中考数学几何模型归纳训练专题24 最值模型之将军饮马模型（解析版）

专题24最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，

由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上

来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考

试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对

称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连

接CE，将CE绕点C顺时针旋转60得到CF．连接AF，EF，DF，则CDF周长的最小值是．

【答案】333/333

【分析】根据题意，证明CBE≌CAF，进而得出F点在射线AF上运动，作点C关于AF的对称点C，连

接DC，设CC交AF于点O，则AOC=90，则当D,F,C三点共线时，FCFD取得最小值，即

FCFDFCFDCD，进而求得CD，即可求解．

1

【详解】解：∵E为高BD上的动点．∴CBEABC30

2

∵将CE绕点C顺时针旋转60得到CF．ABC是边长为6的等边三角形，

∴CECF,ECFBCA60,BCAC∴CBE≌CAF

∴CAFCBE30，∴F点在射线AF上运动，如图所示，

作点C关于AF的对称点C，连接DC，设CC交AF于点O，则AOC=90

1

在RtAOC中，CAO30，则COAC3，

2

则当D,F,C三点共线时，FCFD取得最小值，即FCFDFCFDDC

∵CCAC6，ACOCCD，COCD∴ACO≌CCD∴CDCAOC90

在CDC中，2222,

CDCCCD6333

∴CDF周长的最小值为CDFCCDCDDC333，故答案为：333．

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，

勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．

例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在ABC中，ABC的面积为10，AB22，BD平分ABC，

E、F分别为BC、BD上的动点，则CFEF的最小值是（）

A．2B．3C．2D．5

【答案】D

【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，

通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作CHAB，垂足为H，交BD于F点，

过F点作FEBC，垂足为E，则CFEF为所求的最小值，根据ABC的面积为10，AB22，结

合三角形的面积公式求出CH5，即可解答．

【详解】解：如图，过点C作CHAB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FEBC，垂足为E，则CFEF

为所求的最小值，

∵BD是ABC的平分线，∴FHEF，∴CH是点C到直线AB的最短距离（垂线段最短），

102

∵ABC的面积为10，AB22，∴CH5，

22

∵CFEF的最小值是CFEFCFFHCH5．故选：D．

例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE1，F为

对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CFEF的最小值为．

【答案】17

【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CFEFAE最小，利用勾股

定理求出AE即可．

【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，

∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AFCF，

∴CFEFAFEFAE，此时CFEF最小，

∵正方形ABCD的边长为4，∴AD4,ABC90，∵点E在AB上，且BE1，

∴AEAB2BE2421217，即CFEF的最小值为17故答案为：17．

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．

例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，ABC120，

点A3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PDPE的最小值是（）

3

A．3B．5C．D．3

222

【答案】A

【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点

B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．

【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，

，

∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小

∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．

∵菱形ABCD，ABC120，点A3,0，∴CDB60,DAO30，OA3，

∴OD3,ADDCCB23∴△CDB是等边三角形∴BD23

1

∵点E是CD的中点，∴DECD3,且BE⊥CD，∴BEBD2DE23故选：A．

2

【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．

例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD42，点P是边AD

上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点

E在边AD上，ME∥DN，则AMME的最小值是（）

A．23B．3C．32D．42

【答案】C

11

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AMBP，DNCP，通过证明四边形MNDE是平行四

22

1

边形，可得MEDN，则AMMEAMDNBPCP，作点C关于直线AD的对称点M，则

2

BPCPBPPM，点B，P，M三点共线时，BPPM的值最小，最小值为BM．

【详解】解：四边形ABCD是矩形，BAPCDP90，AD∥BC，

111

点M，N分别是PB，PC的中点，AMBP，DNCP，MNBC，MN∥BC，

222

AD∥BC，MN∥BC，MN∥BC，又ME∥DN，四边形MNDE是平行四边形，

1

MEDN，AMMEAMDNBPCP，

2

如图，作点C关于直线AD的对称点M，连接PM，BM，则BPCPBPPM，

当点B，P，M三点共线时，BPPM的值最小，最小值为BM，

在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，BCAD42，

221

BMBC2MC24221062，AMME的最小值BM32，故选C．

2

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，

轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．

例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，AB是O的直径，点C、D是O上的点．且OD∥BC，AC

分别与BD、OD相交于点E，F．若O的半径为5，DOA80，点P是线段AB上任意一点，则PCPD

的最小值是．

【答案】53

【分析】利用圆周角定理得到ACB90，再证明OFAC，然后根据垂径定理得，ADCD，作C点关

于AB的对称点C，CD交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PCPD的值最小，

再计算出DOC120，作OHDC于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三

边的关系求出DH，从而得到PCPD的最小值．

【详解】解：∵AB是O的直径，∴ACB90，

∵OD∥BC，∴OFA90，∴OFAC，∴ADCD，

作C点关于AB的对称点C，CD交AB于P，连接OC，如图，

∵PCPC，∴PDPCPDPCDC，∴由两点之间线段最短可知，此时PCPD的值最小，

∵ADCD，∴CODAOD80，∴BOC20，

∵点C和点C关于AB对称，∴COB20，∴DOC120，

作OHDC于H，如图，则ODH30，则CHDH，

1553

在RtOHD中，OHOD，∴DHOD2OH24OH2OH23OH，

222

∴DC2DH53，∴PCPD的最小值为53．故答案为：53．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径

定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．

例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段BC上的一个动点，ABDC22,BC4，且

BC135，则AEDE的最小值是___．

【答案】210

【分析】作点A关于线段BC的对称点F，连接BF,DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥BC，

交DC的延长线于点H，过点D作DGHF，交FH的延长线于点G，由题意易得FBCDCB135，

则有BF∥CH，然后可得四边形BFHC是平行四边形，进而可得FH4，推出DH22，勾股定理求出FD

的长即可得解．

【详解】解：作点A关于线段BC的对称点F，连接BF,DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥BC，

交DC的延长线于点H，过点D作DGHF，交FH的延长线于点G，如图所示：

由轴对称的性质可知：ABCFBC135DCB，AOFO，ABBF，

∴BF∥CH，∵FH∥BC，∴四边形BFHC是平行四边形，∴FHBC4,BFCHAB，

∵ABDC22，∴CHCDDH22，

当点E与点O重合时，则AEDE的最小值即为FD的长，

∵FH∥BC，∴FHCDCB135，∴DHG45，

∵DGHF，∴DGH90，∴HDG45DHG，

2

∴GHGD，∴DHGH2DG22DG，∴GHDGDH2，∴FGFHGH6

2

∴FDFG2DG2210，∴即AEDE的最小值为210；故答案为210．

【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，

熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．

例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线yx2bxc经过A(1,0),C(0,3)两点，并交x轴于

另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MHDH的最小值；

【答案】(1)yx22x3(2)37

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；

（2）作点D关于x轴的对称点D¢，连接DM，DM与x轴的交点即为点H，进而得到MHDH的最小值

为DM的长，利用两点间距离公式进行求解即可；

【详解】（1）解：∵抛物线yx2bxc经过A(1,0),C(0,3)两点，

1bc0b2

∴，解得：，∴yx22x3；

c3c3

2

（2）∵yx22x3x14，∴M1,4，设直线AM:ykxm(k0)，

km0k2

则：，解得：，∴AM:y2x2，当x0时，y2，∴D0,2；

km4m2

作点D关于x轴的对称点D¢，连接DM，则：D0,2，MHDHMHDHDM，

∴当M,H,D三点共线时，MHDH有最小值为DM的长，

2

∵D0,2，M1,4，∴DM124237，即：MHDH的最小值为：37；

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函

数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．

模型2.求多条线段和（周长）最小值

【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形

ADEB周长最短.

2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】

(1)如图1，AOB45，在AOB内部有一点P，M、N分别是OA、OB上的动点，分别作点P关于边OA、

OB的对称点P1，P2，连接P1，P2与OA、OB相交于M、N，则此时PMN的周长最小，且顺次连接O，P1，

P2后OP1P2的形状是等腰直角三角形．理由如下：

∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，

∴，，，，

OPOP1OP2AOPAOP1BOPBOP2PMP1MPNP2N

∴C△PMNPMPNMNP1MP2NMNP1P2即PMN周长的的最小值为P1P2

∵AOB45，∴P1OP22(AOPBOP)90∴OP1P2是等腰直角三角形．

学以致用：若AOB30，在AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2，顺次连

接O，P1，P2，则OP1P2的形状是__________三角形．

(2)【问题探究】如图2，在ABC中，ABAC，BAC30，点D是BC的中点，若ADh，请用含有

h的代数式表示ABC的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离

为10，ABC60，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使PMN在周长最小的

情况下，面积最大，问：是否存在使PMN在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出PMN

的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2253

【答案】(1)等边(2)23h(3)存在，

3

∠

【分析】（1）根据对称性，得到OPOP1OP2，AOPAOP1，BOPBOP2，进而得到：P1OP260，

即可得到OP1P2为等边三角形；（2）作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，根据中垂线的性质，

得到EBEA，ABEBAD15，推出BDE是含30的直角三角形，用BD分别表示出BE,DE，再利

用ADAEDE，求出BD，进而求出ABC的面积．（3）如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于

BC的对称点H，连接GH，交AB，BC于点M，N，此时PMN的周长最小，可以求出

1

SGHBO253，由S四边形SBGMSBNHSBGHSBMN推出S最小时，S四边形的值最

BGH2BMPNBMNBMPN

大，此时PMN的面积最大，进行求解即可．

【详解】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，

∴，，，

OPOP1OP2AOPAOP1BOPBOP2

∵AOPBOPAOB30，∴AOP1BOP2AOB30，∴P1OP22AOB60，

∵OP1OP2，∴OP1P2为等边三角形；故答案为：等边；

（2）解：∵ABAC，BAC30，点D是BC的中点，

∴ADBC，BADCAD15，BDCD，

作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，

则：EBEA，ABEBAD15，∴BEDABEBAE30，

∴BE2BD,DEBE2BD23BD，∴AEBE2BD，

h

∴ADAEDE23BDh，∴BD23h，

23

1

∴2；

SABCBCADBDAD23h

2

（3）解：存在；理由如下：如图，以点B为圆心，BP为半径画圆，分别作点P关于AB，BC的对称点G，

H，则点G，H在B上，连接GH，分别交AB，BC于点M，N，此时PMN的周长最小．

∴BPBGBH10，GBMPBM，HBNPBN，

∵PBMPBN60，∴GBH120，且BGBH，∴BGHBHG30，

1

过点B作BOGH于O，∴BO5，HOGO53，∴GH103，∴SGHBO253，

BGH2

∵S四边形BMPNSBGMSBNHSBGHSBMN，

∵SBGH为定值，∴SBMN最小时，S四边形BMPN的值最大，此时PMN的面积最大，

11

过点P作PQMN于点Q，则SMN(BOPQ)MNBP，

四边形BMPN22

∴当MNBP时，即O点与Q点重合时，S四边形BMPN的值最大，

∴PGPH，∴PBGPBH，∴GBPHBP60，

∴GBMPBM30，PBNHBN30

∴PBMPBN30，∴BMO≌BNOASA∴BMBN，

此时BMN是等边三角形，∴BMMNBN，

∵BGMGBMBHGHBN30，∴GMBM，BNHN，

1031103253

∴GMMNNH，∴PMN的最大值S2S25325．

3BGHBMN233

【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30的直角三角形、隐

圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键．

例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，AOB45，点M、N分别在射线OA、OB上，MN4，

OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当

点P在直线NM上运动时，OP1P2的面积最小值为．

9

【答案】

2

【分析】连接OP，过点O作OHMN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据

轴对称的性质可得AOPAOP1，BOPBOP2，OP1OPOP2，从而可得P1OP290，然后利用三

1

角形的面积公式可得OPP的面积为OP2，可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，OPP的面积最

12212

小，由此即可得．

【详解】解：如图，连接OP，

1

∵SMNOH12，且MN4，∴OH6，

OMN2

∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，

∴，，，

AOPAOP1BOPBOP2OP1OPOP2

∵AOB45，∴P1OP22AOPBOP2AOB90，

11

∴OPP的面积为OPOPOP2，

122122

由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为OH6，

199

∴OPP的面积的最小值为32，故答案为：．

12222

【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．

例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM3,ON5，

点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是（）

A．34B．35C．342D．352

【答案】A

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证

出ONN′为等边三角形，OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．

【详△解】解：作M关于O△B的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：ONON5，OMOM3，∠N′OQ=∠M′OB=30°，

∴∠NON′=60°，MOM'60，∴△ONN′为等边三角形，OMM′为等边三角形，

△

∴∠N′OM′=90°，∴在RtM′ON′中，M′N′=325234．故选：A．

【点睛】本题考查了轴对△称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题

的关键．

例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD2，E、F分别是AB和

DC上的两个动点，M为BC的中点，则

（1）DEEFFM的最小值是________；（2）若EFD45，则DEEFFM的最小值为________．

【答案】61225/522

【分析】（1）延长DA作点D的关于点A的对称点D¢，延长MC作点M的关于点C对称点C，作DN∥CM，

且DN=CM，DM即为最小值；

（2）过点E作EPCD于P，可得EF22，则DEEFFMDEFM22，故求DEFM22的

最小值即先求DEFM的最小值．过点E作EMEM，且EM∥EM，可知当D，E，M三点共线时，

DEEM最小．利用△DEP∽△FMC，可求得CF，进一步计算即可得出答案．

【详解】解：（1）如下图所示，延长DA作点D的关于点A的对称点D¢，延长MC作点M的关于点C对称

点C，作DN∥CM，且DN=CM，

可得DEDE,FMFM，∴DEEFFMDEEFFM，∴DEEFFM的最小值为DM，

∵DN∥CM，且DN=CM，四边形ABCD为矩形，∴四边形DNMC为矩形，

1

∵M为BC的中点∴NMDCAB6，DN2ADAD5，∴DMDN2NM2253661；

2

（2）过点E作EPCD于P，∵EFD45，∴EPPFBC2，∴EF22，

则DEEFFMDEFM22，∴求DEFM22的最小值即先求DEFM的最小值．

过点E作EMEM，且EM∥EM，

∴DEFMDEEM，∴当D，E，M三点共线时，DEEM最小．此时DE∥FM，

EPDP

∴EDPMFC，EPDMCF，∴△DEP∽△FMC，∴，

MCCF

24x4

设CFx，则DPDCPFCF62x4x．∴，解得x，

1x3

48105

∴CF，DP，DEDP2EP2，FMEMCF2CM2，

3333

∴DEEM5，∴DEEFFM的最小值为522．故答案为：522．

【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解

题的关键．

模型3.求两条线段差最大值

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

（1）点A、B在直线m同侧：

延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，

因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：

过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

【最值原理】三角形两边之差小于第三边。

例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，ABC120，对角线AC、BD交于点O，

BD8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则

PFPE的最大值为________．

【答案】2

【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'，根据三角形三边关系可得到

PFPEPFPEEF，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．

【详解】解：作E的对称点E，连接FE'并延长交AC于点P，∴PEPE，∴PFPEPFPEEF，

当F、E、P在同一条直线上时，PFPE有最大值EF，

∵在菱形ABCD中，ABC120，∴DAB60，ADAB，

∴△ABD是等边三角形，∴DABDBAADB60，，ADABBD，

∵BD8，∴AB8，∵AF3BF，∴BF2，

1

∵点E为OD的中点，∴E为OB的中点，∴BEBD2，

4

∴BFBE'，∴BE'F是等边三角形，∴EFBF2，故答案为2；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边

三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．

例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB2,AD6，O为对角线AC的中

点，点P在AD边上，且AP2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQOQ的最大值为____________，

PQOQ的最小值为__________．

【答案】210

【分析】①连接PO并延长交BC于点Q，则这个点Q满足使PQOQ的值最大，最大值为PO的长度，证

明四边形APHB是矩形可得ABPH2，AP=BH=QC=2，HQ2，再利用勾股定理进行计算即可；

②过点O作关于BC的对称点O，连接PO交BC于点Q，PQOQ的值最小，

PQOQ的最小值为PO的长度，延长OO交AD于点G，根据对称的性质可得GO3GO3，再根据

1

GOAD，点O是AC的中点，可得AGAD3，从而求得PG1，再利用勾股定理进行计算即可．

2

【详解】解：①连接PO并延长交BC于点Q，则这个点Q满足使PQOQ的值最大，最大值为PO的长度，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB90，∴PAOQCO，

∵点O是AC的中点，∴AOCO，

又∵POA=QOC，∴△APO△CQOASA，∴OPOQ，APQC，

∵AP2，∴CQ2，过点P作PHBC于点P，

∵A=B=PHB=90，∴四边形APHB是矩形，

∴ABPH2，AP=BH=QC=2，∴HQ=622=2，

1

∴PQ222222，∴PO=PQ=2；

2

②过点O作关于BC的对称点O，连接PO交BC于点Q，PQOQ的值最小，

PQOQ的最小值为PO的长度，延长OO交AD于点G，

1

∵GOAD，点O是AC的中点，∴AGAD3，

2

1

∴GO=DC=1，AP2，∴GO=3GO=3，PG=32=1，

2

∴PO=1232=10，∴PQOQ的最小值为：10，故答案为：2；10．

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知

识是解题的关键．

例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线

CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．

【答案】6

【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，

连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到

∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据

等边三角形的性质即可得到结论．

【详解】如图，作A关于CD的对称点A，连接AB并延长交CD延长线于点P，则点P就是使PAPB的

值最大的点，PAPBAB，连接AC，

∵ABC为等腰直角三角形，ACBC6，∴CABABC45，ACB90，

∵BCD15，∴ACD75，∵点A与A′关于CD对称，

∴CD⊥AA′，ACAC，CAACAA，∴CAA15，

∵AC=BC，∴ACBC，CAACAA15，∴ACA150，

∵ACB90，∴ACB60，∴△ABC是等边三角形，∴ABBC6．故答案为：6

【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的

作出图形是解题的关键．

例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，AB//DP，E为DP上一动点，ABCBCD，过A作ANEC

交直线EC于N，过D作DMEC交直线EC于点M，若B114，当ANDM的值最大时，则ACE

________．

【答案】123°

【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，

根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．

【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，

∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，

又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，

∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画

出相应图形是解决问题的关键．

课后专项训练

1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB4，

则AEOE的最小值是()

A．42B．252C．213D．210

【答案】D

【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A，再连接AO，

运用两点之间线段最短得到AO为所求最小值，再运用勾股定理求线段AO的长度即可．

【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A，连接AO，其与BC的交点即为点E，再作OFAB

交AB于点F，∵A与A关于BC对称，∴AEAE，AEOEAEOE，当且仅当A，O，E在同一条

线上的时候和最小，如图所示，此时AEOEAEOEAO，

1

∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴OFFBAB2，

2

∵对称，∴ABBA4，∴FAFBBA246，

在RtOFA中，OAFO2FA2210，故选：D．

【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。

2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB2,ABC60，M是对角线BD上的一

个动点，CFBF，则MAMF的最小值为（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】C

【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函

数即可求解．

【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，

∵CFBF∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．

3

则AF＝AB•sin60°＝23．即MAMF的最小值是3．故选：C

2

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是MAMF的最小值是关键．

3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E是线段AB上一点，VADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边

三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB4，则下列结论错．误．的是（）

A．PAPB的最小值为33B．PEPF的最小值为23

C．CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33

【答案】A

【分析】延长AD,BC，则ABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与F重合时，则

Q,P,F三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．

【详解】解：如图所示，延长AD,BC，依题意QADQBA60∴ABQ是等边三角形，

∵P是CD的中点，∴PDPC，∵DEACBA，∴ED∥CQ

∴PQCPED,PCQPDE，∴PDE≌PCQ∴PQPE，

∴四边形DECQ是平行四边形，则P为EQ的中点，如图所示，

11

设AQ,BQ的中点分别为G,H，则GPAE,PHEB

22

∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动，当E点与F重合时，即AEEB，

1

则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AEEBAEEB2，

2

则△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距离相等，则CD∥AB，

3

此时PFAD3此时VADE和BCE的边长都为2，则AP,PB最小，

2

32

∴PF23，∴PAPB2237∴PAPB27，

2

或者如图所示，作点B关于GH对称点B，则PBPB，则当A,P,B三点共线时，APPBAB

2

此时ABAB2BB422327故A选项错误，

根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PEPF3，则PEPF23，故B选项正确；

CDE周长等于CDDECECDAEEBCDABCD4，即当CD最小时，CDE周长最小，

如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，

∵GHQ60,GHMGDM60，则CHM120

如图，延长DE,HG，交于点N，则NGDQGH60，NDGADE60

∴△NGD是等边三角形，∴NDGDHM，

NPDHPC

在NPD与△HPC中，NCHP60∴NPD≌HPC

PDPC

∴NDCH∴CHMH∴HCMHMC30

∴CM∥QF，则CMDM，∴DMC是直角三角形，

1

在△DCM中，DCDM∴当DCDM时，DC最短，DCGHAB2

2

∵CDPC2PC∴CDE周长的最小值为2226，故C选项正确；

∵NPD≌HPC∴四边形ABCD面积等于SADESEBCSDECSADES平行四边NEBH

∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合

3

∴四边形ABCD面积的最小值为322=33，故D选项正确，故选：A．

4

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键．

4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且ADEB8，BF2，

则DECF的最小值为（）

A．10B．311C．72D．97

【答案】A

【分析】取BGBF2，则CG826,证明BGE≌BFC得出BEGBCF，进而证明FCEGEC，

即可证明FCE≌GEC，得出EGCF，则当E,G,D三点共线时，DECF取得最小值，最小值为DG的

长，勾股定理即可求解．

【详解】解：如图所示，取BGBF2，则CG826,连接EG，

∵ADEB8，BF2，

∴点E在以B为圆心8为半径的圆上运动，点F在以B为圆心2为半径的圆上运动，

BFBG

在BGE,BFC中，EBGCBF，∴BGE≌BFC，

BEBC

∴BEGBCF，BGEBFC∴FGCCFE，

∵BEBC8，∴BECBCE，即FECGCE，∴FCEGEC，

又CGEF6，FGCCFE，∴FCE≌GEC，∴EGFC，

当EGFC时，则当E,G,D三点共线时，DECF取得最小值，最小值为DG的长，

在Rt△CDG中，DGDC2CG210，故选：A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与

判定是解题的关键．

5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别

是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）

A．4B．3C．23D．43

【答案】C

【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，

则FG的长即为PB+