数学第一章导学案

嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号6学生姓名学号课前批改课后批改必修5§1.1.1正弦定理（1）一、学习目标1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。二、教学重点、难点：正弦定理的探索和证明及其基本应用三、新课导学：正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即=_______()[公式变形]（1）等价于，，（2），，；（3），，；（4）；（5）．从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.四．运用新知题型1已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1已知在题型2已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例2在例3五．巩固训练A级题1.在中，,则此三角形的最大边长为_____3.已知，则.B级题1.六、课堂小结：本节掌握及背诵公式（1）正弦定理（2），，；（3），，；（4）；（5）．七、教师反思嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号7学生姓名学号课前批改课后批改§1.1正弦定理（2）一、学习目标熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用能根据条件判断三角形的形状能根据条件判断某些三角形解的个数二、教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；教学难点：三角形各种类型的判定方法三、课前复习1.正弦定理=________2.正弦定理的几个变形(1)a=________,b=_________,c=_________(2)sinA=_______,sinB=________,sinC=_______(3)a:b:c=____________________.四、新课导学一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:五、运用新知例1判断下列三角形解的情况：（1）已知（2）已知例2.在中，若已知,判断三角形的形状。六、巩固训练A级题：1、不解三角形判断下列三角形解得个数（1）（2）（3）（4）2.在中，若那么的外接圆的周长为________3.在中，若，则B级题：1.中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____2：已知ABC中，，则=3.在中，三个内角之比，那么等于____选做题1.中，为锐角，，则形状为_____七、课堂小结本节掌握及背诵公式一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，判断三角形解的个数⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:八、教师反思：嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号8学生姓名学号课前批改课后批改§1.2余弦定理一、学习目标1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。2.掌握并熟记余弦定理3.能运用余弦定理及其推论解三角形二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。三、新课导学余弦定理：思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？余弦定理的推论（求角公式）：[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。③已知三边a、b、c判断三角形形状的方法（1）如果=，则∠C为直角；（2）如果>，则∠C为锐角；（3）如果<，则∠C为钝角.试一试：已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形四．例题讲解例1、已知，求；例2、已知，求五、巩固训练A级题1.在中，（1）已知,，求；2.已知，求3．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。B级题4.在ABC中，a2+b2=c2,则ABC是三角形。5.在ABC中，a2+b2>c2,a2+c2>b2c2+b2>a2则ABC是6.在ABC中，a2+b2<c2,则ABC是三角形。六、课堂小结本节掌握公式1．余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中七、教师反思:嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号9学生姓名学号课前批改课后批改解三角形的进一步讨论一、教学目标灵活运用正、余弦定理解决两类基本的解三角形问题。二、教学重点：运用正、余弦定理解三角形，判断三角形形状。教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。三、.旧知回顾边a、b、c所对的角分别为A、B、C，在中有如下常用结论：1.(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB；(即大边对大角)．(2)a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b；(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(3)内角和定理：A＋B＋C＝π；A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2．正弦定理及其变形(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝______.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)sinA＝______，sinB＝______，sinC＝____________________________________.(4)sinA∶sinB∶sinC＝________.3．余弦定理及其推论(1)a2＝________________.(2)cosA＝________________.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________；c2>a2＋b2⇔C为________；c2<a2＋b2⇔C为________．三、典例应用例1．（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型，例2.在中，若，试判断的形状.四、变式训练1.在△ABC中，若则()A．B．C．D．2.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.在中，，则三角形为（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形4．在中，，则______5．在中，若，则的值为（）A．B．C．D．6．在中，若，则这个三角形中角的值是（）A．或B．或C．或D．或7．（1）在中，已知，，，求及、的值；（2）在中，已知，，，解此三角形．8.(选做题)（07山东文17）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求．五、小结反思本节掌握公式1、正弦定理及正弦定理的变形公式：．2、余弦定理及余弦定理的推论3、内角和定理：A＋B＋C＝π；A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).六、教师反思嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号10学生姓名学号课前批改课后批改正弦定理、余弦定理小结与测试一、学习目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状。二、教学重点：理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。教学难点：在现实生活中灵活运用正、余弦定理进行边角转化解决问题。三、复习回顾三角形中的定理1.正弦定理：，其中为.正弦定理的作用：⑴⑵正弦定理的变形：①，，；②，，；③.2.余弦定理：，余弦定理的作用：⑴⑵⑶.余弦定理的变形：①等；②等.4.在已知两边a,b及角A解三角形时，需要讨论.(1)若Ａ≥９０°，则有①a>b时有解；②a≤b时解.（2）若Ａ＜９０°时，则有①若a＜bsinA，则解；②若a＝bsinA，则解；③若bsinA＜a＜b，则有解；④若a≥b，则有解.四、当堂检测选择题：1．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于()A．30° B．30°或150C．60° D．60°或120°2．在△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，则a等于()A．2 B．6C．2或6 D．23.在ABC中，，，A=30°，则B的解的个数是（）.A．0个B．1个C．2个D．不确定的4．在△ABC中，若，则等于（）A．1B．C．D．5.在△ABC中，若，则∠C=（）.A．60° B．90° C．150°D．120°6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．二、填空题：7．在△ABC中，若b＝2csinB，则∠C＝________．8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．9．在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若，则A=_______.解答题：10．在△ABC中，已知，c=1，，选做题11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。五、教师反思嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号11学生姓名学号课前批改课后批改解三角形检测题一、选择题:1．在△ABC中，下列式子不正确的是A．B．C．D．2．在△ABC中，，则的值为A．B．C．D．23．在△ABC中，若，则△ABC是A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．，则三角形的形状为A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形5．在△ABC中，，则B等于A．B．或C．D．或6．在△ABC中，已知，则此三角形的最大内角是A．1200B．1500C．600D．9007．在△ABC中，“A=B”是“”的A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：9．在△ABC中，若，则AC=；10．在△ABC中，，，则∠BAC=；解答题：11．在△ABC中，设求的值。12．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号12学生姓名学号课前批改课后批改§1.3正弦定理和余弦定理的应用―――测量距离一、学习目标1．掌握用正弦定理，余弦定理解任意三角形的方法。2．会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、课前预习1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫____,在水平线下方的角叫_______.2．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的角如图（1）方位角的其他表示：（1）正南方向（2）东南方向（3）北偏东（如图（2）3．坡角：坡面与水平面的二面角的度数。四、课堂探究例1（教材P11）设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m,,求A、B两点间的距离（精确到0.1m）例2（教材P11）A、B两点在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。五、巩固训练A级题1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，计算A、B两点的距离2、要测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30度和60度，则塔高为______________.4．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60度，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15度，这时船与灯塔的距离为________km。五、小结反思嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号13学生姓名学号课前批改课后批改§1.3正弦定理和余弦定理的应用—测量高度一、学习目标1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题3.掌握利用数学建模解决实际问题的一般步骤。教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件二、学法指导能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。三、课堂探究例3.AB是疷部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。例4.在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角，已知铁塔BC部分的高为27.3米，求出山高CD（精确到0.1米）例5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山在西偏北的方向上，仰角为，求此山的高度CD，问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？四、巩固训练A级题：1.在地面上点，测得一塔塔顶和塔基的仰角分别是和，已知塔基高出地面，则塔身的高为_________B级题：2.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m3、已知A船在灯塔C北偏东80°处，距离灯塔C2km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3km，求B到C的距离．嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号14学生姓名学号课前批改课后批改§1.3正弦定理和余弦定理的应用—测量角度一、学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题二、学法指导能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。三、课堂探究例6.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01nmile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB.例7.某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？A级题1.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为（）.A．B．=C．+=D．+=2．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．B级题1.甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号15学生姓名学号课前批改课后批改§1.3正弦定理和余弦定理的应用学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题新课导学探究：在ABC中，边BC上的高分别记为h，那么它如何用已知边和角表示？h=bsinC=csinB根据以前学过的三角形面积公式S=ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，或S=，同理S=．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．典型例题例1.在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）：（1）已知a=15cm，c=25cm，B=150；（2）已知B=60，C=45，b=4cm；（3）已知三边的长分别为a=25cm，b=15cm，c=20cm．例2.在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）．A级题1.在ABC中，已知，，，则ABC的面积是．B级题1.在ABC中，求证：3、三角形面积公式：．嫩江一中高一数学导学案设计（主备人）王杰审核人马金香授课时间编号16学生姓名学号课前批改课后批改三角形中的定理1.正弦定理：，其中为.正弦定理的作用：⑴⑵正弦定理的变形：①，，；②，，；③.2.余弦定理：，余弦定理的作用：⑴⑵⑶.⑷.余弦定理的变形：①