2024-2025学年八年级数学上册专题11 探索勾股定理【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题1.1探索勾股定理【十大题型】

【北师大版】

＞题型梳理

【题型1由勾股定理求线段长度】.......................................................................1

【题型2由勾股定理求面积】...........................................................................4

【题型3由勾股定理求两线段的平方和（差）】.........................................................7

【题型4勾股定理的证明方法】........................................................................9

【题型5由勾股定理证明线段平方关系】...............................................................16

【题型6以弦图为背景的计算】.......................................................................22

【题型7勾股定理与网格问题的综合运用】............................................................26

【题型8勾股树】.....................................................................................29

【题型9勾股定理与折叠问题的综合运用】............................................................33

【题型10勾股定理与分类讨论思想的综合运用】........................................................36

院举一反三1

知识点1：勾股定理

文字语言符号语言图示变式应用

c=\/a2+h';

如果直角三角形的两条直角

直角三角形两直角B«2=C2-

a={c2-b~;

边的平方和等于斜边长分别为。力，斜边长为C,C弦勾氏及=

A.Cb=\!c2-a2.

边的平方那么左上£二色b弦c2-a2.

【题型1由勾股定理求线段长度】

【例I】（23-24.山东淄博.八年级期末）如图是，这是由若干个边长为1的小正方形拼成的图形，沿过点P的

一条直线剪一刀，会将这个图形分成面枳相等的两部分，则剪痕的长度是（)

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，观察图形，找到过点P且将这个图形分成面积相等的两部分的•条直线，进

而勾股定理，即可求解•.

【详解】解：如图所示，

在直线尸。的两侧的面积相等，则直线PC将这个图形分成面积相等的两部分/C即为所求

,:AB=8C=3

:.AC=7AB2+8c2=3V2,

故选：D.

【变式1-1](23・24八年级•广东东莞•期中)如图,△斐BC中,Z.ABC=90°,AC=20,BC=12.

(1)直接写出45的长度

⑵设点。在上，若""="£4.求AP的长;

【答案】⑴16

⑵日

【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的判定，解题的关健是熟练掌握勾股定理.

(1)利用勾股定埋A8=7A1-802可直接得出结果;

(2)根据条件可证明力。=PC,设/尸=PC=%,PB=16—x,利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：*：/-ABC=90%AC=20,BC=12,

・•・在直角三角形48。中，AB=y/AC2-BC2=16；

(2)解:*：LPAC=LPCA,

：,AP=PC,

设4P=PC=%,则PB=16一%,

在直角三角形P8C中，PC2=BC2+PB2

:.(16—x)2+122=x2,

解得：X=y,

・・/P=F

【变式1-2]（23-24八年级•湖北武汉•期中）如图1,位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距

离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至8（）米.将其抽象成数学图

形，即：如图2,OA=OB,BD1OA,=100米，40=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索。4的

长度为（）

m\

A.80米102.5米D.100.5米

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理.先没。4=。8=无米，因为BO_LO480=100米，40=80米，得出。。二

0-80）米，在Rt△BOO中，利用勾股定理，进行列式。？2=0。2+口。2,进行计算，即可作答.

【详解】解•：依题意，设04=08=%米,

*：BD10A,8。=100米，AD=80^,

：.0D=(%—80)米,

・••在RSB0D中，。5=。。2+8。2,

则/=0-80)2+10()2,

解得/=x2_160x+6400+10000,

/.X=102.5,

故选:C.

【变式1-3]（23-24八年级•湖北武汉•期中）如图，I。是△ABC的中线,AB=15,AD=7,AC=13,则CD的

长度为

A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用：根据题意，延长力。到E,使得=

作8F14E,可证8E=AC,设DF=x,根据勾股定理可得DF,BF的长，在RtABDF中，根据勾股定理即

可求解.

【详解】解：如图所示，延长力。到点E,使得4D=0E,过点8作8尸_L4E于点凡

•••力。是BC的中线，

：,BD=CD,R^ADC=Z.EDB,

：.LACD=△EBO(SAS),

：,BE=AC=13,AD=ED=7,

设。F=x,则EF=7—x,AF=7+x,

在RtA/lBF中，BF2=AB2-AF2=152-(7+x)2,

在Rt△8EF中，BF2=BE2-EFZ=132-(7-x)2,

152-(7+x)2=132-(7-x)2,

解得，x=2,即=2,

：.BF=J152-(7+2.=12,

在Rt△80尸中，BD=yjBF2+FD2=V122+22=2后,

：.CD=BD=2V37,

故答案为：2V37.

【题型2由勾股定理求面积】

【例2】（23-24八年级.辽宁葫芦岛.阶段练习）如图，在RtaABC中，乙BCA=90。，△P48中4B边上的高等

于48的长度，AQBC中8c边上的高等于BC的长度，△从4c中AC边上的高等于4c的长度，且AP/B,LQBC

的面积分别是10和8,则△4CH的面积是（）

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理可求力。2+8。2=,4勿，再根据三角形的面积公式即可求解，

解魏的关键是能够运用勾股定理证明3个三角形有面积之间的关系.

【详解】解：在中，乙BAC=90。,

：,AC2+BC2=AB2,

：z22

,-2AC+-2BC=-2AB,

•・NPA8中AB边上的高等于的长度，△QBC中8c边上的高等于BC的长度，△从4c中力C边上的高等于4c

的长度，且△P48,△QBC的面积分别是10和8,

的面积=10-8=2,

故选：D.

【变式2-1]（23-24八年级•天津•专题练习）在Rta/18C中，41=90。，BC=13,AB=5,则△48C的面

积为.

【答案】30

【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积.先根据勾股定理求出AC的长，然后根据直角三角形的面积=两

直角边乘积的一半，代入数据计算即可.

【详解】解：=90°,BC=13,AB=5,

-.AC=>JBC2-AB2=4132—52=12,

・•.△ABC的面积为：竺=等=30,

故答案为:30.

【变式2-2]（23-24八年级.安徽马鞍山•期中）在RtZkABC中,已知“=90。，若a+b=12cm,c=10cm,

则RtA/lBC面积为（）

A.11cmB.16cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键.根据勾股定理可得。2+

川二。2,根据完全平方公式变形即可求解.

【详解】解：・・・RtA4BC中,Z.C=90°,

•*.a2+b2=c2,

乂a+b=12cm,c=10cm,

Ac2=(a+b)2-2ab

即2ab=(a+b)2-c2=122-102=(12+10)(12-10)=44

的面积是四=11cm2,

故选：A.

【变式2-3](23-24八年级•江苏泰州•阶段练习)如图，RtUBC中，分别以这个三角形的三边为边长作正

方彩，面积分别记为工、52、S?.如果品+$2-$3=24,则阴影部分的面积为.

【答案】6

【分析】本题主要考杳了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面枳，根据题意得到a=45，s2=

2

8c2,S3=AC,再由勾股定理得到A82+AC2=8〃，则由已知条件可推出482=10,再根据三角形面积

计算公式求解即可.

222

【详解】解：由题意得，S,=AB,S2=BC,S2=AC,

在孔△48。中，由勾股定理得4炉+力。2=

•・§+S273=24,

：.AB2+BC2-AC2=24,

：,AB2+AB2+AC2-AC2=24,

：-AB2=12,

••・S阴影=4A=

故答案为：6.

【题型3由勾股定理求两线段的平方和(差)】

【例3】(23-24八年级•河南郑州•期中)对角线G相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”

四边形H8CD,对角线AC,BD交于点0,若/W=3,BC=8,则AB?+C/尸=

【答案】73

【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键.

在Rt△C08和Rt△A08中，根据勾股定理得BO24-CO2=CB2,0D2+0A2=AD2,进一步得B。？+CO2+

01)2+042=64+9=73,nmAB2=BO2+AO2,CD2=0C2+0D2,然后根据等量代换即可解答.

【详解】解：・；BD1AC,

：,LC0B=Z.AOB=/.AOD=乙COD=90°,

在RtACOB和Rt^AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CBl.OD2+OA2=AD2,

：.CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=644-9=73,

*：AB2=BO2+AO2,CD2=0C2+OD2,

：.AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(AO2+OC2)=CB2+AD2=73.

故答案为：73.

【变式3-l】(23-24八年级•全国•课后作业)在RtaABC中，NC=90。,48=10,^l2AB2+AC2+BC2=().

A.100B.200C.300D.400

【答案】C

【分析】根据题意a=90。,那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得:何2+BC?=演2,那么原式则为3/1F,

再将A8的值代入即可求出答案.

【详解】解：•・•在RtA/WC中，且乙C=90。，

・・.A3为Rt△4BC的斜边，

・•・根据勾股定理得:AC2+BC2=AB2,

：,2AB2+AC2+BC2=3AB2=3x102=300,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键.

【变式3-2]（23-24八年级.辽宁朝阳•期中）如图，在△回（?中，AB=\O,AC=13,AD±BC,垂足为D,

M为A。上任一点，则MC2-MB：等于.

【答案】69

【分析】在RSABD及RsA。。中可分别表示出8》及C/A在口9BDM及RsCOM中分别将8》及C》

的表示形式代入表示出4A72和M02,然后作差即可得出结果.

【详解】解：在RQ4B。和RSAQC中，

i22

BD=AB-ADt

CD^=AC2-AD2,

在RtABDM和RsCDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,

MC2=CD2-\-MD2=AC2-AD2-\-MD2,

：,MC2-MB2=（AC2-A》+M£>2）-（AB-ALP+MD2）,

=132-1O2,

=69.

故答案为：69.

【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出Md

和MB2.

【变式3-3]（23-24八年级•山西大同.期末）如图，△48。和4孔。都是等腰直角三角形，乙4=。8=三，西=

CD=3,△ABC的顶点A在△ECD的斜边1上，则人^^十人。2的值为

【答案】8

【分析】根据常见的',手拉手全等模型“，结合勾股定理即可求解.

【详解】解：连接如图所示：

因为△A8C和都是等腰直隹三角形，CA=CB=CE=CD=3

•••，ACB=乙ECD,乙E=Z-ADC=LCAB=^ABC=45°

vZ.ACB=乙ECD=90°

Z.ACB-ACD=Z.ECD-ACD

即/ACE=乙BCD

vAC=BC,EC=DC

:&ACE=△BCD

:.AE=BD^AEC=乙BDC=45°

:./.ADB=4ADC+LBDC=90°

2«.

故心+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2X©=y

故答案为：|

【点睛】本题综合考杳全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.掌握相关几何知识是解题的关键.

【题型4勾股定理的证明方法】

【例4】（23-24八年级•广东河源•期末）如图，E为4C上一点，AC1BC,ACLAD,AB=DE,AB,DE交

于点F,且4810E.

D

(1)判断线段BC,DA,CE的数量关系，并说明理由；

(2)连接BO,BE,若设=AC=b,AB=c,利用此图证明勾股定理.

【答案】(1)。力=CE+8C.理由见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明,

(1)根据AAS证明△ABC三4DEA,可得答案；

(2)根据S四边形=SAADE+^£,BDE»可得答案,

【详解】(1)解：DA=CE+BC.

理由如下：

如图，

CEA-ACLBC,AC1AD,

Z.DAE=/-ACB=90°.

又•；AB1DE,

:.Z.DFA=Z.EFA=90°.

二zl+Z2=90。，Z3+Z2=90S

:.Z1=Z3.

在AABC和△0£"力中，

Z.ACB=Z.DAE

zl=z3

AB=DE

:.&ABC三△OEH(AAS).

.'.AC=DA,BC=EA.

又•.TC=CE+EH,

•••DA=CE+EA=CE+BC.

⑵S四边形WE=S2ADE+S^DE=./IF4--AB=1c2,

S四边形4DBE=SMBE+S^ABD=+^2»

•••-a2+-b2=-c2,

222

:.a2+b2=c2.

【变式4-1](23-24八年级•广东东莞・期末)如图，在正方形ABC。中，E,F,G,”分别在它的四条边上,

且AE=BF=CG=DH.

(1)求证：&EBF"HAE；

(2)四边形EFGH的形状是「

(3)若AH=a,AE=b,EH=c,请借助图中几何图形的面积关系来证明M+炉=/.

【答案】(1)见解析

(2)王方形

(3)见解析

【分析】(1)在正方形力BC0中，由力E=8F=CG=0H可得：AH=BE=CF=DG,即可求证；

(2)由(1)可用同样的方法证得△EBFFCG,△FCGGDH,可得到△FCG£△GDH,然后证明/HEF=

90S即可得证；

(3)根据大正方形的面积等于4个直角三角形和一个小正方形的面积和，列式计算即可求解.

【详解】(1)证明：•・•四边形4BCD为正方形，

：,AB=BC=CD=DA,=£3=90°.

又,：AE=BF=CG=DH,

；・AH=BE=CF=DG.

三△BEF(SAS)；

(2)解：四边形EFG”的形状是正方形，

证明：由(1)得，△AHEwaBE凡

同理，AEBF"FCG,△FCGGDH,

:.EF=FG=GH=HE,Z-AEH=乙BFE,

•・"=90°,

：・^EFB+LFEB=900,

：.z.AEH+Z.FEB=90°,

:山[EF=90°,

・•・四边形EFGH为正方形；

故答案为：正方形；

(3)证明：AH=a,AE=b,

・••大正方形的面积为：(a+b)2；

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，

则其面积为：^abx4+c2=2ab4-c2,

:.(fl4-b)2=2ab+c2,

整理得a?+b2=c2.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，三角全等的判断和性质，勾股定理的证明，熟练掌握并会灵

活应用相应知识点是解题的关键.

【变式4-2](23-24八年级•福建宁德・期末)验证勾股定理：

课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德(JamesAbramGarfield)利用图I验证了勾股定理，你能利用它

验证勾股定理吗？

图1图2

⑴小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片(LACB=乙DFE=90°,BC=EF=Q,AC=

DF=b(a<b),AB=DE=c)拼出如图2能验证勾股定理的图形(顶点A,E重合，顶点尸在4c边上,

连接80,CD)

解：用两种方法计算四边形4BC0的面积，

方法1：四边形4BCD的面积=+S^BCD=，

方法2：四边形48CD的面积=S”8c+Sfc。=，

因为这两种方法都表示四边形A8CZ)的面积，可得等式：.

化简可得:d2+b2=c2.

(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1,图2的能验证勾股定理的图形,

画出示意图，写出验证过程.如果你没有思路，请利用图1进行验证.

【答案】(1]。2+：a(b—a),[ab+'b。,c2+a(b-a)=^ab+^b2

(2)见解析

【分析】本题考杳的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键：

(1)根据三角形的面积公式直接解答即可；

(2)先构建图形，如图所示，由全等的性质推出。尸=AC=b,CF=BC=a,Z-BAC=乙EDF,求得“MC=

180°-(ABAC+^ACD)=90°：可得S四边形人也。=+SADBC；结合力B1CO且48=CD=C,可得

S四边形488XCD=\c\即可证明勾股定理.

【详解】(I)解：用两种方法计算四边形A8CD的面积，

方法I：四边形4BC。的面积=S△A8D+S&88=1c2+1a(b-a),

方法2：四边形480的面积=5d8。+508=\ab+\b2,

因为这两种方法都表示四边形48C。的面积，可得等式：1c2+^a(b-a)=|ah+1b2.

化简可得:a2+b2=c2.

（2）如图，将两个全等的直角三角形△48。和△OCF,如图所示那样摆放，且8C=a,AC=b,AB=c.点

F落在力C上，点。与点£重合，斜边48与斜边交于点M,连接力。，BD.

求证：a2+h2=c2,

证明：由题意得三心△DEF,

：.z.BAC=乙EDF,

：.LBAC+LACD=乙EDF+^.ACD=Z.CFD=90。，

・・・NAMC=180°-QBAC十^ACD）=90°,

•••RtAABC三RtADFF,

：.DF=AC=b,CF=BC=Q,

，S四边形A8CD=S4DAC+S&DBC=|x/jXb+|xaXa=：Q2+：匕2.

*：LAMC=90°,

即1CDRAB=CD=c,

•・S四边形A8CD=SAACD+S&BCD

=-CDxAM+-CDXBM

22

=^ABxCD=1c2,

.*.|a2+^b2=^c2,BPa2+b2=c2.

222

【变式4-3]（23-24八年级•辽宁沈阳・期末）阅读材料，解决问题.

材料一：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的的一半.如图1,四边形G〃KT中，若GKLHT,

则有SCHKJ=，T・GK.

4

材料二：教材中介绍了可以通过“拼图”的方法证明勾股定理；通过下面的方法，也可以证明勾股定理.已知

RtAABC-RtADEF,将它们按如图2所示那样摆放，点厂落在力C上，点C与点E重合，斜边4?与斜边

£0交于点M，连接4。，BD.

结合材料给出的信息解决下面问题:

图1图2

⑴求证：AB1ED：

（2）若8C=a,AC=b,请用含有。或力的代数式分别表示图2中△4CD和△BCD的面积;

（3）在（2）的条件下，若AB=c,请结合材料信息，证明勾股定理.

【答案】（1）见解析

（2）S-C。=S&BCD=

⑶见解析

【分析】（I）根据全等三角形性质得=再利用直角三角形性质得“6+d;加=90。，贝1」

ZDCF=^CAB=90°,再根据三角形内角和定理得N4MC=90。，即可得到本题答案；

（2）根据全等三角形性质得BC=EF=a,AC=DF=b,再由三角形面积公式得S^CD=•。尸=（〃，

S^BCD=\BCEF即可；

（3）根据全等三角形性质得＜3=Of=c,再由材料一可知SABG=再由SA^CD+=

列式为评+浮="即可得出结论.

【详解】（1）解：证明：Rt△ABCRtADEF,

：.LCAB=乙FDE,

♦:乙DCF+乙FDE=90°,

:•乙DCF=Z.CAB=90°,

：./.AMC=180°-90°=90°,

：.AB1ED；

（2）解：VRt△ABCRS。"，

:・BC=EF=a,AC=DF=b.

••NDFC=90°,

：.DFLAC,

•Fas=•DF=沙，S^BCD=•EF=#；

(3)解：证明：・・・Rt△力BCwRt^DEF,

*.AB=DE=c.

由（1）知，AB1ED,

2

•\SABCD=^AB-ED=^C

S△BCD+S^ACD=SACBD'

222整理得：222

A2-a+2-b=2-c,a4-b=c.

【题型5由勾股定理证明线段平方关系】

【例5】（23-24八年级.四川南充・期末）如图，E是等腰直角三角形力BC斜边上一点，将△8CE旋转到△ACF的

位置，作CD1EF,与力B交于D.

（1）求4OCE的度数；

（2）线段相等吗？线段4Z）,DE,BE有无确定的数量关系？请说明你判断的理由.

【答案】（1）［DCE=45。

（2）线段DE=有确定的数量关系AD?+BE2=DE2理由见解析

【分析】（I）根据旋转的性质可得△8CE三△ACF,WlJCE=CF,Zl=Z3,根据三线合一的性质，即可得出

；

Z.DCE=Z,DCF=-2Z.ECF=45°

（2）证明三△DCF（SAS）得出。E=OF,由（1）可得BE=力匕乙B=44=45。，则4ZM广=90。，勾

股定理可得4。2+4/72=DF2t等量代换可得力。2+BE2=DE2

【详解】（1）由旋转，△BCEWLACF.

:・CE=CF,zl=z3.

：,LBCA=乙ECF=90°.

*：CD1EF,

：,LDCE=乙DCF=^LECF=45°.

（2）线段OE=。匕4D,0E,8E有确定的数最关系/IM+8^2=DE2

理由：连接DF.

由（1）,CE=CF,LDCE=LDCV.

VCD=CD.

.-.△DCF=ADCF（SAS）

:,DE=DF.

又由（1）,FE=i4F,zF=z4=45°.

:.Z.DAF=90°

：.AD2+AF2=DF2.

即心+B£2=O£2.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌

握旋转的性质是解题的关键.

【变式5-1］（23-24八年级•江西吉安・期末）如图，已知与aCDE都是等腰直角三角形，其中N4cB=

^DCE=90°,D为AB边上一点.

（1）试判断与BE的大小关系，并说明理由;

⑵试说明力。21。2,。£2三者之间的关系.

【答案】（1）AD=BE,理由见解析

(2)AD2+BD2=DE2,理由见解析

【分析】(1)证明△4:。三△BCE即可；

(2)根据(1)可得△ACDwaBCE,得到力D=8E,/.ABC==^CBE=45°,得到△DBE是直角三角

形，根据勾股定理证明即可.

【详解】(1)力。=BE.理由如下：

•・N48。与^CDE都是等腰直角一:角形，

：.AC=BC,CE=CD,乙4cB=Z.DCE=90°,

：,LACD=乙BCE=90°-乙BCD.

:“ACD三△BCE(SAS),

:.AD=BE.

(2)AD2+DD2=DE2,理由如下：

由(1)可得△AC。三△8CE,

：.AD=BE,4ABC=^A=Z.CBE=45。，

:•乙DBE=90°,

：.BE2+BD2=DE2,

：,AD2+BD2=DE2.

【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全

等三角形的性质得出4。=BE.

【变式5-2](23-24・河北廊坊•八年级期末)已知AAOB和AMON都是等腰直角三角形，〃OB=zMON=90°.

图2

(1)如图I,连接4M,BN,求证：AAOM/BON：

(2)如图2,将AMON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在48边上时，求证：BN2+AN2=MN2.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”即可证明4

AOM"BON；

(2)连接4M,根据等腰直角三角形的性质,利用“SAS”证明△力OMWABON,得对应角相等,对应边相等,

从而可证NMAN=90。，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；

【详解】(I)证明：'：/-AOB=ZMO/V=90°,

：.Z.AOB+乙AON=乙MON+/.AON,

即，40M=乙BON,

•・N力。3和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

：.LAOM三△BON(SAS)；

(2)证明：连接4M,

：.LAOB-乙AON=乙MON-乙AON,

口114AoM=乙BON,

•••A40B和AMON都是等腰直角三角形，

/.04=OB,OM=ON,

:,AAOM三△BON(SAS),

：,z.MAO=Z.NBO=45°,AM=BN,

J.LMAN=90°,

222

：.AM+AN=MNf

：・BN2+AN2=MN2；

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点,

构造直角三:角形是解次问题的关键.

【变式5-3](23-24八年级.山东烟台•期末)如图,△BAD和△Q4E中，点。在CE上，ABAD=LCAE=90%

AB=AD,AE=AC,4F1CB交CB的延长线于点立

⑴求证：△48C三△40E；

(2)请直接写出CO、OE和8。之间的数量关系；

(3)求证：CD=2BF+DE.

【答案】(1)见解析

(2)DE2+CD2=BD2

(3)见解析

【分析】(1)根据题意得到=4n4E,再利用SAS证明即可；

(2)证明△"E是等腰直角三角形,得到NE=^ACE=45。，再根据全等的性质得到24cB=ZF=45。，DE=

BC,得到乙BCO=90。，利用勾股定理即可得到关系；

(3)延长CF到G点，使B"=GF,连接AG,证明△AFB三△4FG(SAS),得至必8=AG,乙ABF=^G,进一

步证明△CGA三△GM(AAS),可得CG=CD,推;IKG=DE+28",即可证明结论.

【详解】(1)解：•••，B4D=4以E=90。，

Z.BAC+Z-CAD=ACAD+ADAE=90。，

Z.BAC=乙DAE,

在A04E中，

(AB=AD

\/.BAC=Z-DAE,

(AC=AE

:.&BAC三△。网SAS)；

(2)'：Z-CAE=90°,AE=AC,

.•.AACE是等腰直角三角形，

・••乙E=^ACE=45°,

1/LABC^^ADE,

：,LACB=Z-E=45°,DE=BC,

:.乙BCD="CD+Z.ACB=90°,

：.BC2+CD2=BD'2,

：.DE2+CD2=BZ)2；

(3)延长C尸到G点，使BF=GF,连接4G,

vAF1BC,

:.Z.AFG=乙AFB=90°,

在A/IFB和△4FG中，

(BF=GF

IAAFB=乙AFG,

(AF=AF

.^AFD三△AFG(SAS),

•••AB=AG,Z.ABF=乙G,

■:公BACDAE,

•••AB=AD,Z-CBA=Z.EDA,CB=ED,

:*AG=AD,Z.ABF=Z.CDA,

:.LG=Z.CDA,

在ACGA和△CAM中，

(Z.GCA=Z.DCA

1/.CGA=^CDA,

(AG=AD

CGACDA(AAS),

•••CG=CD,

•••CG=CB+BFFG=CB+2BF=DE+2BF,

CD=2BF+DE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三

角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【题型6以弦图为背景的计算】

【例6】（23-24八年级•浙江金华・期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1）,

后人称其为“赵爽弦图由图1变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形

AHCD,正方形/17P",正方形M/V/Cr的面积分别为%,52,53.若£=12,则＞+为的值为-

【答案】24；

【分析】本题考查勾股定理，根据面积加减关系求解减即可得到答案；

【详解】解：・・・S2=12,

:$-4sA=S3+4sA=12，

ASi+S3=124-12=24,

故答案为:24.

【变式6-1］（23-24八年级・福建福州・期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”

如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是34,

小正方形的面积是4,设直角三角形中较长直角边为b,较短直角边为a,则a+b的值是.

【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据

2

题意得出M+b2=34,（b-a）=4,进而根据完全平方公式变形即可求解.

【详解】解：依题意，a24b2=34,（^-a）2=4

V(a+b)2+(b—a)2=2(a2+〃)

:.(a+b)2=2x34-4=64

G+b=8,

故答案为：8.

【变式6-2]（23-24八年级•山东烟台・期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全

等的直角三角形围成的.若力C=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得

到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键.如图2,由题意知，外延的4部分全等，

且/1D=4C=6,由勾股定理得，BD=y/AD2+BC2=13,根据风车的外围周长是4X（BD+AO）,计算求

解即可.

【详解】解：如图2,由题意知，外延的4部分全等，且

由勾股定理得，BD=y/AD2+BC2=13,

・••这个风车的外围周长是4X（8。+AD）=4X（13+6）=76,

故选：C.

【变式6-3]（23-24八年级.河南关；州•期末）（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽

为了证明勾股定理，创制了•幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图根据“赵爽弦图”写出勾股定

理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的•种证明方法：过正方形ACOE的中心。，作FG_L〃P,将

它分成4份，所分成的四部分和以8c为边的正方形恰好能拼成以A8为边的正方形.若AC=12,BC=5,

求EF的值.

【答案】（1）小+乂=。？，见解析：（2）E尸为3或;

【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明;

（2）分。＞匕和"V〃两种情况求解.

【详解】解：（1）。2+匕2=。2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），

证明如下：

,/如图①，*.，△BCF9ACDG@&DAH,

：,AB=BC=CD=DA=c,

・•・四边形4BCO是菱形，

••・N8AE+N”4O=90。，

•••西边形4BCZ）是正方形，

同理可证，四边形EFG"是正方形，且边长为（b-a）,

,S正方形A8C0=4SA/18E+S正方形EFGK

/.C2=4xIxQb+gx(a—b)2,

.*.G2+b2=c2

(2)由题意得：正方形ACQE被分成4个全等的四边形，

设E尸=a,FD=b,

分两种情况：

①a>b时，

，〃+/?=12,

•・•正方形〃是由正方形ACOE被分成的4个全等的四边形和正方形C8LM拼成,

：.EF=EF,KF=FD,EK=4C=5,

■:EF-KF=EK,

工。-b=5,

.(a+b=12

**la-b=5

解得：吟,

②aVb时，同①得：忆比,

3-a=5

解得:后，

：.EF=^；

综上所述，EF为3或二

【点睛】本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键.

【题型7勾股定理与网格问题的综合运用】

【例7】(23-24八年级•浙江杭州.期末)如图，甲、乙两个大小不同的6x6的正方形网格中，甲每个网格边

长均为如乙每个网格边长均为从若正方形/BCD,EFGH的面积均为S且各顶点均在甲、乙两个网格线的交

点上.以下结论中正确的是()

A.S=20aB.S=18bC.3a=EbD.3d=710a

【答案】D

【分析】本题考查了正方形与网格问题和勾股定理的应用，先根据题意将S求出来，再根据图象分别将正方

形的边长关系求出是解决本题的关键.

【详解】解：甲图中S=AD2=(2a)2+(4a)2=20a2,

乙图中S=EH2=(3b)2+(3d)2=18b2,

•••正方形"的面积均为S,

/.20a2=18b2,

.,.3b=VlOa,

故A,B,C错误，D正确；

故选D.

【变式7-1](23-24八年级•四川眉山・期末)如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点儿B、C

都在格点上，BDJ.AC于点D,则3D的长为()

A.叵B.三C.回D.2

2225

【答案】D

【分析】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理

解和掌握三角形的知识是解题的美键.

首先根据勾股定理求出4C=后不至=5,然后根据面积相等的方法，即可求出答案.

【详解】解：是的高，AC=V32+42=5,

・•・A的面积=加CX3=xAC

.\-x3x3=-FDx5,

22

解得，BD=g

故选：D.

【变式7-2]（23-24八年级•江苏扬州•期末）如图，点A、B、C沟落在边长为1的网格格点上,则NABC等

于_____

【答案】135。/135度

【分析】延长力B交网格于格点D,连接CD,证明△BCD是等腰直角三角形，得至此C8D=45°,即可得到/4BC

的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其

逆定理是解题的关犍.

【详解】解：如图，延长A8交网格于格点。,连接CD,

c..............

---:

A

则CD=Vl2+22=遍，BD=VI2+22=V5,BC=Vl24-32=>/10,

ACZ)=BD,CD2+BD2=10=BC2,

•LD=90。，

・•・ABCD是等腰直角三角形，

工人CBD=45°,

：.LABC=180°-Z-CBD=135°,

故答案为:135°.

【变式7-3]（23-24八年级•上海奉贤・期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称

为邻等四边形.如图，在5x5的方格纸中，每个小正方形的边长为1,A、4、C三点均在格点上，若四边

形是邻等四边形，且点。也在格点上，那么边AO的长为.

【答案】履或1

【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关健.

根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出4。的长即可\

【详解】解:若BC=CD,如图1所示；

图1图2

则=,32+22=A/13；

若＜5=4。，如图2所示,

则A。=1.

故答案为：m或1.

【题型8勾股树】

【例8】（23-24八年级•山东荷泽•阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直

角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵

树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，

如果第一个正方形面积为I,则第2023代勾股树中所有正方形的面积为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

【答案】2024

【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2,再一次求出第二代、第三代勾股树中所

有三角形的面积，总结出一般规徨，即可进行解答.

【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为〃和力，斜边长为c,

根据勾股定理可得：a2+b2=c2,

Vc2=1,

・••第一代勾股树中所有正方形的面积为=a2+b2+c2=c2+c2=2：

同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=2a2+2b2+c?=3c2=3：

第三代勾股树中所有正方形的面积为=4c2=4；

第〃代勾股树中所有正方形的面积为=5+l）c2=n+1；

・•・第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024.

故答案为:2024.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律.

【变式8-1］（23-24八年级•河南漠河•阶段练习）如图是•株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方

形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,。的面积分别为3,2,2,5,则正方形G的面积

【答案】12

【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A,8的面积的和等于正方形£的面

积，可得正方形C,。的面积的和等于正方形尸的面积，正方形E,尸的面积的和等于正方形G的面枳.

【详解】解：；正方形A,B,C,O的面积分别为3,2,2,5,

S正方形E=S正方形4+S正方形8=3+2=5

S正方形尸=S正方形c+S正方形D=2+5=7

•*,S正方形G=S正方形E+S正方形F=3+7=12,

故答案为：12.

【变式8-2］（23-24八年级•江西上饶•阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以

该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似

一一棵树而得名.假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理

作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（

<>>

第一代勾般树第二代勾股树第三代勾股树

A.31B.63C.65D.67

【答案】B

【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数.

【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+2?+23=15（个），

由此推出第五代勾股树中正方形有1+