2025年上海市嘉定区中考数学一模试卷（附参考答案）

中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确

的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.（4分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+c

C.y—x2+l

2.（4分）抛物线y=/+x一定经过点（

A.（1,0）B.（-1,0）C.(2,4)D.(-2,-4)

3.（4分）下列两个三角形一定相似的是)

A.两个直角三角形

B.有一个内角为40°的两个直角三角形

C.两个等腰三角形

D.有一个内角是40°的两个等腰三角形

4.（4分）如图，在直角梯形/BCD中，AD//BC,/。=90°,如果对角线/C_L42,那么大的值是（

5.（4分）下列命题正确的是（）

T一T—

A.如果|a|=网，那么。=b

—TT

B.如果a和b都是单位向量，那么Q=b

—>—>

C.0+(—Q)=0

—>r—>r

D.如果a=kb（k40）,那么allb

6.（4分）如图，两条不平行的直线/i与直线/2相交于点。，四条平行线分别交直线/1于点/、B、C、D,

分别交直线/2于点出、Bi、Ci、D],则有如果出。=3,031=3101=2,C\D\

=4,那么在下列结果中，线段之差最大的是（）

A.BD-ABB.OC-OAC.OC-CDD.CD-OB

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

x3%—v

7.（4分）己知一=那么一-=_____________________.

y4y

8.（4分）如果抛物线y=（2-a）f+x-1的开口向下，那么a的取值范围是.

9.（4分）将抛物线》=-（x-1）2向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是.

10.（4分）已知点/（xi,yi）、8（x2,y2）在函数y=-x2+2x+l的图象上，如果那么y\______畛（填

“>”、“="、"<"）

11.（4分）已知某二次函数一部分自变量x和函数值y的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数

图象的对称轴是直线.

・・・

X•••-4-2124

y•••11-511143・・・

12.（4分）如图，在梯形48c。中，AD//BC,NC与2。相交于点O,如果S^/OD：S“OB=2：3,那么

S^AOD：S^BOC=

13.（4分）如图，在△45。中，点。、E分别在边45、NC上，且EC=2AE,联结。如果

AB=a,AC=b,那么DE=.（用含向量a、b的式子表示）

14.（4分）在等腰△45C中,45=4C,如果45：5C=3：2,那么sinNA4c的值是

15.（4分）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象.它的原理是利用光的直

线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像.如图，为了投影出一个动物造型CA,手的长度是15

厘米，AB//CD,光源。到手的距离0G是100厘米，手42到幕布的距离GH是20厘米.此时CD

4

16.（4分）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高/2=6小，坡面/C的坡度，=1：

则至少需要红地毯________m.

17.（4分）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段

是梯形的“黄金分割线”.如图，在梯形48CD中，AD//BC,AD=6,BC=10,点、E、尸分别在边N8、

CD±.（AE>BE）,如果斯是梯形48CD的“黄金分割线"，那么斯=.

18.（4分）如图，将一块含30°角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕着它的重心G

逆时针旋转180。.如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面积为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

1%（10分）计算：s讥245。一西靠黑硬.

1

20.（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=一可/+6%+（:的顶点为。.

（1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：

①它与y轴交点的坐标是（0,-1）；②顶点。的坐标为（1,1）.

你选择的条件是（填写编号），并求6、c的值.

（2）由（1）确定的抛物线与x轴正半轴交于点/,求tan/D/。的值.

21.（10分）如图，在△48C中，点。、E分别在边BC、AC±,BD=12,CD=15,且

（1）求线段N5的长；

（2）当/ADE=/C,/B=60°时，求△即C的面积.

22.（12分）如图，在△NBC中，ZBAC=9Q°,点E是边48的中点，联结CE,作NF_LCE,

垂足为点尸，联结3R

（1）求证：△EFBs^EBC；

DFr-

（2）取3c边的中点。，联结。尸，求证：—=V2.

EF

23.（10分）火车作为我国重要的交通运输形式之一,其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全.我

国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感

器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有

损伤或缺陷.某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：

阅读概述激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光

接收元件上成像.一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成

像的位置也随之改变.可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离.

探究（1）设MN=m,请用含加和a的式子表示点N到直线MW的距离.

探究（2）已知N'=5,OM'=23,（W=132,求九W的长度.（结果精确到个位，sina

-0.8,cosa^O.6,cota-0.75）

24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1经过点（2,3）和点（-4,3）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如图，该抛物线上有三个点/、B、C,43〃x轴，ZACB=90°,NBAC=30：与抛物线的

对称轴交于点M.（点/在对称轴的左侧）

①如果点C到抛物线对称轴的距离为3请用含t的代数式表示点B的横坐标;

②求点。的横坐标.

25.（14分）如图1,在△48。中，AB=AC,过点C作CO_L/B,垂足为点。，点D在N5边上（不与点

/重合），点£是边NC上的点，且满足CD=C£,设左=tan5.

（1）求证：/CDE=/BCD+45°；

（2）如图2,过点。作DXL3C,垂足为点〃，求证：DE=42CCH-DH）；

（3）设点厂是CD的中点，联结斯并延长交边于点G,当△CFG与△BCD相似时，求左的值.

图1图2（备用图）

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CBBBDD

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确

的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.【答案】C

【解答】解：y=ax2+bx+c中当。=0时，它不是二次函数，则/不符合题意；

y—（x-5）2-X2--10x+25,则2不符合题意；

y=x2+l符合二次函数的定义，则。符合题意；

了=备不符合二次函数的定义，则。不符合题意；

故选：C.

2.【答案】B

【解答】解：/、当x=l时，＞=2,故点（1,0）不在抛物线y=/+x上，不符合题意；

B、当x=-1时，j=0,故点（-1,0）在抛物线y=/+x上，符合题意；

C、当x=2时，y—6,故点（2,4）不在抛物线y=—+x上，不符合题意；

D、当x=-2时，y=2,故点（-2,-4）不在抛物线y=x2+x上，不符合题意；

故选：B.

3.【答案】B

【解答】解：/、两个直角三角形不一定相似，故选项/不符合题意；

B,有一个内角为40°的两个直角三角形相似，故选项3符合题意；

C、两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意；

D、有一个内角是40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项。不符合题意；

故选：B.

4.【答案】B

【解答】解：•••直角梯形/BCD,

'JACLAB,

：.ZBAC^90°,

,:AD〃BC,

・•・/DAC=/BCA,

：.△ADCs^CAB,

CDAB

A—=-=cosB,

ACCB

故选：B.

5.【答案】D

【解答】解：4、两向量的模相等，方向不一定相同，故4不符合题意；

5、两单位向量的方向可能不同，故5不符合题意；

C、a+(-a)=O,故C不符合题意；

D、命题正确，故。符合题意.

故选：D.

6.【答案】D

【解答】解：由题知，

'：AAi//BBi,4。=3,031=2,

.OA0Ar3

"'OB-'OB[-5'

则令。4=3后，OB=2k.

同理可得，BC=2k,CD=4k,

：.BD-AB=k,OC-OA=k,OC-CD=0,CD-OB=2k,

显然”为差值最大的一个.

故选：D.

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

"J-

T3

]解-

y-4

34T-1

---一-

4一4.

-V

故答案为：-

8.【答案】。〉2.

【解答】解：：抛物线y=(2-a)f+x-1开口向下,

2-QVO,

解得a>2,

故答案为：a>2.

9.【答案】(4,0).

【解答】解：将抛物线丁=-(%-1)2向右平移3个单位得到>=-(x-1-3)2=-(%-4)2,顶点

坐标(4,0).

故答案为：(4,0).

10.【答案】<.

【解答】解：Vj/=-X2+2X+1=-(x-1)2+2,

，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=l,

・••当x>l时，y随x的增大而减小，

Vxi>X2>L

1•yiV”；

故答案为：<.

11.【答案】x=-1.

【解答】解：当、=-4和x=2时，函数值相等，

...抛物线的对称轴为直线x==9=-1.

故答案为：X=-1.

12.【答案】4：9.

【解答】解：设点/到的距离为〃，

•S/\AODiS/^AOB=2:3,

.l0D-h2

••I=二,

—OB,h3

*_O_D2

••—,

OB3

■:AD〃BC,

：.MAODsMBOC,

.S△一。D_OD2_/、2_3

"S^oc=(话)-"?

即S/^AOD：SABOC=4：9,

故答案为：4：9.

1tIT

13.【答案】-b--a.

【解答】解：・：BD=2AD,EC=2AE,

tADAE1

••DB~EC~2"

：.DE//BC,

,DEAD1

・BC~~AB一3,

—>—>—>TT

'.BC=B4+AC=-a+b,

T］T1

DE=b—d.

1tIT

故答案为：-b--a.

4V2

14.【答案】—.

y

［解答］解：如图，过点A作AH±BC于点H,过点C作CK_LAB于点K.

.•.可以假设N3=/C=3左，BC=2k,

'.'AB^AC,AHLBC,

・・BH=CH=k,

：.AH=7AB2-BW=V（3/c）2-k2=2岳,

•；CKUB,

11

；LBC・AH=%・AB・CK,

22

.2kx2至k_472,

，，CK=-3k-=

••/n“_CK_争_4姓

••sin/3/C=-777=-5^—=­-.

AC3k9

故答案为：拳4V2

15.【答案】18.

【解答】解：・・Z5〃CZ),

△AOBsMOD,

.OGAB

,・演~访‘

.10015

"120—CD，

：.CD=18f

答:CO的长度是18厘米，

故答案为：18.

16.【答案】见试题解答内容

4

【解答】解：・.Z5=6加，坡面ZC的坡度i=l：

4

・•BC=6又可=8机，

故可得地毯的长度=AB+BC=6+8=14m.

故答案为：14.

17.【答案】4+2V5.

【解答】解：如图所示，连接/厂并延长，与3c的延长线交于点H,

由题知，

:点F是线段CD的黄金分割点，且DF>CF,

.生_5]

DF~2'

'：AD//BC,

：./\CFH^/\DFA,

.CHCF

"'~DA-~DF'

又：NO=6,

:.CH=3V5-3.

又：8C=IO,

：.BH=BC+CH=3V5+7.

'：EF//BC,

：.△AEFs^ABH,

.EFAE

,•BH-AB'

:点E是线段48的黄金分割点，且4E>BE,

*AEV5-1

••—,

AB2

：.EF=x(3V5+7)=4+2V5.

故答案为：4+2V5.

18.【答案】12V3.

【解答】解：如图，ZBAC=90°.ZB=30°,BC=12cm,

.\AC=^BC=6cmAB=y[3AC=6y[3cm,

:,SAABC=x6x6A/3—18V3cm2,

・・・G为重心，

.'.AG：GN=2：1,

・；A4BC绕点G旋转180度，

：.AB//A'B',BC//B'C',A'C'//AC,AG=A'G,MG=NG,

：.AM：MG：GM=1：1：1,

J.AM：AN=1：3,

9：BC//B'C,

・•・AADE^AABC,

工$△/£)△：SMBC—ZM?：AN2=1:9,

,,^/\ADE=g^/\ABC=2V3C7722»

同理：S&CGH=SABKP=gS^ABC=2V3cm2,

2

重叠部分的面积为：SAABC-S^CGH~S^BKP~^AADE=18百一3x2遮=12V3cm,

故答案为：12V3.

A

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.【答案】一字.

【解答】解：原式=（V）2—含

LV3—1

_173+1

=2~

=_叵

一亍

20.【答案】⑴②，6=|,c=l.

2

（2）—.

3

【解答】解：（1）选择的条件是②.

4

:顶点。的坐标为（1,I）,

...抛物线的对称轴为直线x=l,

-----1,

2X（4）

解得b=j,

._12,2,

••y=一可％

41c2

将（1,可）代入y=-w%+@%+c,

得一/+C=小

解得C=l.

故答案为：②.

（2）由（1）得，抛物线的解析式为+,x+i.

如图,

贝UB(i，o).

4

:顶点。的坐标为(1,耳)，

4

:・BD=

令—"J%2+可％+1=0,

解得％1=-1，X2=3,

：.A(3,0),

.\AB=2,

・・ta.nz_DAO—“二可.

21.【答案】(1)证明见解答；

,75V3

(2)△EDC的面积是一厂.

【解答】解：⑴'：BD=12,CD=15,

：.CB=BD+CD=12+15=27,

VZBAD=ZC,NB=NB,

：.ADBAsAABC,

*_A_B__B_D

••—,

CBAB

：.4B=<BD-CB=V12X27=18,

线段的长为18.

(2)作£FJ_C。于点R则/。尸£=90°,

VZBAD=ZC,/4DE=NC,ZB=6Q°,

ZADE=ZBAD,

：.ED//AB,

:.△EDCSAABC,ZEDF=ZB=60°,

EDCD155

—=—=—=一，NDEF=90°-NEDF=90°-60°=30°，

ABCB279

/.£Z）=1^5=1x18=10,

1

'：DF=^ED=5,

：.EF=VED2-DF2=V102-52=5V3,

:*S&EDC=^CD，EF=1X15X5V3^

75V3

...△EDC的面积是

22.【答案】（1）证明见解答；

（2）证明见解答.

【解答】证明：（1）4c=90°,点E是边48的中点，4FLCE于点F,

：.ZEFA=ZEAC=9Q°,EA=EB,

/FEA=/AEC,

：.△FEAs^AEC,

*_E_F__E_A

••—,

EAEC

.EFEB

•.—，

EBEC

丁NFEB=/BEC,

：.△EFBsAEBC.

（2）取5c边的中点。，联结DR

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZEBC=ZACB=45

△EFBsAEBC,

：.ZEFB=ZEBC=45°,/EBF=/DCF,

联结4。交C/于点H,联结即，

・・,点E是45的中点，点。是5C的中点，

:・BE=%B,DE=^AC,DE//AC,ADLBC,ZDAC=ZDAB=^ZBAC=45

：.BE=DE,ZBED=ZBAC=90°,

：.CD=BD=yjBE2+DE2=&BE,

•:/CDH=/AFH=90°,ZCHD=ZAHFf

・••△CHDSAAHF,

.DHCH

・•FH-AH"

.DHFH

"CH一而

・.•/FHD=NAHC,

：.AFUDsAAHC,

：.ZDFC=ZDAC=45°,

・・・NDFC=NEFB,

,/ZDCF=/EBF,

：.LDCFsAEBF,

DFCD

—=—=、r2.

23.【答案】（1）点N到直线MW的距离为"Lcosa；

（2）MN的长度为60.

【解答】解：（1）作NHLMM'于点X,

.,."=90°,

'：MNM\,

:.NPMN=90°,

VAM'MP=a,

：.NNMH=90°-a,

ZMNH=a,

,:MN=m,

:.HN=m,COSOL；

(2)作N'C±MM'于点C,

ZN'CM'=ZN'CO=90",

由题意得：M'N'//MP,

：.ZN'M'C=a,

'：M'N'=5,

:.N'C=5X8100^4,M'C=5Xcosa七3,

设.MN为x,则罚V=0.6x,MH=Q8x,

"：OM'=23,

；.OC=23-3=20,

,:/H=/N'CO=90°,ZCON'=ZHON,

C.^OCN'S&)HN,

.N'C0C

"UN~而

._4_20

0.6x132+0.8%'

解得：x=60,

.♦."N的长度为60.

24.【答案】（1）该抛物线的表达式为了=*/+%—1.

（2）①点3的横坐标为2-1.

②点。的横坐标为2?一3.

【解答】解：（1）对称轴为直线x=—名=竽=一1,

:・b=2a,y=ax1+bx-1=ax2+2ax-1,

再代入（2,3）得Q=

故该抛物线的表达式为＞=1x2+%-l.

：.ZABC^60a,由斜边中线定理知CN=BM,进而△BMC为等边三角形.

作C£>_L直线x=-1于点D,则NBMC=/MCD=60°,

：'MC==2t，

则BM=MC=2t,

故点B的横坐标为2Z-1.

②:点B的