高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第01讲 数系的扩充和复数的概念（解析版）

第01讲7.1.1数系的扩充和复数的概念

课程标准学习目标

①理解可以用复平面内的点或以原点为起

1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来

点的向量来表示复数及它们之间的一一对

表示复数及它们之间的一一对应关系；

应关系。

2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念；

②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。

3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法；

③.掌握用向量的模来表示复数的模的方

法。

知识点01：实数系

（1）实数系的分类

正整数N

自然数N

0

整数

Z

负整数

有理数Q

实数

R

分数

无理数

(2)实数的性质

①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；

②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；

③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.

知识点02：复数的概念

（1）复数的引入

为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数i,使得xi是方程

x210的解,即使得i21,并且i可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.

所以实数系R经过扩充后得到的新数集是C{abi|a,bR}.

（2）复数的概念

我们把形如abi,a,bR的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i21.全体复数所构成的集合

C{abi|a,bR}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示,即zabi,a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚

部.

（3）复数相等

在复数集C{abi|a,bR}中任取两个数abi，cdi，（a,b,c,dR），我们规定

ac

abicdi.

bd

【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若2x1y1ixyxyi，则实数x,y的

值为多少？

22

（2）若z134i,z2n3m1nm6i，且z1z2，则实数n,m的值分别为多少？

x3n1n1

【答案】（1）；（2）或

y2m1m1

2x1xy

【详解】（1）由已知得，

y1xy

x3

解得；

y2

n23m13

（）由已知得，

22

nm64

n1n1

解得或.

m1m1

知识点03：复数的分类

对于复数abi(a,bR),当且仅当b0时,它是实数；当且仅当ab0时,它是实数0；当b0时,

它叫做虚数；当a0且b0时,它叫做纯虚数.这样复数

zabi(a,bR)可以分类如下:

实数（b0)

复数纯虚数(a0)

虚数（b0）

非纯虚数（a0）

【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数zmm1m1i是：

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

【答案】(1)m1(2)m1(3)m0

【详解】（1）当m10，即m1时，复数z是实数．

（2）当m10，即m1时，复数z是虚数．

（3）当mm10且m10，即m0时，复数z是纯虚数．

题型01虚数单位i及其性质

【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）

1ii2i3i2023.

【答案】0

【详解】1ii2i3i20231505ii2i31ii2i30，

故答案为：0.

【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）

i2i23i32022i20222023i2023．

【答案】10121012i/1012i1012

【详解】∵2i22,3i33i,4i44，∴i2i23i34i4i23i422i，

则5i56i67i78i822i,,2021i20212022i20222023i20232024i202422i，故原式

50622i202410121012i．

故答案为：10121012i.

【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知i为虚数单位，则i2033（）

A．iB．iC．1D．1

【答案】A

508

【详解】i2033i4ii，

故选：A

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算：

(1)ii2i3i4；

(2)ii2i3i4i5i6i7i8．

【答案】(1)1

(2)0

【详解】（1）原式i1i1i21；

（2）原式ii2i3i4ii2i3i4，

2i1i10.

题型02复数的基本概念

14

【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，23i，0，i，52i，6i的实部与虚部，并指

23

出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．

【答案】答案见解析

141

【详解】4，23i，0，i，52i，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，3，0，

232

4

，2，6．

3

4，0是实数；

14

23i，i，52i，6i是虚数，其中6i是纯虚数．

23

22

【典例2】（2021·高一课时练习）已知z1＝－4a＋1＋(2a＋3a)i，z2＝2a＋(a＋a)i，其中aR，z1z2，

则a的值为（）

A．0B．－1

31

C．D．

26

【答案】A

2a23a0a2a30

2

【详解】由z1z2，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故aa0，即aa10，解得a＝

4a12a1

a

6

0.

故选：A.

【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（）

A．如果实数ab，那么ab(ab)i是纯虚数．

B．实数是复数．

C．如果a0，那么zabi是纯虚数．

D．任何数的偶数次幂都不小于零．

【答案】B

【详解】对于A中，若a=b=0，那么ab(ab)i0R，所以A错误；

对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；

对于C中，若a0且b0时，复数zabi0R，所以C不正确；

对于D中，由虚数单位i21，可得D错误.

故选：B.

【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数xi的说法一定正确的是（）

2023

A．存在x使得xi小于0B．存在x使得xi1

C．不是实数D．实部和虚部均为1

【答案】AB

【详解】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A正确；

2023

当x＝1i时，xi1，故B正确；

当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确；

由于x的取值未知，故D错误．

故选：AB.

题型03求复数的实部与虚部

【典例1】（2024上·广东·高二学业考试）若复数z35i，则复数z的虚部为（）

A．5iB．-5C．5D．-5i

【答案】B

【详解】z35i的虚部为-5.

故选：B

【典例2】（多选）（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）zcosicos2(02π)的实部

与虚部互为相反数，则的取值可能是（）

π2π5π

A．B．C．πD．

333

【答案】ACD

【详解】由题意得：coscos2，2cos2cos10，

1π5π

解得：cos1或，02，π或或，

233

故选：ACD.

ππ

【变式1】（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）复数zsinicos，则复数z的虚部

66

是（）

1313

A．B．C．iD．i

2222

【答案】B

ππ133

【详解】zsinicosi，故虚部为.

66222

故选：B

【变式2】（2023上·云南·高二校联考期中）已知a,bR，a2ibii，若zabi，则z的虚部是（）

A．-2B．1C．-2iD．2i

【答案】A

【详解】由a2ibii1bi，可得a1,b2，所以z12i，所以z的虚部是2．

故选：A．

题型04复数相等的充要条件

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值：

(1)4x1y2i0；

(2)x2y3xyi36i．

1

x

【答案】(1)4

y2

15

x

7

(2)

3

y

7

1

4x10x

【详解】（1）由题意得，解得4.

y20

y2

15

x

x2y37

（2）由题意得，解得.

3xy63

y

7

【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知xyx2yi2x53xyi，求实数x，y的值．

x3

【答案】

y2

xy2x5,

【详解】解根据两个复数相等的充要条件，可得

x2y3xy,

xy5,x3,

整理得解得

2x3y0,y2.

【变式1】（2024·全国·高一假期作业）若xi2i2y2yi，x,yR，则复数xyi等于（）

A．2iB．42iC．12iD．12i

【答案】B

【详解】由i21，得xi2i22xi，则2xiy2yi，

2yx4

根据复数相等的充要条件得，解得，

x2yy2

故xyi42i．

故选：B．

【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）设x，yR，若复数2x4y3x2i56i，求x，y．

47

【答案】x,y

312

2x4y5

【详解】根据复数相等的定义可得，

3x26

47

解得x,y.

312

题型05复数的分类

【典例1】（2022下·山东青岛·高一统考期末）已知i是虚数单位，复数zx24x2i是纯虚数，则

实数x的值为（）

A．2B．－2C．2D．4

【答案】A

x240

【详解】解：由z(x24)(x2)i是纯虚数，得，解得x2．

x20

故选：A.

【典例2】（2023下·上海奉贤·高一校考阶段练习）若复数zm2m2(m21)i是实数，则实数m.

【答案】1

【详解】复数zm2m2(m21)i是实数，则有(m21)0，解得m1.

故答案为：1.

【典例3】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数m取什么值时，复数(m22m8)(m22m)i是下列

数？

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

【答案】(1)m0或m2(2)m0且m2(3)m4

【详解】（1）由题意复数(m22m8)(m22m)i，

当m22m0，即m0或m2时，所给复数是实数.

（2）当m22m0，即m0且m2时，所给复数是虚数.

m22m8=0

（）当，即时，所给复数是纯虚数

32m=4.

m2m0

【变式1】（2022下·天津和平·高一校联考期末）若2k23k2k22ki是纯虚数，则实数k的值等于

（）

11

A．0或2B．2或C．D．2

22

【答案】C

2k23k201

【详解】因为22是纯虚数，所以，解得；

2k3k2k2ki2k

k2k02

故选：C.

【变式2】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知复数za25a6a2i（其中i为

虚数单位）为纯虚数，写出关于复数z的一个正确结论：.

【答案】zi

a25a60

【详解】由，解得a3，故zi.

a20

故答案为：zi

【变式3】（2021下·河南新乡·高二辉县市第一高级中学校考阶段练习）在复平面内，复数

za2a2(a23a4)i(其中aR)．

（1）若复数z为实数，求a的值；

（2）若复数z为纯虚数，求a的值.

【答案】（1）a1或4；（2）a2.

【详解】（1）因为复数z为实数，所以a23a40，

所以a1或4．

a2a20

（）因为复数z为纯虚数，所以，所以

22a2.

a3a40

题型06复数中的比较大小

2

log(mn)(m3m)i1*

【典例1】2．（2022下·高一课时练习）已知1，且nN，则mn.

2

【答案】1或2/2或1

2

【详解】因为log1(mn)(m3m)i1，

2

logmn1①

1

所以2，

2②

m3m0

由②解得m0或m3，

logn1

当m0时，1，解得0n2，

2

又因nN*，所以n1或2，

当m3时，log1n31，解得3n1，

2

又nN*，所以不存在这样的n，

综上所述，mn1或2.

故答案为：1或2.

222

【典例2】（2022·高一课时练习）设z1m1mm2i，z24m2m5m4i，且mR，若z1z2，

则m．

【答案】1

【详解】由于z1z2，mR，

所以z1R且z2R．

m2m20

所以，解得，

2m1

m5m40

此时z12，z26，满足z1z2．

故答案为：1．

22

【变式1】（2022下·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知z1k4k5k6i，

2

z23kk5k6i(kR)．若z1z2，则k的值为（）

A．2B．3C．2或3D．不存在

【答案】C

【详解】因为z1z2，

k243k

所以，解得或．

2k2k3

k5k60

故选：C

22

【变式2】（2022上·贵州黔东南·高二校联考期中）已知z1m3mm2i，z22m4mm2i，

且z1z2，则实数m．

【答案】－2

2

【详解】由题意知z1，z2均为实数，则mm20，即m1或m2．又z1z2，则m32m4，则m1，

故m2．

故答案为：－2

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2023上·北京海淀·高三中央民族大学附属中学校考阶段练习）复数3i1的虚部是（）

A．1B．1C．3D．3

【答案】D

【详解】复数3i1的虚部是3.

故选：D.

2．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）若aR，则“a2”是复数“za24(a2)i”

为纯虚数的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】若a2，则z4i为纯虚数；

a240

若za24(a2)i为纯虚数，aR，则有，解得a2.

a20

所以，当aR时，“a2”是复数“za24(a2)i”为纯虚数的充要条件.

故选：C

3．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）适合x3i(8xy)i的实数x、y的值为（）

A．x0且y3B．x0且y=3

C．x5且y3D．x3且y0

【答案】A

x0x0

【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.

38xyy3

故选：A．

4．（2021下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知i为虚数单位，若复数z(a1)2i为纯虚数，则实数a（）

A．1B．0C．1D．i

【答案】A

【详解】复数z(a1)2i为纯虚数,a1=0，a1.

故选:A.

2

5．（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如果复数zm2m3m1i是纯虚数，mR，

i是虚数单位，则（）

A．m1且m3B．m3

C．m1D．m1或m3

【答案】B

m22m30

【详解】复数zm22m3m1i是纯虚数，则，解得m3.

m10

故选：B

6．（2022下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知纯虚数z1im24im3，其中i为虚数

单位，则实数m的值为（）

A．1B．3C．1或3D．0

【答案】B

【详解】因为z1im24im3为纯虚数，

m24m30

故22，则，解得

zm4m3mmi2m3.

mm0

故选：B

1i

7．（2022上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）已知x1yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（）

22

A．x2,y1B．x2,y1

C．x2,y1D．x2,y1

【答案】B

xx

【详解】由题意得i1yi，

22

x

1

2x2

所以，得.

xy1

y

2

故选：B

2

8．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）已知复数z1m4mi,z22cos3sini,m,,R，且

z1z2，则的取值范围是（）

99

A．,1B．,7

1616

9

C．,D．1,7

16

【答案】B

2

【详解】复数z1m4mi,z22cos3sini,m,,R，且z1z2，

m2cos2

所以，则2239

244cos3sin4sin3sin4sin

4m3sin816

39

因为R，所以sin1,1，当sin时，，当1时，7

8min16max

9

所以的取值范围是,7.

16

故选：B.

二、多选题

9．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）对于复数zabia,bR，下列结论错误的是（）

A．若a0，则abi为纯虚数

B．若abi=3+2i，则a3,b2

C．若b0，则abi为实数

D．i21

【答案】AB

【详解】对于A：当a0，abibi，当b0时为实数，A错误；

对于B：若abi=3+2i，则a3,b2，B错误；

对于C：若b0，则abia为实数，C正确；

对于D：i21，D正确.

故选：AB.

10．（2022·高一课时练习）下列命题不正确的是（）

A．复数abia,bR不可能是纯虚数

B．若x1，则复数z(x1)(x1)i为纯虚数

C．若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2

D．若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数

【答案】ACD

【详解】选项A中，当a=0，b0时，复数abi是纯虚数，错误；

选项B中，x1时，z(x1)(x1)i2i为纯虚数，正确；

x240x2

选项中，若22是纯虚数，则，即，

Cx4x3x2i2

x3x20x1且x2

所以x2，错误；

选项D中，没有给出a,b是实数，当axi(x0,xR),b0时，

zabi也是虚数，错误.

故选：ACD

三、填空题

11．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知i为虚数单位，复数z

a22a3a2a12i，aR，

若z为纯虚数，则a.

【答案】1

【详解】由复数z为纯虚数，可知，

a22a30

，得

2a1.

aa120

故答案为：1

12．（2023下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知复数

2

z1m12mimR,z2asin2sin4i，0,，若z1z2，求实数a的取值范围.

【答案】10,

2

【详解】z1z2,asinm1,2sin42m，

4

asinsin24sin5,asin5

sin

0,π,0sin1，令tsin0,1，

4

根据对勾函数单调性可知函数at5在0,1上严格单调递减，

t

4

a1510，

min1

所以a的范围为10,.

故答案为：10,.

四、解答题

13．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列各方程的实数x，y的值：

(1)xyxyi67i；

(2)x24x5y23y4i0；

(3)2x1y1ixyxyi．

x1x7

【答案】(1)或

y7y1

x5x5x1x1

(2)或或或

y4y1y4y1

y2

(3)

x3

【详解】（1）因为x，y为实数，且xyxyi67i，

xy6x1x7

则，解得或；

xy7y7y1

（2）因为x24x5y23y4i0且x，y为实数，

x24x50

所以，解2得或，

2x4x50x5x=1

y3y40

解y23y40得y4或y1，

x5x5x1x1

所以或或或；

y4y1y4y1

（3）因为2x1y1ixyxyi且x，y为实数，

2x1xyy2

所以，解得.

y1xyx3

14．（2023·全国·高一课堂例题）当m为何实数时，复数zm2m2m21i分别是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数：

(4)0？

【答案】(1)m1

(2)m1

(3)m2

(4)m1

【详解】（1）当m210，即m1时，复数z是实数；

（2）当m210，即m1时，复数是虚数；

（3）当m2m20且m210