2025年九年级数学中考三轮冲刺训练：圆中相似三角形（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形专题训练

1.如图，是△ABC的外接圆，ZABC=90°,8。是O。的直径，作直线BE,使NABE

=NC,并与ZM的延长线交于点£.

(1)求证：BE是的切线；

(2)当AB=16,BC=12时，求。E的长.

2.如图，AB是。。的直径，△ACD内接于O。，CD=DB,AB,CD的延长线相交于点E,

且DE=AD.

(1)求证：△CAOs^CEA；

(2)求NAOC的度数.

3.如图，在△ABC中，点。在AC上，连接2。，以BZ)为直径作O。，。。经过点A,与

8C交于点E,且血=DE.

(1)若NC=40°,求/AEC的度数;

(2)若AB=6,AO=3,求CE1的长.

4.如图，点C在以AB为直径的。。上，过点C作。。的切线/,过点A作4。，/,垂足为

D,连接AC、BC.

(1)求证：AABC^AACD；

(2)若AC=5,8=4,求O。的半径.

5.如图，ZVIBC内接于OO,点。为曲的中点，连接A。、BD,8E平分NA8C交A。于

点、E,过点。作。e〃BC交AC的延长线于点尸.

(1)求证：。尸是o。的切线.

(2)求证：BD=ED.

(3)若DE=5,CF=4,求AB的长.

6.如图，在OO中，是OO的直径，弦CO交AB于点E,AD^BD.

(1)求证：AACDs^ECB；

(2)若AC=3,BC=\,求CE的长.

7.如图，在RtZkABC中，NC=90°,。为斜边AB上一点，以BO为直径作O。，交AC

于E,尸两点，连接BE,BF,DF.

(1)求证：BC・DF=BF・CE；

(2)若/A=/CBF,tanZBFC=V5,AF=4V5,求CF的长和。。的直径.

8.如图，BC是O。的直径，A是O。上异于2、C的点.。。外的点E在射线CB上，直

线EA与CD垂直，垂足为D,且DA-AC=DC-AB.设△ABE的面积为Si,AACD的面

积为52.

(1)判断直线EA与O。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若BC=BE,S2=mSi,求常数机的值.

9.如图，ZVIBC是。。的内接三角形，48是。。的直径，AC=V5,8C=2遥，点/在A8

上，连接CP并延长，交O。于点。，连接2。，作垂足为E.

(1)求证：ADBEsLABC；

(2)若AP=2,求ED的长.

10.如图，点、D,E在以AC为直径的OO上，/AOC的平分线交。。于点3,连接A4,

EC,EA,过点E作EXLAC,垂足为X,交AD于点F.

(1)求证：AEr=AF*AD-,

(2)若sin/A8O=竽，48=5,求AO的长.

11.如图，是。。的直径，AM是O。的切线，AC.CD是O。的弦，且CD_LA3,垂足

为E,连接并延长，交AM于点P.

(1)求证：NCAB=/APB；

(2)若。。的半径r=5,AC=8,求线段尸£＞的长..

B

12.如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,回0。£尸的顶点。，。在斜边A3上，顶点E,F

分别在边8C,AC上，以点。为圆心，长为半径的O。恰好经过点。和点£.

(1)求证：BC与。。相切；

(2)若sin/5AC=1,CE=6,求。方的长.

13.如图，四边形ABC。内接于圆0,A5是直径，点。是助的中点，延长A0交的延

长线于点E.

(1)求证：CE=CD；

(2)若A5=3,BC=V3,求AO的长.

AOB

14.在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，点E是边BC的中

点，连结。E.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若4D=4,BD=9,求O。的半径.

15.如图，在△ABC中，ZACB=90°,。是AB边上一点，以为直径的O。与AC相

切于点E,连接。E并延长交3c的延长线于点?

(1)求证：BF=BD；

(2)若CF=1,tan/EDB=2,求O。的直径.

BCF

参考答案

1.【解答】(1)证明：・・・瓦)是。。的直径，

：.ZBAD=90°,

：.ZD+ZABD=90°,

VA&=AB,

；・ND=NC,

：.ZC+ZABD=90°,

NABE=NC,

ZABE+ZABD^90°,

即/匹1）=90°,

是O。的直径，

.二BE是O。的切线；

（2）解：在△ABC中，NABC=90°,AB=16,BC=12,

由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=V162+122=20,

VZABC=90°,

为O。的直径，

是O。的直径，

，B£）=AC=20,ZBAD=90°,

由勾股定理得，AD=y/BD2-AB2=V202-162=12,

由（1）知NEBD=90°,

：.ZEBD^ZBAD^90°,

又为公共角，

:.ABDAsAEBD,

.BDAD

••=,

DEBD

.2012

••—f

DE20

2.【解答】（1）证明：,：CD=BD,

：.ZCAD=ZDAB.

'：DE=AD,

：./DAB=/E,

：.ZCAD=ZE,

又,.・NC=NC

：.ACAD^ACEA,

（2）连接5。，如图：

,：AB为直径，

AZADB=90°,

设NC4O=NZM5=a,

NCAE=2a,

由（1）知：ACAD^ACEA,

・•・/ADC=NCAE=2CL,

•・•四边形ABDC是圆的内接四边形,

：.ZCAB+ZCDB=1SO°,

即2a+2a+90°=180°,

解得：a=22.5°

ZADC=ZCAE=2X22.5°=45°

3•【解答】解：（1）・・・瓦）为直径，

ZBAZ）=90°,

VZC=40°,

ZABC=90°-40°=50°,

"：AD=DE,

1

ZABD=ZDBC=^ZABC=25°,

ZADB=90°-25°=65°,

ZAEB=ZADB=65°,

ZAEC=115°.

(2)连接。区

9：AD=DE

：.DE=AD=3,

YBD为直径，

：.AB=BE,

:・BE=AB=6,

YBD为直径，

：.ZBED=90°,

AZCEZ)=180°-90°=90°,

；・NCED=NCAB,

vzc=zc,

•••△CEDsACAB,

.CECDDE

，9AC~BC~AB1

x=4

J=5'

・・・CE=4.

4.【解答】（1）证明：连接OG

・・・/是。0的切线，

・・・OCLI,

VAZ）±Z,

OC//AD,

：.ZCAD=ZACO=ZCAB.

VZD=ZACB=90°,

AABC^AACD；

(2)解：VAC=5,C£)=4,ZAZ)C=90°,

：.AD=y/AC2-CD2=3,

△AB—△A。。，

.ABAC

••—,

ACAD

.AB5

••=—，

53

、,25

・,・半径r为:DC

6

5.【解答】(1)证明：如图，连接0。,

・・,点。为我的中点，。为圆心，

：.0D±BC,

9：DF//BC,

：.0D±DF,

•・,0。为。。的半径，

・・・。/是。。的切线；

(2)证明：丁点。为玩的中点，

：.BD=CD,

:・NDBC=NBAD,

,.・35平分NA3C,

・・・ZABE=NCBE,

9：ZDEB是AABE的外角，

・•・ZDEB=/BAE+NABE,

*.*/DBE=/CBE+DBC,

：.NDEB=/DBE,

：.BD=ED；

(3)解：如图，连接CD,

・・•四边形ABDC是圆内接四边形，

ZABD+ZACZ)=180°,

VZr>CF+ZACD=180°,

・•・/ABD=NDCF,

■:DF//BC,

：.NACB=NF,

・・・ZACB=ZADB,

：.NADB=/F,

：.LABDsADCF,

.BDAB

•.=,

CFCD

・・•点。为我的中点，

：.BD=CD,

:・BD=CD,

由(2)知

：.CD=BD=DE=5,

VCF=4,

.5AB

*,4-5

••.T

6.【解答】(1)证明：：冠=BD,

：.NACD=NBCE,

ZADC^ZEBC,

：.AACD^AECB；

(2)解：过8点作于H点，如图,

是OO的直径，

ZACB=ZADB^90°，

在RtAACB中，AB=y/BC2+AC2=Vl2+32=V10,

VZACD^ZBCD=45°,

ZABD^ZBAD^45°,

.'.△ABD为等腰直角三角形，

：.BD=与AB=孝XV10=V5,

在RtABCH中，

VZBCH=45°,

：.CH=BH=专BC=余

在RtABDH中，DH=<BD2-BH2=J(V5)2—(苧尸=苧,

/.CD=CH+DH=孝+竽=2鱼，

AACDsAECB,

：.CA：CE=CD：CB,即3：CE=2立:1,

解得CE=挈，

即CE的长为二二

4

7.【解答】(1)证明：:班)是。。的直径,

：.ZBFD=90°,

VZC=90°,

:・/BFD=/C,

'：BF=BF,

：.ZBEC=NBDF,

・••△BCEsdBDF,

BCCE

9BF-DFf

・BC・DF=BF・CE；

(2)解：连接。E,过E作即_L3O于H,如图:

・NC=90°,tanZBFC=V5,

BC

・—=，r5,

CF

.BC=V5CF,

*NA=NCBF,

.90°-ZA=90°-ZCBF,BPZABC=ZBFC,

.tanXABC=tanZBFC=遮,

ACj-

.—=v5,

BC

.AC=V5BC=V5x(V5CF)=5CF,

'AC-CF=AF=4V5,

：.5CF-CF=4V5,

/.CF=底

：.BC=V5CF=5,AC=5CF=5V5,

：.AB=<BC2+AC2=J52+（5圾2=5布

由（1）知△BCEs^BDF,

：.ZCBE=ZDBF,

：.ZCBE-/FBE=ZDBF-ZFBE,即ZCBF=ZEBA,

'：/A=/CBF,

：.AAEBA,

：.AE^BE,

：.BH=AH=^AB=竽，

•：NBEH=90°-ZEBA=90°-NCBF=/BFC,

tanZBEH—tanZBFC=V5,

sVe

BH

即藻=

EH

：.EH=

•・,5O是。。的直径，

；・/BED=90°,

・•・ZEDH=90°-NDEH=NBEH,

：.tmZEDH^tmZBEH=V5,

V30

EH嘀=

DH

：.DH=^-,

：.BD=DH+BH=萼+萼=3V6,

，O。的直径为3展.

答：CF的长为近，。。的直径为3点.

8.【解答】解：（DAE与OO相切，理由如下:

如图，连接。4,

\'DA'AC^DC-AB,

.DAAB

••—,

DCCA

・・・5C是OO的直径，

：.ZBAC=9Q°=ZADC,

：.AABC^ADAC,

：.ZACB=ZACD,

,.,O4=。。，

・・・ZOAC=ZACB=ZACD,

：.OA//CDf

：.ZOAE=ZCDE=90°,

：.OA±DE,

又・・・O4为半径，

・・・AE与。。相切；

(2)如图，\90A//CD,

：.AAOE^ADCE,

.AOOE

,•CD-EC

设BO=OC=OA=a,则3C=2〃，

,:BC=BE=2a,

••S^ABE=S/\ABCfE0=3a,EC=4a,

CL3ci

,•CD4a

•4

・・CD=-^a,

AABC^ADAC,

BCAC

9AC~CD'

82

-4

・Ad=BC・CD=3

S△4CQAC0

(—)2=

s^ABCBC

2

.52=粉,

•m=o.

9.【解答】(1)证明：TAB为直径，

ZACB=90°,

VBE±CD,

：.ZBED=9Q°,

VFC所对的圆周角为N5OE和NBAC,

:・NBDE=NBAC,

.•.△DBEs^ABC；

(2)解：如图，过点。作CG_LA5,垂足为G,

VZACB=90°,AC=V5,BC=2瓜

：.AB=y/AC2+BC2=5,

,?CGLAB,

：.AG=ACcosA=V5x^=l,

VAF=2,

：.FG=AG=1,

・・・CG是A尸的垂直平分线，

E

D

：.AC=FC,

：.NCAF=NCFA=ZBFD=NBDF,

；・BD=BF=AB-A尸=5-2=3,

•:△DBEs—BC,

.BDDE

••—,

ABAC

t3DE

A5=国

・・・EzrDn=—3后g—.

10.【解答】(1)证明：:EHLAC于点H,AC是OO的直径,

ZAHE=ZAEC=90°,

ZHAE=ZEAC,

：.AHAE^AEAC,

.AHAE

AE~AC

：.AE1=AH^AC,

'：ZHAF=ZDAC,ZAHF=ZADC=90°,

JAAHF^AADC,

.AHAF

AD~AC

：.AH*AC=AF*AD,

：.AE1=AF^D.

(2)解：连接5C,

,/ZADC的平分线交OO于点B,

：.ZADB=ZCDB,

：.AB=BC,

：.AB=BC=5,

VZABC=90°,

：.AC=7AB2+BC2=V52+52=5V2,

・.,ZACD=ZABD,

AD2A/5

—=sinXACD=sinXABD=—p—,

AC5

：.AD=等AC=等x5V2=2V10,

：.AD的长是2，IU.

11.【解答】(1)证明：・・,AM是。。的切线

：.ZBAM=90°,

'：ZCEA=90°,

J.AM//CD,

：.ZCDB=ZAPB,

•:NCAB=NCDB,

；・NCAB=NAPB.

(2)解：如图，连接AZ),

9：AB是直径，

：.ZCDB+ZADC=9Q°,

VZCAB+ZC=90°,NCDB=NCAB,

：.ZADC=ZCf

.*.A£)=AC=8,

VAB=10,

BD=6,

'：ZBAD+ZDAP=90°,ZFAD+ZAPD=90°,

NAPB=NDAB,

'：ZBDA=ZBAP

：.AADB^APAB,

.ABBD

'PB~AB,

2

,DO—AB_100_50

•rD—~BD=~6~=T,

50乙32

\DP=

故答案为：—.

12.【解答】(1)证明：连接OE

•・,四边形0。砂是平行四边形，

：.EF//OD,EF=OD,

04=00,

：.EF//0A,EF=0A,

・・・四边形AOEF是平行四边形，

J.OE//AC,

：.ZOEB=ZACB,

VZACB=90°,

：.ZOEB=90°,

：・OE1BC,

・・,os是。。的半径，

・・・5C与OO相切；

(2)解：过点尸作尸于点H,

・・•四边形AOEF是平行四边形，

：.EF//OA,

:.NCFE=NCAB,

3

sinZC77E=sinCAB=5，

在Rt^CE尸中，ZACB=90°,

rp

•：CE=6,sinZCFE=

5

•・•四边形AOE尸是平行四边形，且。4=0E,

A、B

O

EL40EF是菱形，

，AF=AO=EF=10,

在中，NA班'=90°,

FH

VAF=10,sin/CAB=浣，

3

：.FH=AF-sin乙CAB=10x|=6,

'：AH2=AF2-FH2,

：.AH=yjAF2-FH2=8,

OH^AO-AH=10-8=2,

在Rtz\O切中，NFHO=90°,

•/OF1=OH1+FH1,

：.OF=70H2+FH2=722+62=2V10,

OF=2V10.

13.【解答】(1)证明：连接AC,

,：AB为直径，

ZACB=ZACE=90°,

又