2025年九年级数学中考二轮复习：圆中相似三角形综合练习（含答案）

2025年九年级数学中考二轮专题复习：圆中相似三角形综合练习

1.如图,AABC为。。的内接三角形,AB为的直径，将△ABC沿直线AB翻折到

点。在O。上.连接交AB于点E,延长BO,CA,两线相交于点P,过点A作。。

的切线交8尸于点G.

(1)求证：AG//CD；

(2)求证：PA2=PG-PB；

1

(3)若sin/APD=1,PG=6.求tan/AGB的值.

2.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,以A8为直径的O。交BC于点。，AE1

OC,垂足为E,BE的延长线交通于点?

OE

(1)求下的值；

AE

(2)求证：AAEBs^BEC；

(3)求证：AD与所互相平分.

3.如图，。。为△ABC的外接圆，弦CDLA3,垂足为E,直径交CZ)于点G,连接

AF,AD.若A8=AC=5,BC=2V5.

(1)证明：四边形ADGP为平行四边形;

BG_

(2)求二的值；

AD

(3)求sinNCA。的值.

4.如图，△ACD内接于OO,直径A8父CD于点G,过点。作射线。R使得/4。尸=/

ACD,延长。C交过点B的切线于点E,连接BC.

(1)求证：。尸是O。的切线；

8

-

3BE=3CE=3.

①求DE的长；

②求O。的半径.

5.如图，45是。。的直径，C是皿的中点，过点C作的垂线，垂足为点E.

(1)求证：△ACE's△ABC；

(2)求证：CE是。。的切线；

(3)若AD=2CE,OA=y[2,求阴影部分的面积.E

6.如图1,48为。。的直径，AB=12,C是。。上异于A,8的任一点，连接AC,BC,

过点A作射线AOLAC,。为射线A。上一点，连接CD

【特例感知】

(1)若BC=6,则AC=；

(2)若点C,D在直线同侧，且求证：四边形ABC。是平行四边形;

【深入探究】

若在点C运动过程中，始终有tan/AOC=8，连接OD

(3)如图2,当CO与。。相切时，求。。的长度；

(4)求。。长度的取值范围.

图1备用图

7.如图1,。是正方形ABCD对角线上一点，以。为圆心，0C长为半径的。。与A。相切

于点E,与AC相交于点E(1)求证：与O。相切；

(2)若正方形A8C。的边长为企+1,求。。的半径；

(3)如图2,在(2)的条件下，若点M是半径0C上的一个动点，过点M作跖VLOC

交注■于点N.当CM：FM=1：4时，求CN的长.

8.如图，是。。的直径，点C在OO上，AD平分/A4c交O。于点。，过点。的直线

DELAC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点足

(1)求证：EF是。0的切线；

(2)连接EO并延长，分别交。。于M、N两点，交于点G,若。。的半径为2,

ZF=30°,求GAPGN的值.

E

9.如图，在菱形ABC。中，DHLABH,以为直径的。。分别交A£),BD于点E,F,

连接跖.

D

(1)求证：①8是O。的切线;

②LDEFsADBA；

C

H

B

(2)若A2=5,DB=6,求sin/OFE.

10.已知在RtzXABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,以边AC为直径作O。，与AB

边交于点。，点M为边BC的中点，连接。

(1)求证：是O。的切线；

(2)点P为直线BC上任意一动点，连接AP交。。于点。，连接C。.

1

①当tan/BAP=3时，求8P的长;

②求空的最大值.

11.如图，以线段A3为直径作O。，交射线AC于点C,A。平分NCA8交。。于点。，过

点。作直线。ELAC,交AC的延长线于点E,交48的延长线于点凡连接BD并延长

交AC的延长线于点

(1)求证：直线。E是O。的切线；

(2)当//=30°时，判断的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，ME=1,连接8C交A。于点尸，求AP的长.

12.如图，四边形A8CD内接于。。，A3为O。的直径，AD=CD,过点。的直线/交BA

的延长线于点交8C的延长线于点N且/

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)求证：AD2=AB*CN；

(3)当A8=6,sin/DCA=字时，求AM的长.

13.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以AB为直径的。。与AC交于点。，点£是

2C的中点，连接BD,DE.

(1)求证：是。。的切线；

1

(2)若DE=2,tanNBAC=2，求的长；

(3)在(2)的条件下，点P是。。上一动点，求出+PB的最大值.

14.如图，AB是。。的直径，点C是圆上的一点，COLA。于点。，AD交。。于点后连

接AC,若AC平分过点E作PGLAB于点G,交AC于点H,延长A2,DC交

于点E.

(1)求证：CD是O。的切线；

(2)求证：AF-AC^AE'AH；

4AH

(3)若sin/QEA=W，求一的值.

5FH

15.如图，AB为。。的直径，D4和。。相交于点EAC平分ND4B,点C在。。上，且

CDLDA,AC交BF于点P.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)求证：AC'PC=BC1-,

(3)已知8。2=3尸产・£)C,求一的值.

AB

参考答案

1.【解答】(1)证明：・・,将△ABC沿直线A3翻折到△A8Q,

：.AB±CD,

TAB为OO的直径，AG是切线，

：.AG±ABf

：.AG//CD；

(2)证明：TAG是切线,

：.AG±AB,

TAB为OO的直径，

ZADB=90°,

ZABD=90°-NDAB=NGAD,

•・•由折叠可得NABD=NABC,

：.ZCBD=2ZABD,

,/四边形ADBC是。。的内接四边形，

：.ZPAD=18O°-ZCAD=ZDBC=2ZABD,

：.ZPAG=ZPAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又・・•ZAPG=ZBPA,

：.AAPG^ABB4,

ApPG

:一=—，即PA2=PG9PB；

BPPA

Ani

(3)解:,：sinZAPD=卷=最

设A£)=m则AP=3〃，

：.PD=yjAP2-AD2=2V2a,

..n-AD-a-

..t7aADnUPD=k^=可

由折叠可得AC=AD=a,

PC—PA+AC=3a+a—4a,

•・•在RtAPCB中，tan^CPB=您=?，

：.BD=CB=和C=缶，

'：AD±BD,GALABf

：.ZAGB=90°-NGAD=NDAB,

tcurZ-AGB—tcLTiZ-DAB-=V2.

2.【解答】解：(1)VAB=AC,且AB是。。的直径，

：.AC=2AO,

VZBAC=90°,

AT

在RtAAOC中，tanz.AOC=翡=2,

VAE±OC,

在RtAAOE中，tan^AOC=养，

AE

­=2,

OE

.OE1

••一;

AE2

(2)证明：过点B作BM//AE,交EO延长线于点M,如图1,

；・NBAE=/ABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

AAOE^ABOM(AAS),

图1

：.AE=BMfOE=OM,

・.0E1

•=一，

AE2

；・BM=2OE=EM,

：.ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

ZBEC=180°-ZMEB=135°,

NAEB=/BEC.

9：AB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=45°,

，ZABM=ZCBE,

:.NBAE=NCBE,

：.△AEBs^BEC：

（3）连接。E,DF.如图2,

・・,A5是。。的直径，

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

图2

9：AB=AC,ZBAC=90°,

:・BC=2BD,ZDAB=45°,

由（2）知，AAEBsABEC,

AEAB240AO

—,ZEAO=ZEBD,

BEBC~2BDBD

：.AAOEsABDE,

：.ZBED=ZAEO=90°,

：.ZDEF=90°,

ZAFB=NDEF,

：.AF//DE,

由（2）知，ZAEB=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

'：ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

：.AE//FD,

・・・四边形AEDF是平行四边形，

・・・AO与EF互相平分.

3•【解答】（1）证明：・・・3尸是。。的直径,

：.ZBAF=90°,

：.AF±AB,

VCDXAB,

J.CD//AF,

：.DG//AF,

：.NAFB=NBGD,

U：AC=AC,

：.ZADC=ZABC,

VA&=AB,

：.NACB=NAFB,

/ADC=NBGD,

：.AD//GF,

・・・四边形ADGF为平行四边形；

(2)解：设

VAB=AC=5,

：.AE=AB-BE=5-x,

'：AB±CD,

：.ZBEC=ZAEC=90°,

222

ABC-BE2=AC2-AE=CEf

VBC=2V5,

(2A/5)2-^=52-(5-x)2,

=

解得x29

:・BE=2,AE=3,

.BE2

••—―,

AE3

由(1)知，ZADC=ZBGDf

'：NAED=NBEG,

：.AADEs/\BGE,

.BGBE2

"AD~AE~39

.BG2

"AD—3；

(3)解：过点。作DHLAC于H,

在RtABCE中，CE=<BC2-BE2=j(2V5)2-22=4,

'：BD=BD,

•・NBAD=/BCD,

：NAED=/CEB,

,・AAED^ACEB,

.BCBECE

9AD~DE~AE"

.2_4

*AD~DE~3

0/FQ

•・AO=詈，Z)E=|,

311

•・CD=CE+Z)E=4+尹芸,

1

S〉ACD=2CD•AE=DH,

11

—x3=5DH,

2

33

DHR

斤n八4erri+t-ITATYDH332ll>/5

在RtZ\AZ）//中，sii\Z-HAD=7丁—ygx-^-y==——,

•*•sinNCAD=—

4.【解答】（1）证明：连接O。，

VZADF=ZACD,ZAOD=2ZACD9

：.2ZADF=ZAOD,

设NAOF=x,则NAOO=2x,

'：OA=OD9

：.ZOAD=ZODA=±=90°-%,

ZODF=ZODA+ZADF=90°-x+x=90°,

・・・。方是。。的切线；

（2）解：①连接BD,

,:BE=3CE=3,

：.CE=1,

•・・5E是切线,

ZABE=90°=ZCBE+ZABC,

VZABC+ZBAC=9Q°,NBAC=NBDC,

:.NCBE=NBDC,

•・,ZE=ZE,

:ABCEs^DBE,

.BECE

••=,

DEBE

.31

••—―,

DE3

：.DE=9；

②・・5=9,

9：CD=DE-CE=8,

,:CD=|CG,

・・・CG=3,DG=5,

・・・GE=CG+CE=4,

在RtABGE中，BG=^GE2-BE2=V42-32=

・.,ZBCG=ZDAG,ZBGC=ZDGA.

：.AADGsACBG,

.AGDG

••—,

CGBG

.AG5

=后

：.AG=^V7,

1q22

：.AB=AG+BG=号中+近=与近,

・・・。0的半径=学位.

5•【解答】(1)证明：・・・。是品的中点，

:.cb=BC,

：.ZEAC=ZBAC.

TAB是。。的直径，

AZACB=90°.

CELAE,

：.ZAEC=90°,

：.ZAEC=ZACB9

：.AACE^AABC；

(2)证明：连接OC,如图，

V(9A=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

由(1)知：ZEAC=ZBACf

：.ZEAC=ZOCAf

：.OC//AE,

'：CELAE,

：.OC.LCE.

TOC为。。的半径，

・・・CE是。0的切线；

(3)解：连接OD过点。作。尸，AO于点尸，如图,

则AF=FD=1AZ),

u

：AD=2CEf

：.AF=CE.

VOFLAD,CE1AE,OCA.CE,

・••四边形所oc为矩形，

・•・OF=CE,

：.OF=AF,

则AA尸。为等腰直角三角形，

・•・/朋0=45°,AF=FO=^OA=1.

'：OA=OD,

：.ZODA=ZFAO=45°,

ZAO£>=90°.

••SL0AD=20^>OD=2XV2XV2=1,

_90TTX(72)2_n

、扇^OA。~360=2"

**•阴影部分的面积=S扇形OAD-SAOAD=2—1•

6.【解答】(1)解：・・・A8为。。的直径，

ZACB=90°,

在Rt^A5C中，由勾股定理得：

AC=yjAB2-BC2=V122-62=6A/3,

故答案为：6V3；

(2)证明：VAD1AC,

：.ZDAC=ZBCA=9Q°,

J.AD//BC,

,?/ADC=NB,

：.ZBAC=ZDCA.

：.AB//CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形；

(3)解：在RtZkACD中，

VtanZAZ)C=V3,

ZADC=60°,ZACD=30°,

如图2,连接OC,图2

・・・a>是。。的切线，

・•・OCLCD,

：.ZACD+ZACO=9Q°,

XVZACO+ZOCB=90°,

・•・ZACD=ZOCB,

•/OC=OB,

：.ZB=ZOCB=ZACD=30°,

在RtZkABC中,AC=AB-sin30°=6,

r-

在中，

RtZWCDCD=Uc/o。；un。=4®

:.在RtZ\COD中，OD=yJCD2+OC2=^62+(4V3)2=2V21；

(4)解：如图3,过点A作射线A尸，AB,作射线。F满足/4。歹=60°,射线AP与

。厂交于点凡连接。C、CF,

在RtzXAOF中，AF^OA'tan60°=WOA,

:tan/AOC=V3,

.,.AC=y[3AD,

\'AF=y[3OA,

ACAF

：.—=—=Vr3,

ADOA

'：ZDAC^ZOAF^90°,

：.ZDAC+ZCAO^ZOAF+ZCAO,即ZDAO^ZCAF,

；.△CAFs△£>ao,

FCACL

—=—=Vr3>即FC—y[30D,

ODAD图3

在RtzXAOF中，

'：0A=6,AF=WOA=6V3,

：.0F=y/OA2+AF2=12,

^：\0F-OC\^CF^OF+OC,

.•.6WCBW18,

.\2V3<0D<6V3.

7.【解答】(1)证明：如图，

连接。£,过点。作OGLAB于点G,

：0。与相切于点E,

C.OELAD,

•••四边形ABC。是正方形，AC是正方形的对角线,

：.ZBAC^ZDAC^45°,

：.OE=OG,

•：0E为O。的半径，

，OG为O。的半径，

•;OG±AB,

.'AB与OO相切；

(2)解:如图，

：AC为正方形ABCD的对角线，

：.ZDAC=45°,

：O。与4。相切于点E,

ZA£O=90°,

.•.由(1)可知AE=OE,

设AE=OE=OC=OF=R,

在RtAAEO中，

\'AE1+EO2=AO2,

:.AO2=R2+R2,

V7?>0,

：.A0=V27?,

又,；正方形ABCD的边长为鱼+1,

在RtZXADC中，

：.AC=VXD2+CD2=V2(V2+1),

•?OA+OC^AC,

：.y[2R+R=V2(V2+1),

'.R=V2,

••・O。的半径为V2；

(3)解:如图，

连接FN,ON,

设CM=k,

CM：FM^l：4,

:.CF=5k,

：.OC=ON=25k,

C.OM^OC-CM=1.5k,

在Rtz\OMN中，由勾股定理得：MN=2k,

在RtZXCMN中，由勾股定理得：CN=舟,

又,：FC=5k=2R=2x&=242,

.•.CN=^x竽=等.

8.【解答］.⑴证明：连接0。，

〈A。平分NR4C,

'ZDAE=Z0AD,

:04=00,

：.Z0AD=Z0DA,

：.ZDAE=Z0DA,

J.0D//AC,

u：DELAC,

IODIDE,

•・・o。是。。的半径，

・・・Eb是。。的切线；

(2)解：连接MDAN,

在RtAOD尸中，0B=0D=2,ZF=30°,

1

：.OD=/F,ZBOD=60°,

・•・0F=4,

：.DF=yJOF2-OD2=2V3,

二•A尸=2+4=6,

在RtZXAE尸中，N尸=30°,

1

：.AE=|AF=3,

VZF=30°,OD1,EF,

：.ZDOF=60°=N2+N3,

9：OA=OD,

VZ2=Z3,

.'.Z2=30°,

：.Z2=ZF,

:・AD=DF=2®

'：OD//AE,

:ADGOSXAGE,

,DGOD2

AG~AE~3

：.DG=|AD,AG=|AD,

VZANM=ZMDG,NMGD=NAGN,

:.AMGDsAAGN,

.MG_GD

99AG~GN'

：.GM*GN=GD*GA=|AD*|AD=^AD2=x(2b)2=^|.

9.【解答】(1)证明：①・・•四边形ABC。是菱形，

J.AB//CD,

'：DH±AB,

：.ZCDH=ZDHA=90°,

:.CD±OD9

・・•。为OO的半径的外端点，

・・・8是。。的切线；

②连接HF,

：.ZDEF=/DHF,

:。以为。。直径，

：.ZDFH=90°,

ZDHF=90°-ZBDH,

\9ZDHB=90°,

：.ZDBA=90°-NBDH,

：.ZDHF=ZDBA=/DEF,

■:/EDF=NBDA,

：.ADEF^ADBA；

(2)解：连接AC交于G.

•・•菱形ABC。，BD=6,

：.AC.LBD,AG=GC,DG=GB=3,

在RtZXAGB中，AG=VXB2-GB2=4,

.*.AC=2AG=8,

:S菱形A3CZ)=^AC9BD=AB9DH,

4x8x6?4

..."/=『=号'

由△DE/S2XOBA知：ZDFE=ZDAH,

DH等24

：.smZDFE=sinZDAH=京=亳=芸.

10.【解答】(1)证明：如图，连接。。，CD,

是O。的直径，

ZADC=90°,

.•.ZBDC=180°-ZADC=90°,

:点〃为边8C的中点，

；.MC=MD,

：.ZMDC^ZMCD,

,：OC^OD,

；.NODC=NOCD,

VZACB=90°,即NMCr»+/OC£)=90°,

：.NMDC+ODC=ZMCD+ZOCD^90°,

即NOZ)M=90°,

J.DM1OD,

是o。的半径，

...OM是O。的切线；

(2)①当点尸在线段BC上时，如图，过点尸作尸于点T,

在RtA4BC中，AB=y/AC2+BC2=V82++62=10,

设PT=x,

1

VtanZBAP=

.PT1

••—―,B

AT3

：.AT=3PT=3x,

：.BT=AB-AT=10-3x,M

P

PTAT

,*,tanz^A5C=AC

O

.x8

**10-3%-6’

8

得

解X-

3-

8

3-

8

PTAC78

VsinZABC=诋=赤，BP-----=——,

BPABBPio

10

：.BP=丁;

当点尸在C5的延长线上时，如图，过点3作尸于点K,

1

VtanZBAP=可，

.BK1

••—―,

AK3

设BK=a,则AK=3a,

在Rt^ABK中，AK2+BK2=AB2,

即(3a)2+a2=102,

解得:ai=V10，a2——V10(舍去),B

.•.AK=3ViU,BK=V10,

:S»BP=^AP-BK=^BP'AC,M

#APAC8C

"BP~BK~710;

设8尸=机，则/12=公普机，

在RtZXAC尸中，AC2+CP2=AP2,

^4V100

HP82+(m+6)92=(---m)2,

解得：mi=机2=—学(舍去),

50

：.BP=目;

综上所述，5P的长为三或堂

②设CP=n,贝1JAP='AC?+CP2=V64+n2,

如图，・・•AC是。。的直径，

CQ1AP,

・・•CQ・AP=AC・C尸，

.「cAC-CP8n

••CQ=~Ap-=I

J64+*

.CQBn

*'AP64+n2'

Vn>0,

・•・(n-8)220,

64+川216〃，

.CQ8n8n1

・'AP64+n2-16n2’

rni

，77的最大值为不

AP2

11.【解答】(1)证明：连接OD,

TA。平分NCA8,

：.ZCAD=ZBAD,

•・・04=00,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCAD=ZODA,

J.OD//AC,

9：DELAC,

：.OD±DE,

・・・0。是。。的半径，

・,・直线OE是。。的切线；

(2)解：△A5M是等边三角形，理由如下:

VZ)E±AC,ZF=30°,

：.ZEAF=60°,

：.ZEAD=ZDAF=30°,

：.ZCBD=ZCAD=30°,

:AB为。。的直径，

ZACB=90°,

ZABC=90°-ZEAF=30°,

ZABM=ZABC+ZCBD=60°,

・•・△ABM是等边三角形；

(3)解：是等边三角形，

：.ZM=60°,

：.ZMDE=30°,

VME=1,

:・MD=2ME=2,

：.AB=MB=4,

:AB为。。的直径，ZABC=30°,

'.AC=AB=2,

AC

'：ZCAD=30°,cosZCAD=

即cos30°~~Tp—学,

4

Ap-

3V3

12.【解答】(1)证明：连接0。父AC于点H,如图,

VAZ)=CZ),

：.AD=CD,

・•・半径0D_LAC,

ZAHO=90°,

ZADM=ZDAC,

：.AC//MNf

：.ZMDO=ZAHO=90°,

・•・半径ODLMN,

・・・MN是。。的切线；

(2)证明：连接50,如图，

・・・A5为。。的直径，

ZADB=ZACB=9Q°,

•・•ZADM=ZDAC,

：.AC//MN,

：.ZACD=ZCDN,ZDNC=ZACB=90°=ZADB,

9：AD=AD,

ZABD=ZACDf

：.ZABD=ZCDN,

:.ACDNS^ABD,

.CNCD

••=,

ADAB

'：AD=CD,

.CNAD

••=t

ADAB

:.AD2=AB^CN；

(3)解：连接0。交AC于点〃，连接班)，如图，

由(1)(2)得：NABD=NCDN=NACD,ZADB=ZBNM=ZAHO=ZMDO=90°,

sinZABD=sinZCDN=sinZACD=三,

VAB=6,

：.AD=AB•sinZABD=6x号=273,

'：AD=CD,

.\C£)=2V3,

CN=CD-sinZCDN=2V3X亨=2,

:.DN='CD2一C*=J（2遮）2—22=2a,

/CND=NCHD=/NDH=90°,

四边形CNDH是矩形，

：.CH=DN=2近,

'：OD±AC,

.\AC=2CH=4V2,

在RtZ\ABC中，BC=7AB2—AC?=62-（4A/2）2=2,

：AC//MN,

AMCNAM2

---=---,即---二一，

ABBC62

.\AM=6.

13.【解答】（1）证明：连接0。，如图所示,

〈AB为。。的直径，

ZADB=90°,

：.ZBDC=90°,

,・,点E为5C的中点，

1

：.DE=BE=寺BC,

；・NEDB=NEBD,

'：0B=0D.

：.ZODB=ZOBD.

VZABC=90°,

：.ZEBD+ZOBD=90°,

：.ZODB+ZEDB=90°,

•・・oo是。。的半径，

・・・Z）E与。。相切；

（2）解：由（1）知，ZBDC=90°,

・・・万是5。的中点，

1

：.DE=^BC=2.

.\BC=4,

\AB=8.AD=2BD,

又：在中，AB1=AD2+BD2,即（28。）2+BZ）2=82,

.1.BD=|V5（负值己舍去）,

：.AD=岑^：

（3）解：设RtzXAB。中A8边上的高为/?,

由(2)可知AB=8,

又•.•AB是直径，

ZAPB=90°,

：.PA1+PB2=82=64,

：.(B4+PB)2=64+2PA-PB,

.当PA+PB取最大值时，2弘・PB也取最大值，

又S^ABP=1B4•PB=3小h,

当PA+PB取最大值时，S^ABP取最大值，

此时AB边高为取最大值为=竽=4,

・•・SAABP=|AB-/z=2X8X4=16.

.•.B4-PB=2SAABP=32,

(B4+PB)2=64+2X32=128,

.\B4+PB=8V2.

综上所述：B4+P5的最大值为8鱼.

14•【解答】(1)证明：连接OC,