2024年广东省湛江市霞山区某中学中考数学一模试卷（含答案）

2024年广东省湛江市霞山区银帆学校中考数学一模试卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1

1.（3分）-少右的相反数是（）

A.-2024B-2024

1

C--------D.以上都不是

2024

2.（3分）太阳的半径约为696000千米,将数696000用科学记数法表示为()

A.69.6X104B.6.96X105C.6.96X106D.0.696X107

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.x2+x2=x4B.x2,x3=x5

C.（x3）2—x9D.(-2x)2=2/

4.（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是（）

A.(7<2B.QW2C.a>2D.

5.（3分）如图，点/、B、。在。。上，连接48,AC,OB,OC,若/氏4C=110°,则NBOC的度数是

B.140°C.70°D.125°

6.（3分）已知闭合电路的电压为定值，电流/（4）与电路的电阻R（C）是反比例函数关系，根据下表

判断以下选项正确的是（）

I(A)5・・・a・・・・・・・・・b・・・・・・

R(Q)2030405060708090100

R

A./与R的关系式为/

B./与R的关系式为/=20R

C.a<b

D.当2c/<a时，40<7?<50

7.（3分）在平面直角坐标系中，已知点/（2,4）,B（4,1）,以原点。为位似中心，相似比为2,把4

048放大，则点/的对应点/'的坐标是（）

第1页（共22页）

A.(1,2)B.(4,8)

C.(8,2)或(-8,-2)D.(4,8)或(-4,-8)

8.（3分）如图，直径为10的O4经过点C（0,6）和点。（0,0）,2是了轴右侧O/上一点，则N03C

9.（3分）如图，已知。尸平分N/OB,ZAOB^60°，CP//OA,于点。，PE上0B于点、E,CP

=2,如果点〃■是OP的中点，则DM的长是（）

D.273

10.（3分）二次函数y=ox2+6x+c（aNO）的图象如图所示，对称轴是直线x=l,下列结论①a6c<0；②

…3

方程：ax2+bx+c^0（aWO）必有一个根大于2且小于3；③若（0,%）,%）是抛物线上的两点，

那么为<及；④Ha+2c>0；⑤对于任意实数机，都有加（.am+b）^a+b,其中正确结论的是（）

A.②④B.①②④C.②④⑤D.②③④

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

第2页（共22页）

11.（3分）因式分解：4<73-a—.

12.（3分）在平面直角坐标系中，点尸（-2,1）关于x轴对称的点的坐标为.

3x_ovA

13.（3分）不等式组芯一的整数解的和为.

.-%<5

后k

14.（3分）如图，已知点4（1,m）点、B（n,L）在反比例函数y=一的函数图象上，ZAOB=45°,则左

3汽

15.（3分）如图，在△NBC中，延长NC至点D,使CD=C4,过点。作。£〃C8,MDE=DC,连接/£

交2C于点尸.若/CAB=/CFA,CF=1,则2尸=.

三.解答题（共8小题，满分75分）

]

16.（8分）计算：|—3|-6sin60。—（3.14—兀）°+亚^+（—~）2.

11xy1

17.（8分）先化简，再求值：（二;一—二）一瓦二/，其中：=弓.

18.（8分）如图，矩形/BCD中，NBAC=60°.

（1）用尺规作/B/C的角平分线NP交8C于点£（不写作法，保留作图痕迹）;

19.（9分）如图，考古人员在古墓大门/处探测到一青铜古物O,由于大门N正北方向有间墓室，考古

第3页（共22页）

人员无法沿直线/。直接挖掘前往.经勘测,考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①

A-C-D-O-,线路②/-8-0.其中点C在点力的正东方10米处，点。在点C北偏西30°方向，

点。在点C正北方，点。在点。西北方向20米处，点3在点Z正西方向，点。在点2北偏东30°方

向.（参考数据：业a1.41,亚=2.45）

（1）求CD的长度；（结果保留根号）

（2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度

为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O.

北

20.（9分）如图，△N8C为。。的内接三角形，P为5c延长线上一点，/PAC=NB,为的直径,

过C作CG_L4D交4D于E,交48于尸，交于G.

（1）判断直线P/与。。的位置关系，并说明理由；

21.（9分）红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、

乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯

笼每对进价多9元.

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利

润y元.

第4页（共22页）

①求出了与X之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元?

22.(12分)【初步感知】

(1)如图1,在△48C中，点。为N8边上一点，点£为4c边上一点，过点C作CF〃/8交射线。£

于尸，且DE=EF,求/£与CE1之间的数量关系；

【深入探究】

(2)如图2,△48C为等边三角形，点。为NC边上一点，射线AD绕点2逆时针旋转60°得到射线

FM

BE,射线8£与C4延长线交于E,点尸为边上一点，线段CP与3D交于点若石彳=〃，求

CE,3C和8尸之间的数量关系(用含"的代数式表示)；

【拓展应用】

1

(3)在(2)的条件下，当=尸为N8中点时，将线段C尸绕点C旋转得到线段CP,线段

4

23.(12分)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点/、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形O48C

1.

是正方形，抛物线y=-§x2+6x+c经过点2、C,CM=18.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点。是CM的中点，经过点。的直线交于点£、交y轴于点尸，连接8£),若/££%=

2ZABD,求直线的解析式；

(3)如图3,在(2)的条件下，点G在。。上，连接GC、GE,点P在N8右侧的抛物线上，点。

为AP中点，连接。。，过点2作交直线。尸于点X,连接C77、GH,若GC=GE,DQ=

PQ求△CGH的周

第5页(共22页)

第6页（共22页）

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BBBBBDDDCC

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

11

1.解：一丁八7/1的相反数是90.

故选：B.

2.解：696000=6.96X105.

故选：B.

3.解：/、X2+X2—2XZ,故/不符合题意；

B、x2,x3—x5,故2符合题意；

C、（x3）2=x6,故C不符合题意；

D、（-2x）2=4x2,故。不符合题意；

故选：B.

4,解:｛：%蹲

解不等式①得：x22,

解不等式②得：x<a,

•・,不等式组无解，

・\QW2,

故选：B.

5.解：如图，在优弧8C上取一点连接5M、CM,

：.ZBAC+ZBMC=1SO°,

VZBAC=110°,

:.NBMC=70°,

ZBOC=2ZBMC=14Q°,

第7页（共22页）

故选：B.

6.解：・・•闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻H（单位：Q）是反比例函数关系，

，40。=806,

••a'='2b,

：.a>b,故选项。不合题意；

・・,闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻火（单位：。）是反比例函数关系，

U

则/=三，把（20,5）代入得：

故E/=20X5=100,

100

即/=（）

KR>0,

则图象分布在第一象限，故选项48不合题意；

当2</<.时，40<R<50故选项。符合题意.

故选：D.

7.解：：以原点。为位似中心，相似比为2,把△CM2放大，点/的坐标为（2,4）,

.•.点N的对应点N'的坐标（2X2,4X2）或（2X（-2）,4X（-2））,即（4,8）或（-4,-8）,

故选：D.

8.解：如图，连接CD,

VZCOD=90°,

；.CD为。。的直径，

，CD=10,

VC（0,6）,

；.OC=6,

在RtACOZ）中，由勾股定理得，

OD=\）CD2—OC2=8,

:优=戊，

：./OBC=/ODC,

。。84

/.cosZO5C=cosZODC==~=~,

故选：D.

第8页（共22页）

9.解：VZAOB=60°,CP//OA,

：.ZPCE=ZAOB=60°,

•；PE工OB于点E,

：.ZCPE=90°-60°=30°,

11

：.CE=~PC=-x2=l,

:.PE=pCE=B

TOP平分N4O5,

1

AZ.POE=~ZAOB=30°,

1

：.PE=~OP.

U：PDLAO,

：.ZPDO=90°,

•・・屈是。尸的中点，

1

：.DM=­PO,

:.DM=PE=8

故选：C.

10.解：根据图象可知：a>0,c<0,

•・•对称轴是直线％=1,

b

--=1,BPb=-2a.

2a

：.b<09

•\abc>0.

故①错误.

方程办2+6X+°=O,即为二次函数y=ax2+bx+C（4#。）与1轴的交点,

根据图象已知一个交点-关于x=l对称，

，另一个交点2<初<3.

第9页（共22页）

故②正确.

:对称轴是直线x=l,

3-

••♦点（万，竺）禺对称轴更近,

二为〉/2，

故③错误.

b

F=i,

•・b=-2Q,

•\y=ax2-2ax+c,

根据图象，令x=7,

y=Q+2Q+C—3Q+C>0,

6。+2c>0,

・・,Q>0,

，1la+2c>0,

故④正确.

m(am+b)=arn^+bm—am2-2amNa-2a,

am--2am-a,

即证：nr-2/u+l^0,

nr-2m+\=(m-1)2,

'.m为任意实数，加2-2m+l20恒成立.

故⑤正确.

综上②④⑤正确.

故选：C.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.解：4a3-a—a（4a2-1）—a（2a+l）（2a-1）.

故答案为:a（2a+l）（.2a-1）.

12.解：点尸（-2,1）关于x轴对称的点的坐标是（-2,-1）,

故答案为：（-2,-1）.

-x-3<00

13.解:

-x<5@

第10页（共22页）

解①得xW5,

解②得x>-5,

不等式组的解集为-5<xW5,

・,•不等式组的整数解为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,

・•・整数解的和为-4+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+24-3+4+5=5,

故答案为：5.

14.解：过点。作OHLOA,且CM'=OA,过点H作4,轴于点过点4作轴于点

9：A(1,m),

：.AN=\,ON=m,

•・・N4'OM+ZMOA=ZMOA+ZNOA=90°,

OM=ZNOAf

'：ZOMAf=ZONA=90°,OA=OA',

•••△CMN段△(?/'M(AAS)f

：・OM=ON=m,A'M=AN=1,

•\A'(冽，-1),

VZAOB=45°,ZAOAf=90°,

・•・"OB=ZAOA,-ZAOB=45°,

；・/AOB=NA'OB,

又・；OA=OA',OB=OB,

:.AAOB义MOB(SAS)f

：.AB=A'B,

后k

已知点A(1,冽)，点8(九，二)在反比例函数y=—的函数图象上,

3x

第11页(共22页)

・・加=左，Tl=J6=---k,

32

•»A（1,左）,［），

•：AB=A'B,

・・.（1一演）+（"心）=（k-/k）+（一1一辰）,

2323

整理可得3层-5庐-2=0,

1

解得左i=2,k2=

由反比例函数的图象可知，左＞0,

.\k=2.

故答案为：2.

15.解：・.・CD=CA,DE//CB,

：.AF=EF,

・・・C户是△4£）£*的中位线，

:,DE=2CF=2,

9：DE=DC,

：.AC=2CF=29

•：/CAB=/CFA,ZACF=AACB,

•••△CAFsACBA,

：.AC：BC=CF：AC,

A2：BC=1：2,

・・・3C=4,

：.BF=BC-FC=3.

故答案为：3.

三.解答题（共8小题，满分75分）

16.解：原式=3-6x^-―1+3p+4

=3-3馅-1+3,+4

=6.

（）（）

17.解：原式=（三1］.1—X—yx+y

第12页（共22页）

1(x—y)(x+y)1(%—y)(x+y)

-x-yxx+y,x

x+yx-y

~Xx

_2y

=,

x

,,一y___i

•无一2'

，原式=1.

AZB=90°,

VZBAC=60°,

AZACB=30°,

,・Z尸为NA4C的平分线，

1

：・/BAE=NCAE=Q/BAC=30°,

；・/CAE=/ECA,

：.AE=CE,

在RtZUBE中，EB=2cm,ZBAE=30°,

：・AE=2BE=4cm,

CE=4cm.

19.解：(1)过点。作OELCD交C£＞的延长线于点E,如图,

第13页（共22页）

02）=20米，ZODE=45

OE—OD•sin45°=20xg=10隹（米）,

DE=OD9COS45°=20x,=10隹（米），

在RtZXOCE中，

・・・OE=10隹米,ZOCE=30°，

OE

，，"=sm30°=20M（米），

OE10一

霞=斯丽=言=1姬（米）'

3

：.CD=CE-DE=1函-1附（米）,

答：C〃的长度为（1姬-1硬）米;

（2）由题意，知NO2C=NOC5=6（r，

...△O5C是等边三角形，

.,.O2=2C=OC=20亚米弋28.2米，

Z.AC+CD+OD=10+1OA/6-1072+20-40.4（米），

AB+BO^BC-AC+BO^?.^2-10+28.2=46.4（米），

:线路①挖掘的平均速度为3米/小时，

二线路①挖掘需要时间为:40.44-3^13.47（小时），

:线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，

二线路②挖掘需要时间为:46.4+3.2=14.5（小时）,

第14页（共22页）

V13.47<14.5,

・•・选择线路①能更快挖掘到古物O.

20.(1)解：直线尸4与的位置关系:直线尸4与。。相切，理由:

连接CO,OC,如图，

・・・40为。。的直径，

ZACD=90°,

ZD+ZDAC=90°.

■:/B=/D,/PAC=/B,

：.ZD=ZPAC.

：.ZPAC+ZDAC=90°,

AZDAP=90°,

：.OA±PA,

•・,Q4为OO的半径，

・・・直线尸/与OO相切；

(2)证明：连接5G,

・・・/。为。。的直径，CGL4。，

AC—AG,

：.ZABG=ZAGC,

VZGAF=NBAG,

：.AAFG^AAGB,

.AGAF

••布=启

：.AG1=AB*AF.

21.I?：(1)设甲种灯笼单价为x元/对,则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，由题意得:

31204200

x%+9?

解得％=26,

第15页(共22页)

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意,

，x+9=26+9=35,

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对.

(2)①了二(x-35)[98-2(x-50)]=-2/+268x-6930,

答：y与x之间的函数解析式为：y=-2/+268x-6930.

②-2<0,

b

.,•函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=--=61,

2a

物价部门规定每对乙灯笼的不高于每对30元，

.♦.X-35W30,

...无W65,

：x<67时，y随x的增大而增大，开口向下，离对称轴越近越大，

.•.当x=65时，y最大2040.

答：乙种灯笼的销售单价为每对57元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元.

22.解：(1)AE=CE,理由如下，

,JCF//AB,

NA=NECF,

'：/ADE=ZF,

：.DE=EF,

:.LADE沿ACFE(AAS),

：.AE=CE；

(2)如图1,作CG11AB交BD的延长线于G,

:.丛CMGs丛FMB,

ZACG=ZBAC,

第16页(共22页)

CGCM1

"BF=FM=n

1

：.CG=-BF,

n

•；AABC是等边三角形，

：.BC=AB=AC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°,

AZACG=60°,/BAE=1800-N54c=120°,

：./BCG=/ACB+/ACG=120°.

・•・NBCG=NBAE,

•；/EBD=60°,

/EBD=NABC,

：./EBD-ZABD=/ABC-/ABD,

・•・/ABE=/CBG,

：.AABE^ACBG(AW,

1

：.AE=CG=-BF,

n

・；CE=AE+AC,

1

：・CE=-BF+BC；

n

(3)如图2,

图2

作CG〃45交5。的延长线于点G,作PH上4c于H,作"/EJ_4C于&,连接班/,

不妨设/B=4C=4,AE=1,则CF，=CF=&C=2近,

2

由(2)知：CG=AE=l,

CDCG1

utAD=AB=4"

14

CD=~AC=~,

,:F'〃=2c=2业，

2

第17页（共22页）

22

CH=^CF'-F'H=42我2_q也丫=2,

146

\CH=-AC9DH=CH-CD=2--=~,

\BHLAC,

BH2j35J3

'.tanZM7DR=tanZADH=~~

DH

53

M'R5J3

DR3

设R=5愉，DR=3k,

M'RF'H

：tanZACMr

C/vCH

.5⑸c_2也

CR2

.「R_5瓦

•CK—K,

2

由CR+DR=CD得,

5^/6,_4

-----k+3/c二1,

25

8

"=25,+30,

8j3

.\MrR=5个r3k=-F,

5/6+6

F'H2j2J2

"：sinZACF'

CF'2\3

8后「

M'R5招+612：2

，

"CM~5J6+6

・&军-5+4

CM'-^―2

5^6+6

F'M'3+

••CM'~-2

1c

23.解：:四边形CUBC是正方形，抛物线歹=—/2+bx+c经过点5、C,04=18.

：.AB=OC=OA=IS,

：.C(0,18),B(18,18),

・・・c=18,

第18页（共22页）

18=~~x182+fe+18,

解得b=2,

1c

・•・抛物线的解析式为歹=-TX2+2x+18；

(2)如图，在40延长线时取。/=连接",

设N/8£)=a,

NEDA=2/ABD,

ZEDA=2a,

■:DI=DE,

：./EID=/IED=a,

•・•点D是04的中点，

：.OD=DA=9,

DA91

•』皿=布=五=5，

EA1

/.tanZ£Z4=—=

El2

设AE=x,贝ljAI=2x,

：.ED=DI=IA-DA