四川省成都市2024届高三数学下学期二诊模拟考试理含答案

（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是A.B.C.D.2.若集合，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件118771251313123.如图是11877125131312A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是1244.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是A.B.C.D.5.已知数列为等差数列，且，则的值为A.2B.4C.6D.86.若是正实数，且，则的最小值为A．B．C．D．7.当时，关于的不等式有解，则的最小值是A．B．C．D．8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是A．48B．36C．24D．129.已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是A．B．C．1D．210.如图，四棱柱中，为棱的中点，为四边形对角线的交点，下列说法：①//平面；②若//平面，则；③若四边形矩形，且，则四棱柱为直四棱柱.其中正确说法的个数是0B.1C.2D.311.已知函数，若,,，则A.B.C.D.12.若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则实数.14.已知实数满足约束条件，则的最大值是.15.已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为．16.若，恒有，则的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次箱内摸奖机会，消费额满600元有一次箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（Ⅰ）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数的分布列；（Ⅱ）某顾客消费额为600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？18.（本小题满分12分）已知，设.（Ⅰ）求函数的对称中心；（Ⅱ）若中，角所对的边分别为，，且外接圆的半径为，是边的中点，求线段长度的最大值.19.（本小题满分12分）如图，棱长为的正方体中,是棱上靠近的三等分点.（Ⅰ）求证：与平面不垂直；（Ⅱ）在线段上是否存在一点使得平面平面？若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知点是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于两点,面积的最大值为，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆E交于两点，是否存在定点，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）是否存在实数使得在区间上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求函数在区间上的零点个数(为自然对数的底数).选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过定点，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点.（Ⅰ）若，求线段中点的直角坐标；（Ⅱ）若，求的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对于正实数，，，满足,证明:.

成都石室中学2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A卷）参考答案选择题：1.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是A.B.C.D.1.A,所以的虚部是.2.若集合，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.A，则A是B的真子集，则是的充分不必要条件.118771251313123.如图是11877125131312A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是1243.B对于选项A,极差是，故A错误;对于选项B，中位数是，故B正确;对于选项C，众数是117，故C错误;对于选项D，平均数是，故D错误，故选B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是A.B.C.D.4.A还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个几何体的体积.5.已知数列为等差数列，且，则的值为A.2B.4C.6D.85.B因为，由等差数列的性质，得，，所以.6.若是正实数，且，则的最小值为A．B．C．D．6.A因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为.7.当时，关于的不等式有解，则的最小值是A．B．C．D．7.A当时，，所以在上有解，所以，所以.由，当且仅当时取等号，所以的最小值是2.8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是A．48B．36C．24D．12C分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有种，则共有24种.9.已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是A．B．C．1D．29.D设，设过处的直线是，联立，得，，即，则在处的切线方程为，同理，处的切线方程为，设交点的坐标为，点在两条切线上，所以，，则直线的方程是.又过其焦点，易知交点的轨迹是，所以C，：，所以交点到直线的距离是，所以当时d的最小值为2.10.如图，四棱柱中，为棱的中点，为四边形对角线的交点，下列说法：①//平面；②若//平面，则；③若四边形矩形，且，则四棱柱为直四棱柱.其中正确说法的个数是0B.1C.2D.310.C对于①，若//平面，过作的平行线交于其中点，为连接，由于平面，且//平面，所以平面//平面，所以//平面，所以//.当与不平行时，//不成立.①是假命题.对于②，同①，//，则.②是真命题.对于③，四边形矩形，所以.又，所以平面//平面，所以四棱柱可看作为上底面，为下底面的四棱柱，过作的平行线交于点，则为的中点，连接，由条件有，又，则平面，则，，所以，又，所以平面，则四棱柱为直四棱柱.③是真命题.11.已知函数，若,,，则A.B.C.D.11.B是偶函数，，则在上是增函数.构造函数，则，令，得，令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，所以，所以，所以，所以，所以.12.若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是A.B.C.D.12.A设，则，由双曲线定义，得.在中，由余弦定理，得，解得.在中，由余弦定理，得,解得.法一：令，则，，设：，联立，，得，.由，得，则，所以.法二：设直线倾斜角为，由双曲线第二定义得：，，又，则，又，则.二、填空题：13.已知向量，，若，则实数.13.1因为，所以，解得.14.已知实数满足约束条件，则的最大值是.14.3作出满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线并平移，当直线过点时，，所以的最大值是3.15.已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为．15.3等比数列的公比为，由等比数列前项和公式，得.又，则，，所以取最大值时，的值是3.16.若，恒有，则的取值范围是.16.由，得在上恒成立，即.且，即.因为在上是增函数，所以，所以.令，则，所以在上单调递增，，所以.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次箱内摸奖机会，消费额满600元有一次箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（Ⅰ）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数的分布列；（Ⅱ）某顾客消费额为600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？解：（Ⅰ）三位顾客每人一次箱内摸奖中10元代金券的概率都为，中奖10元代金券的人数服从二项分布，，……4分故的分布列为0123P…………6分（Ⅱ）可以在箱摸奖2次，或者在箱内摸奖1次箱摸奖1次所得奖金的期望值为，…………8分箱摸奖1次所得奖金的期望值为，………10分箱摸奖2次所得奖金的期望值为，箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，所以这位顾客选箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．…………12分18.（12分）已知，设.（Ⅰ）求函数的对称中心；（Ⅱ）若中，角所对的边分别为，，且外接圆的半径为，是边的中点，求线段长度的最大值.解：（Ⅰ）由，得.令,解得,所以函数的对称中心为……6分（Ⅱ）∵，∴，又且外接圆的半径为，则，法一：∴由余弦定理，得.，,.由，，得，即（当且仅当时等号成立），∴，即，此时，.………………12分法二：直接画出三角形的外接圆，由图可知，当时，AD最大，此时为等边三角形，所以AD=，所以.19.（12分）如图，棱长为的正方体中,是棱上靠近的三等分点.（Ⅰ）求证：与平面不垂直；（Ⅱ）在线段上是否存在一点使得平面平面？若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由.解：以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，.（Ⅰ）,因为，所以与平面不垂直..…………5分（Ⅱ）存在点，且.设，则.，设平面的法向量为，则，令，得.同理，平面的一个法向量为.若平面平面，则，即，.所以在线段上存在一点使得平面与平面垂直，且.…………12分20.（12分）已知点是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于两点,面积的最大值为，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆E交于两点，是否存在定点，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为，当且仅当是轴与椭圆的交点时取等号，所以.又,所以，所以椭圆E的标准方程为.………4分（Ⅱ）设直线的方程为由在直线上，得联立化简得.由，得.由根与系数的关系，得………………7分故直线的斜率之和为…………9分……..11分要使上式为定值，则故，且……..12分21.（12分）已知函数（Ⅰ）是否存在实数使得在区间上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求函数在区间上的零点个数(为自然对数的底数).解：（Ⅰ），因为在区间上恒成立，所以，所以>0，故对任意的>0都能满足在区间上恒成立.…………4分（Ⅱ）由区间得，所以.所以在上单调递减，在上单调递增，.……6分下面先证明：．设，则，由得，所以在上是增函数，故．所以．……………7分，①当，即时，函数在上无零点；②当，即时，函数在上无零点；③当