2024-2025学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2-3

PAGEPAGE13．1回来分析的基本思想及其初步应用1.了解随机误差、残差、残差图的概念．2.会通过分析残差推断线性回来模型的拟合效果．3．驾驭建立线性回来模型的步骤．1．回来分析回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回来分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回来直线方程，并用回来直线方程进行预报．2．线性回来模型(1)在线性回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，(x，y)称为样本点的中心，回来直线过样本点的中心．(2)线性回来模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为说明变量，因变量y称为预报变量．[留意](1)非确定性关系：线性回来模型y＝bx＋a＋e与确定性函数y＝a＋bx相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e供应了选择模型的准则以及在模型合理的状况下探求最佳估计值a，b的工具．(2)线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的意义是：以eq\o(a,\s\up6(^))为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加eq\o(b,\s\up6(^))个单位．3．刻画回来效果的方式方式方法计算公式刻画效果R2R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－y）2)R2越接近于1，表示回来的效果越好残差图eq\o(e,\s\up6(^))i称为相应于点(xi，yi)的残差，eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回来方程的预报精度越高残差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2残差平方和越小，模型的拟合效果越好推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求线性回来方程前可以不进行相关性检验．()(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．()(3)利用线性回来方程求出的值是精确值．()答案：(1)×(2)√(3)×变量x与y之间的回来方程表示()A．x与y之间的函数关系B．x与y之间的不确定性关系C．x与y之间的真实关系形式D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：D在两个变量y与x的回来模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案：A已知线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋0.7，则x＝11时，y的估计值为________．答案：8.95探究点1线性回来方程在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的一组视察值如下表.x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)求y对x的线性回来方程；(3)利用线性回来方程预料时间为100s时腐蚀深度为多少．【解】(1)散点图如图所示．(2)从散点图中，我们可以看出y对x的样本点分布在一条直线旁边，因而求回来直线方程有意义．x＝eq\f(1,11)(5＋10＋15＋…＋120)＝eq\f(510,11)，y＝eq\f(1,11)(6＋10＋10＋…＋46)＝eq\f(214,11)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x≈eq\f(214,11)－0.304×eq\f(510,11)＝5.36.故腐蚀深度对腐蚀时间的线性回来方程为y＝0.304x＋5.36.(3)依据(2)求得的线性回来方程，当腐蚀时间为100s时，eq\o(y,\s\up6(^))＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100s时腐蚀深度大约为35.76μm.eq\a\vs4\al()求线性回来方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来推断两个量是否具有线性相关关系．(2)求回来系数：若存在线性相关关系，则求回来系数．(3)写方程：写出线性回来方程，并利用线性回来方程进行预料说明．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少干脆影响冶炼时间的长短，必需驾驭钢水含碳量和冶炼时间的关系．假如已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)并已计算出＝1589,eq\i\su(i＝1,10,y)i＝1720，故冶炼时间y对钢水的含碳量x的回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.267x－30.47.探究点2线性回来分析假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为说明变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回来方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？【解】(1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回来方程刻画它们之间的关系．设回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(x,\s\up6(－))＝30.36，eq\o(y,\s\up6(－))＝43.5，(1)该类题属于线性回来问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回来方程的公式求解回来方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回来方程对实际问题进行分析．(2)刻画回来效果的三种方法①残差图法：残差点比较匀称地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；②残差平方和法：残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好；关于x与y有如下数据：x24568y3040605070由(2)可得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i与yi－eq\o(y,\s\up6(－))的关系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－1－58－9－3yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020由于Req\o\al(2,1)＝0.845，Req\o\al(2,2)＝0.82，0.845＞0.82，所以Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2).所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．探究点3非线性回来分析某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满意函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式．月份x/月123456人数y/人526168747883【解】设u＝lny，c＝lna，得eq\o(u,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，则u与x的数据关系如下表：x123456u＝lny3.954.114.224.3044.35674.4188非线性回来方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)依据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回来问题转化为线性回来问题，并求出线性回来方程．(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来推断拟合效果．(5)依据相应的变换，写出非线性回来方程．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：x(千册)123510203050100200y(元)10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y(元)与印刷册数的倒数eq\f(1,x)之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x的回来方程，并画出其图形．解：首先作变量置换u＝eq\f(1,x)，题目中所给的数据变成如下表所示的10对数据．ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检测．经计算得r≈0.9998>0.75，从而认为u与y之间具有线性相关关系，由公式得eq\o(a,\s\up6(^))≈1.125，eq\o(b,\s\up6(^))≈8.973，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝1.125＋8.973u，最终回代u＝eq\f(1,x)，可得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.125＋eq\f(8.973,x).这就是题目要求的y对x的回来方程．回来方程的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．1．关于回来分析，下列说法错误的是()A．回来分析是探讨两个具有相关关系的变量的方法B．散点图中，说明变量在x轴，预报变量在y轴C．回来模型中肯定存在随机误差D．散点图能明确反映变量间的关系解析：选D.用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差．2．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变；②回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必经过点(x，y)；③线性回来模型中，随机误差e＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i；④设回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋3，若变量x增加1个单位，则y平均增加5个单位．其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回来模型中，随机误差的估计值应为eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i，故错误；④若变量x增加1个单位，则y平均削减5个单位，故错误．答案：①②3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发觉，此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系：x35404550y56412811(1)画出散点图，并推断y与x是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y对销售单价x的线性回来方程(方程的斜率保留一个有效数字)；(3)设经营此商品的日销售利润为P元，依据(2)写出P关于x的函数关系式，并预料当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此两个变量具有线性相关关系．(2)因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(35＋40＋45＋50)＝42.5，(3)依题意有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(251.5,6)))eq\s\up12(2)＋eq\f(251.52,12)－4845.所以当x＝eq\f(251.5,6)≈42时，P有最大值，约为426元．故预料当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．学问结构深化拓展线性回来模型的模拟效果(1)残差图法：视察残差图，假如残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回来方程的预报精度越高．(2)残差的平方和法：一般状况下，比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的肯定值比另一个模型的小，而另一些样本点的状况则相反)，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来推断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好．(3)R2法：R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．[留意]r的肯定值越大说明变量间的相关性越强，通常认为r的肯定值大于等于0.75时就是有较强的相关性，同样R2也是如此，R2越大拟合效果越好.

[A基础达标]1．废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝256＋3x，表明()A．废品率每增加1%，生铁成本增加259元B．废品率每增加1%，生铁成本增加3元C．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元D．废品率不变，生铁成本为256元解析：选C.回来方程的系数eq\o(b,\s\up6(^))表示x每增加一个单位，eq\o(y,\s\up6(^))平均增加eq\o(b,\s\up6(^))，当x为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．2．已知某产品连续4个月的广告费用为xi(i＝1，2，3，4)千元，销售额为yi(i＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x1＋x2＋x3＋x4＝18，y1＋y2＋y3＋y4＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8(用最小二乘法求得)，那么当广告费用为6千元时，可预料销售额约为()A．3.5万元 B．4.7万元C．4.9万元 D．6.5万元解析：选B.依题意得x＝4.5，y＝3.5，由回来直线必过样本点中心得eq\o(a,\s\up6(^))＝3.5－0.8×4.5＝－0.1，所以回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－0.1.当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×6－0.1＝4.7.3．某化工厂为预料某产品的回收率y，须要探讨它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得的线性回来方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47＋2.62xB.eq\o(y,\s\up6(^))＝－11.47＋2.62xC.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.62＋11.47xD.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47－2.62x解析：选A.由题中数据得x＝6.5，y＝28.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝28.5－2.62×6.5＝11.47，所以y与x的线性回来方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝2.62x＋11.47.故选A.4．若某地财政收入x与支出y满意线性回来方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5.假如今年该地区财政收入10亿元，则年支出预料不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元解析：选C.代入数据y＝10＋e，因为|e|≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，故不会超过10.5亿元．5．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如下表：x24568y3040605070y与x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)为________．解析：因为y与x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，当x＝5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝50，当广告支出5万元时，由表格得：y＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10.答案：106．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满意yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．解析：由ei恒为0，知yi＝eq\o(y,\s\up6(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝0，故R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－y）2)＝1－0＝1.答案：17．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：x3456789y66697381899091已知eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝280，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi＝3487.(1)求x，y；(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回来方程．解：(1)x＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，y＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7).(2)因为y与x有线性相关关系，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(x)\a\vs4\al(y),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7x2)＝eq\f(3487－7×6×\f(559,7),280－7×36)＝4.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－6×4.75＝eq\f(719,14)≈51.36.故回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.8．已知某校5个学生的数学和物理成果如下表：学生的编号i12345数学xi8075706560物理yi7066686462(1)假设在对这5名学生成果进行统计时，把这5名学生的物理成果搞乱了，数学成果没出现问题，问：恰有2名学生的物理成果是自己的实际分数的概率是多少？(2)通过大量事实证明发觉，一个学生的数学成果和物理成果具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成果，用y表示物理成果，求y与x的回来方程；(3)利用残差分析回来方程的拟合效果，若残差和在(－0.1，0.1)范围内，则称回来方程为“优拟方程”，问：该回来方程是否为“优拟方程”？参考数据和公式：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中．解：(1)记事务A为“恰有2名学生的物理成果是自己的实际成果”，则P(A)＝eq\f(2Ceq\o\al(2,5),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(1,6).(2)因为x＝eq\f(80＋75＋70＋65＋60,5)＝70，y＝eq\f(70＋66＋68＋64＋62,5)＝66，eq\f(\i\su(i＝1xiyi－nxy,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx2)＝0.36，,\o(a,\s\up6(^))＝66－0.36×70＝40.8，,所以回来直线方程为\o(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.,（3）x1＝80，\o(y,\s\up6(^))1＝69.6，,y2＝75，\o(y,\s\up6(^))2＝67.8.,x3＝70，\o(y,\s\up6(^))3＝66.,x4＝65，\o(y,\s\up6(^))4＝64.2,x5＝60，\o(y,\s\up6(^))5＝62.4.,\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）＝（70－69.6）＋（66－67.8）＋（68－66）＋（64－64.2）＋（62－62.4）＝0.4＋（－1.8）＋2－0.2－0.4＝0.,因为0∈（－0.1，0.1）,所以该方程为“优拟方程”.,[B实力提升],9.假设关于某设备的运用年限x和所支出的修理费用y（万元）有如表的统计资料：,运用年限x,2,3,4,5,6修理费用y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0若由资料可知y对x呈线性相关关系：,（1）