3

11

1+y/~X1-y[x

(3)y=x-sinx-\nx；

x

(4)y=一；

“4'

1-lnx

(5)y=--------

1+lnx

(6)y=(2x2-5x+l)-ex；

sinx-xcosx

(7)y=-----------:—

cosx+xsinjc

解：(1)y'=(d—2%+3)'=(%3)'—(2X)'+(3)'=3%2—2,

y-(7777)-(中)

(3)y=(xsinxlnx)=[(x-lnx)-sinx]

./X、，x.4r-x-(4A)'b4x-x-4vln4l-xln4

⑷y=(N=——=——

£

1—Inx-212

(5)y=(-----)=(一1+-----)=2(------)=2-----Y--------------

1+lnx1+Inx1+lnx(l+lnx)2x(l+lnx)2

(6)y=(2x2—5x+1)-ex+(2x2—5x+l)-(efr)

sinx-xcosx•

⑺y=(z：)

cosx+xsinx

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.

②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水

净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化帮用函数的导数.

5284

(1)因为c(90)=--------7=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84

(100-90)2

元/吨.

5284

(2)因为c(98)=--------=1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321

(100-90)72

元/吨.

函数/(幻在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，c(98)=25c(90).它

表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25

倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.

四.课堂练习

1.课本%练习

2.已知曲线Gy=3X4-2?-9V+4,求曲线。上横坐标为1的点的切线方程；

(y=-12x+8)

五.回顾总结

(1)基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

六.教后反思：

§1.2.3复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于己知函数对中间变量的导数乘以中间变量对

自变量的导数之积.

教学难点正确分解及合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

一.创设情景

（一）基本初等函数的

导数公式表函数导数

（二）导数的运算法则

y=cy=0

y=fM=xn(neQ^)y=nxn~l

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=fM=优y=ax-Ind(67>0)

♦V

y=/U)=exy=e

f(x)=log]X/(x)=logxf(x)=(a>0且awl)

flx\na

f(x)=\nxf'M=-

X

导数运算法则

1・1g(X)]=f\x)±g\x)

2.[f(X)^g(X)]=fXx)g(X)±f(X)gXx)

7(x)~二/a)ga)-/(x)ga)

3.(g(X)H0)

一g(机[g(x)『

（2）推论：［（/（X）］=cf（X）

（常数及函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二.新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数y=f(u)和〃=g(x),如果通过变量〃，y可以表示成x的

函数，那么称这个函数为函数y=/(〃)和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x))。

复合函数的导数复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(w)和％=g(x)的导数间的关系为

y'=y：♦,即y对x的导数等于y对w的导数及〃对x的导数的乘积.

若V=/(g(x))，则/=[/(g(x))J=/(g。))•g'(x)

三.典例分析

例1(课本例4)求下列函数的导数：

(I)y=(2x+3)2；(2)y=

(3)y=sinQFx+e)(其中4，0均为常数).

解：(1)函数y=(2x+3『可以看作函数y=〃2和〃=2%+3的复合函数。根据复合函数求导法则有

(2)函数y=可以看作函数y=e"和〃=-0.05%+1的复合函数。根据复合函数求导法则有

(3)函数y=sin(万x+°)可以看作函数y=sin〃和〃=0的复合函数。根据复合函数求导法则

有

例2求y=sin(tanx2)的导数.

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)­sec2(x2)-2x

【点评】

求要合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自

变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

x—a

例3求y二-----------的导数.

yjx2-2ax

a

1-yjx2-2ax-(x-Q)•—2

解：y=-----------------、——2收一ax

x"-2ax

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例4求y=sin'x+cos的导数.

【解法一】y=sin'x+cosXx=(sin2AT+cos2^r)2—2sin2cos2x=1——sin22x

2

131

=l——(1—cos4x)----1---cos\x.y=—sin4x.

444

【解法二】y'=(sin4x)1+(cos1x)f=4sin3Ar(sinx)'+4cos-(cosx)'

=4sinaxcosx+4cos3x(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos'公

=-2sin2xcos2x=—sin4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步.

例5曲线y=x(彳+1)(2—3有两条平行于直线y=彳的切线，求此二切线之间的距离.

[«]y=-x3+x2+2xy1=-3X2+2x+2

令/=1即3y-2x-1=0,解得x=一工或x=1.

3

114

于是切点为夕(1,2),。(一一，-----),

327

过点尸的切线方程为，y—2=x—1即x—y+1=0.

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为

四.课堂练习

sin2x

32

1.求下列函数的导数⑴y=sin/+sin3^；(2)y=-------;(3)loga(X—2)

2x-\

2.求ln(2x2+3x+1)的导数

五.回顾总结

六.教后反思：

§1.3.1函数的单调性及导数(2课时)

教学目标：

1.了解可导函数的单调性及其导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

一.创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠及减、增减的快及慢以及函数的最大

值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，

我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们

⑴⑵

变化的函数〃Q)=-4.9*+6.5,+10的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度以随时间f变化的函

数v(r)=h(t)=-9.8r+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度力随时间/的增加而增加，即/iQ)是增函数.相应地，

(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度，随时间/的增加而减少，即〃(，)是减函数.相应地，

v(/)=/?(/)<0.

2.函数的单调性及导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性及其导数正负的关系.

如图3.3-3,导数/(Xo)表示函数f(X)在点(%,为)处的切线的斜率.

在X=X0处，/(X0)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(X)在与附近单调递增；

在X=%处，/(%0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(X)在芭附近单调递减.

结论：函数的单调性及导数的关系

在某个区间(。,〃)内，如果/(元)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)〈0,

那么函数丫=/(x)在这个区间内单调递减.

说明：(D特别的，如果f(x)=0,那么函数y=/(x)在这个区间内是常函数.

3.求解函数y=/(幻单调区间的步骤：

(1)确定函数y=/(x)的定义域；

⑵求导数y，=/(x)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

三.典例分析

例1.已知导函数/(%)的下列信息，

当1<%<4时，/(%)>0；

当x>4,或x<l时，/(%)<0；

当x=4,或x=l时，/(x)=0

试画出函数y=f(x)图像的大致形状.

解：当/<(x)>0,可知y=/(x)在此区间内单遍递增：

当x>4,或x<l时，/(x)<0；可知y=/(x)在此区间内单调递减；

当x=4,或x=l时，/(x)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.

综上，函数y=/(x)图像的大致形状如图3.3-4所示.

例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

(1)f(x)=x3+3x；(2)f(x)=x2-2x-3

(3)f(x)=sinx-xxe(0,^-)；(4)/(x)=2A3+3不？-24^+1

解：(1)因为/(X)=X3+3X,所以，

因比，/(x)=13+3x在k上单调递增，如图3.3-5(1)所示.

(2)因为f(x)=x"-2x—3，所以，f(x)—2%—2—2(x—1)

当/。)>。,即%>1时，函数/(》)=/一2次一3单调递增：

当f(x)<0,即x<l时，函数/(工)=/一2X一3单调递减：

函数/(%)=%2—2次一3的图像如图3.3-5(2)所示.

(3)因为/(x)=sinx-x1£(0,乃)，所以，f(x)=cosx-l<0

因比，函数f(x)=sinx-x在(0,4)单调递减，如图3.3-5(3)所示.

（4）因为/（工）=213+3%2-24x+l,所以.

当/（x）〉0，即时，函数f（x）=X2-2%-3；

当/（工）＜°，即时，函数/（x）=x?-2工一3；

函数/（幻=2丁+3/-24x+l的图像如图3.3-5（4）所示.

注:（3）、（4）生练

例3.如图3.3-6,水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分

别找出及各容器对应的水的高度h及时间，的函数关系图像.

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增

加得越来越快.反映在图像上，（A）符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.

解:⑴-（3），（2）f（A）,⑶-（。）,⑷-（C）

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能

从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图

像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.

如图3.3-7所示，函数y=f（X）在（0,。）或（4,0）内的图像“陡峭”，

在（。，+8）或（YO,。）内的图像“平缓”.

例4.求证：函数丁=2丁+312-12%+1在区间（一2,1）内是减函数.

证明：因为y=6f+6%-12=6（工2+工一2）=6（无一1）（元+2）

当x£（―2,1）即一2vxv1时，y＜0,所以函数y=2x'3+3x~-12x+l在区间（一2,1）内是减函

数.

说羽：证