河南省洛阳市2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省洛阳市2024-2025学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列结论正确的是(

)A.若a与b都是单位向量，则a=b

B.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量

C.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量

D.若a与b2.三个平面可将空间分成n部分，则n的最大值为(

)A.4 B.6 C.8 D.103.若复数(a2−3a+2)+(a2−4a+3)iA.1或3 B.1或2 C.1 D.24.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，则△OAB的周长为(

)A.12 B.6 C.5+13−625.在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，若EC=xAB+yAC，则A.1 B.−1 C.12 D.6.已知O，N，P满足|OA|=|OB|=|OC|，NA+NB+NC=0，PAA.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，A1B1上的点，且BM=2MC，A1A.35 B.45 C.898.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=2a2−2b2，则当A.π6 B.π3 C.π2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−4,3)，b=(7,1)，下列说法正确的是(

)A.|a−b|=5|a+b| B.(a+b)⊥10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是(

)A.“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件

B.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

C.若a=6，b=10，A=30°，则符合条件的△ABC有两个

D.若11.如图，在棱长为2的正方体中ABCD−A1B1C1D1，E为线段CC1的中点，F为线段A.过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面的面积为92

B.存在点F，使得平面EF//平面AD1C

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,−2)，b=(−2,y)，且a//b，则13.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)14.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，且CC四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知复数z1=1−i，z2=(3−a)+(2−a)i(a∈R)，其中|z2|=5，且z2在复平面上对应的点在第一象限．

(1)求复数z2；

16.(本小题13分)

已知向量a，b满足|a|=3，|b|=22，a⋅b=6．

(1)求向量a与b的夹角θ；

(2)17.(本小题13分)

如图，在四棱锥O−ABCD中，CD=3AB，CP=2PO，DQ=2QO，且A，B，P，Q四点共面．

(1)求证：底面ABCD为梯形；

(2)E是线段AQ上的动点，线段CD上是否存在点F，使18.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2ccosB+b=2a．

(1)求角C的大小；

(2)若c=6，设D为AB的中点，且CD=2，求△ABC19.(本小题13分)

已知圆锥SO的底面半径r=3，高ℎ=4．

(1)求此圆锥的表面积；

(2)若圆锥SO在球O1内，求球O1的表面积的最小值；

(3)若一个棱长为x的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求20.(本小题13分)

对任意复数z=x+yi(x,y∈R)，定义φ(z)=2x(cosy+isiny)．

(1)若φ(z)=8，求相应的复数z；

(2)证明：φ(z1)ϕ(z2)=φ(z1−z2)；

(3)若z=a+bi(a,b∈R)参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.C

9.ABC

10.AC

11.ACD

12.4

13.[−914.215.解：(1)由z2=(3−a)+(2−a)i(a∈R)在复平面上对应的点在第一象限，且|z2|=5，

得3−a>02−a>0(3−a)2+(2−a)2=25，解得a=−1，

∴z2=4+3i；

(2)∵z1=1−i，z2=4+3i，

∴z=z1z2=(1−i)(4+3i)=4+3i−4i−3i2=7−i，

可得z−=7+i．

16.解：(1)因为|a|=3，|b|=22，a⋅b=6，

所以cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=662=22，又0≤θ≤π，

所以θ=π4；

(2)证明：因为|a|=3，|b|=22，a⋅b=6，

所以a⋅(2a−3b)=2a2−3a⋅b=2×32−3×6=0，

所以a⊥(2a−3b)；

(3)因为|a|=3，|b|=22，a⋅b=6，

所以|2a−3b|=(2a−3b)2=4a2−12a⋅b+9b2

=4×32−12×6+9×8=6．

17.(1)证明：∵CP=2PO，DQ=2QO，

∴P为线段CO靠近点O的三等分点，Q为线段DO靠近点O的三等分点，

∴QP//DC，

又DC⊂平面ABCD，QP⊄平面ABCD，∴QP//18.解：(1)因为2ccosB+b=2a，

由正弦定理得2sinCcosB+sinB=2sinA，

又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

整理可得sinB(2cosC−1)=0，

又sinB>0，

所以cosC=12，可得C∈(0,π)，

所以C=π3；

(2)因为D为AB的中点，所以2CD=CA+CB，

两边平方可得4CD2=(CA+CB)2=CA2+CB2+2CA⋅CB=b2+a2+2abcosC，

而CD=2，C=π3，

即16=b2+a2+2abcosC=a2+b2+ab①，

在△ABC中，由余弦定理得c2=6=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab②，

由①②可得a2+b2=11，ab=5，

所以(a+b)2=21，即a+b=21，

所以△ABC的周长为a+b+c=21+6．

19.解：(1)因为圆锥SO的底面半径r=3，高ℎ=4，

所以圆锥SO20.解：(1)因为φ(z)=8，

所以由题中新定义得：φ(z)=2x(cosy+isiny)=2xcosy+(2xsiny)i=8，

所以由复数相等的概念可得：2xcosy=82x