2025版高考数学总复习核按钮-第四章 三角函数与解三角形

第四章三角函数与解三角形

4.1任意角、弧度制及三角函数的概念

课程标准有的放矢

1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制

的必要性.

2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.任意角

（1）正角、负角、零角:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做

正角，按姻囹1方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就

称它形成了一个零角了意角包括正角、负角和零角.

（2）角的相等:设角a由射线。4绕端点。旋转而成，角夕由射线。勿'绕端点

。'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称a=p.

（3）象限角:在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x

轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如

果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限（常称为轴线

角）.

（4）终边相同的角:所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个

集合5="16=。+七360。，keZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表

示成角a与整数个周角的和.

2.弧度制

（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做I弧度的角,孤度

单位用符号rad表示，读作弧度.一般地，正角的见度数是一个正数,负角的弧

度数是一个负数，零角的弧度数是。.

（3）单位圆：我们把半径为1法圆叫做单位圆.

（4）角度和弧度的换算.

（5）扇形弧长面积公式.半径为R的圆中，圆心角为arad的角所对的弧长公

式：I=\a\R,圆心角为arad的扇形的面积公式：S=^IRlai/?2.

3.三角函数的概念2

（1）定义:设a是一个任意角，aeR,它的终边OP与单位圆相交于点

P（%,y），则sina=y,cosa=%,tana=孑（％H0）,正弦函数、余弦函数、正引函

数统称为三角函数.”

（2）三角函数的定义域和函数值在各象限的符号.

三角函数定义域（弧度制下）第一象第二象第三象第四象

限符号限符号限符号限符号

sinaR++

cosaR++

tana[a\akn+++

4.特殊角的三角函数值

角a0°30°45°60°900120,135°150°180°270360°

nnn7t

角a的02n3n5nn3n2TC

6732

弧度数3462

sina01V31V3V210-10

22222

cosa1V3101_V2_V3-101

72222

tana0叵1白不存—迎-10不存0

T在一了在

常用结论

1.角的集合

（1）象限角的集合.

象限角角的集合表示

第一象限｛x\k-360°<x<90°+k-360°,keZ｝

角

第二象限｛%|90°+k-360°<x<180°+k-360c,keZ｝

角

第三象限｛x|180°+k-360°<%<270°+k・360°,keZ｝

角

第四象限｛%|27U“+k-360w<%<36。"+k•36（T,keZ]

角

（2）非象限角（轴线角）的集合.

角a终边的位置角a的集合表示

在x轴的非负半{a|a=k・360。，kEZ]

轴上

在x轴的非正半{a|a=k-360°+180°,keZ]

轴上

在y轴的非负半{a|a=k360°+90°,keZ]

轴上

在y轴的非正半{a|a=/c-360°+270°,keZ}

轴上

在x轴上{a\a=k-180°,kEZ]

在y轴上{a|a=k-180°4-90°,keZ]

在坐标轴上{a\a=/c-90°,kEZ}

2.sinl5°=^2,Sin75°=tanl5°=2-V3,tan750=2+73.

44

3.当0<aV］时,sina<a<tana，特别地，cosl<sinl<1<tanl.

2自主评价牛刀小试

1.判断下.列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.

（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.（X）

（2）角a的三角函数值不会随其终边上点P的位置改变而改变.（J）

（3）不相等的角终边一定不相同.（X）

（4）若a为第二象限角，则sinatanaV0.（V）

（5）Q=2kn+30°（keZ）的写法合乎规范.（X）

2.2024°角的终边所在的象限是（C）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：2024°=360°x5+180°+44°,所以2024°角的终边所在的象限为第三象

限.故选C.

3.（教材题改编）已知角a的终边经过点儿（一4,-3）,贝ijcos《+a）的值为

（C）

D・Y

一3

解：依题意,何zos.ina=-===3===

J(—4产+(-3j5’

所以cos(1+a)=—sina=|.故选C.

4.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是L&.

解：设扇形的圆心角为a,半径为r.由扇形周长公式和扇形面积公式，得2r+ar=

6,ar2=4,消去r,得36a=4(2+a)2,即a?-5a+4=0.解得a=1,或a=4.

故填1或4

核心考点精准突破

考点一象限角与终边相同的角

例1

（1）若a是第四象限知，则n-a是第三象限角；］是第二或四象限角.

解：因为Q是第四象限角，

所以—2+2kll<a<2/CTT,k.EZ.

2

所以-2kiTV—oc<-2kirH—,k€Z.

23

所以TTCTTTT—a<-CTTITkEZ.

—2/<2/+-2,

故n—a是第三象限角.

Arn--<-</CTTeZ,故名是第二或第四象限角.

422

故填三；二或第四.

（2）【多选题】下列给出的角中，与一日n终边相同的角有（ABD）

AnD131r厂2n八29Tt

A.-D.C.--------D.--------

3333

解：与一日TT终边相同的角为一Tn+2/c7T=m+2（/c-2）n,keZ,

由弓+2（"2）TT=1得k=2,A正确.

由2+2（左一2）冗=生,得上=4,B正确.

33

由三+2（々-2）rr=-空，得k=三CZ,C错误.

3,32

由1+2/-2）冗=一等,得上=-3,D正确.

故选ABD.

【点拨】①象限角的确定，一般先写出不等式，再由不等式性质确定，常

需要对k分类讨论.②与角a终边相同的角的集合为｛0/=2kir+a,kEZ｝t

常用来判断所给角的象限，写终边相同角的集合，以及求与终边相同的相关角.

变式1

（1）【多选题】下列说法正确的是（CD）

A.第二象限的比第一象限角大

B.60。角与600。角是终边相同的角

C.钝角一定是第二象限角

D.将表的分针拨慢lOmin,则分针转过的角的弧度数为:

解：A中，如100°是第二象限角，400°是第一象限角，故错误.

B中，因为600°Wk・360°+60°,kEZ,所以60°角与600°角终边不同，故错误.

C中，因为钝角的范围为Gm）,所以钝角是第二象限角，故正确.

D显然正确.故选CD.

（2）终边在直线y=75%上，且在［-2冗,2口）内的角Q的集合为上学一年，

三争.

解：如图，在坐标系中画出直线y=gx,可以发现它与x轴的夹角是2.在

［0,2兀）内，终边在直线y=上的角有两个，即成拳在［-2殖0）内满足条件的

角有两个，即一拳一拳故满足条件的角a构成的集合为｛一拳一拳p书.

考点二扇形的弧长与面积问题

例2已知扇形的半径为r,弧长为2,其周长为4.

（1）若r=1,求该扇形的面积.

解：因为r=1,周长为!+2丁=4,所以/=4-2r=2.所以扇形的面积S=

i/r=-x2x1=1.

22

（2）求该扇形面积的最大值.

［答案］

因为，+2r=4,所以，=4-2r.则扇形的面积S=|Zr=|（4-2r）r<

（宁）=1,当且仅当2—r=r,即r=l时，等号成立.

所以扇形面积的最大值为1.

【点拨】直接用公式，=|a|r可求弧长，利用5=*任2=打可求扇形面

积，求最值问题常用二次函数或基本不等式.关于扇形的弧长公式和面积公式有

角度制与弧度制两种形式，一般使用弧度制.

变式2已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为1,若a=三，R=10cm,

求：

（1）扇形的面积；

解：由已知,得S扇形=gaR2=gx；x102=言3?）.

（2）扇形的弧长及该弧所在弓形（由弦及其所对的弧组成的图形）的面积.

［答案］

扇形的弧长/=aR=10=等（cm）,

c-c_c_507r1八2i__50TT12*乃_50TT-75於（2）

A-1U-

白弓形扇形3三角形一3233223（Cm）.

考点三三角函数的定义及应用

例3【多选题】已知角a的顶点与原点0重合，始边与工轴的非负半轴重合，它

的终边过点P（-1,-3,将角a的终边逆时针旋转;得到角0，则下列结论正确

的是（AC）

43

A.tana=-B.cos/?=—

35

C.sin（a—/?）=-1D.sin（S+：）=-噂

解：对于A,由题苣，得lana=-|=所以A正确.

—3

5

对于B,由题意，得B=a+1,所以cos/?=cos（a+1）=-sina=:所以B错

、口

伏.

对于C,sin（a—夕）=sin（—1）=一1.或由题意，得cos'=g,sin/?=

sin（a+1）=cosa=一|,所以sin（a-/?）=x（一（_|）x（一|）=-1,所

以C正确.“

对于D,sin（夕+§=—|x曰+gx4=M，所以D错误.故选AC.

【点拨】直晨利用J角请数而定上,巽到或根据已知给定角的终边上一个

点的坐标，及这点到原点的距离，可以确定这个角的三角函数值.己知角的英一

个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出关于参数的方程，求参数的值.

变式3

（1）已知角。终边经过点P（&,a）.若。=一9则a的值为（C）

A.V6B—C.-V6D.--

33

解：角e的终边经过点p（或,a）,则|0P|=VF".

由8=—g,得cos（―；）=^^^=g且aV0,解得Q=—伤.故选C.

（2）在平面直角坐标系为0y中，将向量耐=（通,-1）绕原点。按顺时针方向

旋转?后得到向量砺=（6,九），则小九=一次.

解：设以x轴正半轴为始边，。力为终边，对应的角为a（04aV2n）.根据题意，

刀=（V5,-1）在第四象限，|瓦?|=2,得cosa=9,sina=—则1=詈.所

以m=2cos（詈一'）=1,n=2sin（詈一'）=—V3.从而nm=—.故填一V5.

66课外阅读・三角总数%的数学文化

数学文化广义上是指数学史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各

种文化的关系以及这些因素的交互作用所构成的庞大体系，狭义上是指数学思

想、数学精神、数学方法以及数学观点、数学语言等的形成和拓展.在长期的发

展过程中，数学文化形成了注重思维、强调实用、讲究算法、关注数学审美价

值等重要特点.下面第一小题以《梦溪笔谈》为背景，该书内容包含了数学、天

文、物理、音乐、文学、工程技术等诸多领域，反映了中国古代，特别是北宋

时期自然及人文科学的辉煌成就，被誉为“中国科学史上的里程碑”.第二小题

以数学中美妙而又神秘的圆周率为基础，以国际圆周率日为背景，通过给出中

外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，让考生求出其近似表达式，从

而考查考生用三角函数等相关知识分析、解决问题的能力.在考生读题、解题的

过程中，能充分体会数学思想之妙，感悟数学文化之美.

1.[2022年全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈匚是中国古代科技史上的杰作，其口收

录了计算圆弧长度町“会圆术”.如图，启是以0为唯心、04为半径的圆弧，C

是4B的中点，。在晶上，CO_L4B.“会圆术”给出用的弧长的近似值s的计算

公式：s=AB+空.当04=2/40B=60°时，s=(B)

11-373口ll-4x/3厂9-3V3、9-46

A.-----------B.--------------------D---------

2222

解：如图，连接。C.因为。是48的中点，所以。CJLAB.又CO_L4B,所以O,C,D

三点共线，即00=OA=OB=2.又NA0B=60°,所以48=0A=0B=2.则

0C=V3,故CD=2-所以s=+笈=2+=耳里.故选区

OA°乎22

D

2.[2020年北京卷]202()年3月14日是全球首个国际圆周率FI(irDay).历史上，

求圆周率n的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿

尔•卡西的方法是：当正整数九充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长

和外切正6几边形(各边均与圆相切的正6几边形)的周长，将它们的算术平均数

作为2n的近似值.按照阿尔•卡西的方法，n的近似值的表达式是(A)

A.3n(sin?+tan?)B.6几(sin?+tan?)

C.3几(sin呼+tan呼)D.6几(sin%+tan呼)

解：单位圆内接正6几边形的每条边所对应的圆心角为竺=竺，每条边长为

nx6n

2sin—,所以单位圆内接正6几边形的周长为12?isin也.

nn

单位圆的外切正6孔边形的每条边长为2tanM其周长为12ntan手

⑵母吟；2小吟=6n（千+tan予，则n=3n（sin子+tan节.

所以如=sin

故选A.

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.时针经过lh,转过了（B）

A.-radB.--radC.—radD.——rad

661212

解：时针顺时针旋转，转过一圈（12h）的角度为-2jrrad,则时针经过lh,转过

了二rad=—Erad.故选B.

126

2.点P（sinl24（T,cosl240。）在直角坐标平面上位于（D）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：1240°=3x360°+160°,因为160°是第二象限角，所以sinl240°>0,

cosl240°VO,点P在第四象限.

故选D.

3.[2020年全国II卷]若a为第四象限角，则（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

解：（方法一）由a为第四象限角，可得4+2/GTVa<2TT+2/cn,k£Z,所

以3n+4/CTTV2aV4TT+4kn,k6Z.

此时2a的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin2aV0.

（方法二）由a在第四象限，可得sina<0,cosa>0,则sin2a=2sinacosa<0.

故选D.

4.【多选题】下列结论正确的是（ABC）

A.—?是第二象限角

B.若圆心角为g的扇形的弧长为n,则该扇形的面积为詈

C.若角a的终边上有一点P（-3,4）,则cosa=-|

D.若角。为锐角，则角2a为钝角

解：对于A,—?=-2TT+¥，史是第二象限角，故A正确.

对于B,设该扇形的半径为r,则;•丁二Ti,所以r=3,所以5扇形=;x；x

2故正确.

3=—2,B_________

对于C,设原点为。，则OP=J（-3）2+42=5,

cosa=—=-故C正确.

OP5

对于D,取a=?,则a是锐角，但2a=巳不是钝用，故D错误.故选ABC.

63

5.【多选题】下面说法正确的有（AD）

A.角;与—371的终边相同

B.终边在直线y=上的角a的取值集合可表示为{a[a=k-360°-45°,kG

Z}「

C.若角a的终边在直线y=—2%上，则sina=等

D.67。30'化成弧度是萼

解：角2与一97：相差如，终边相同，故A正确.

33

终边在直线y=-x上的角a的取值集合可表示为｛a|a=k-180°-45°,kE

Z｝,故B错误.

若角a的终边在直线y=-2》上，则sina的取值为土独，故C错误.

67°30'化成弧度是邺，故D正确.

8

故选AD.

6.已知角a的终边上一点的坐标为（sin拳cos》则角a的最小正值为（A）

A7TT11TTc.史

A-T喈

解：由题意，得sina=cos］=—，.又sin8V0,点（sin岸cos£）在第三象限,

即a是第三象限角，所以仇="+2/CTI€Z,最小正值为".故选A.

66

7.若角8的终边与角耳的终边相同，则在［n,2n）内与舵的终边相同的角是等.

解：因为角。的终边与角竺的终边相同，所以e=%+2/nr,/c€Z.所以2=生+

7737

—.k6Z.令7T<—4-—<2n,解得竺<k<-,/c6Z.所以k=2.所以在

373147

口22内与角5的终边厢同的角为等.故填答.

8.已知扇形4。8的圆心角为a,周长为14.

（1）若这个扇形的面积为10,且a为锐角，求a的大小;

解：设扇形的半径为R,扇形的弧长为，，周长为C,

吨D得此或｛建

圆心角a=5=：,或a=5=产=5（舍去）.

R5R2

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角a的大小和弦长

［答案］

由27?+/=14,得Z=14-2R,0</?<7.

2

所以扇形的面积S=；/?/=；/?（14-2R）=_R2+7R=—（R-9+

当R=：时，Smax=?，此时Z=7.

则圆心角a=2,弦长48=2x-xsinl=7sinl.

【综合运用】2

9.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点

4（1,a）,8（2,b）,且cos2a=I，则|a-b|=（B）

A.-B—C.—D.1

555

解：由题意，知0,Af8三点共线，从而得到b=2a.

因为cos2a=2cos2a-1=2-（^==^-1=

所以小=1,即|a|=g.所以|a—b\=\a-2a\=故选B.

io.【多选画】已知角力的终边落在第二象限，则卡列不等式一定成立的是

(BD)

A.sin-<0B,tan->0C.sin->cos-D.sin-I>cos-

22222l2

解：由题意，得2/CTT+?<a<2/cn+IT,k£Z,故/CH+巳V巴</at+二kE

2422

Z.所以£在如图阴影部》(不含边界).

络

X

故sin］与cos］符号不定且大小不定，而tan/>0,si.n-a>c喈

2

所以A,C错误，B,D正确.故选BD.

11.己知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm,内弧线的长为

20cm,连接外弧与内瓠的两端的线段均为16cm,则该扇形的中心角的弧度数

A.2.3B,2.5-C.2.4D.2.6

解：如图，依题意，可得?加的长为60cm,cb的长为20cm,则*=算=3,即

OA=3OC.

因为AC=16cm,所以0C=8cm.

所以该扇形的中心角的弧度数a=£=2.5.故选B.

12.【多选题】已知函数y=loga（x-4）-12（a〉0,且aH1）的图象过定点

P,且角8的终边经过点P,则（BCD）

A.P(4,-12)B.sin。=一言

C.sin26=——-D.tan(9+=——

169\4/17

解：令％-4=1,得x=5,则y=-12,则P(5,-12),故A错误.

因为152+(-12)2=13,所以sin®=-U,cos6=tan0=-^J')sin29=

13135

C•八nn(12\,5120,n\tan0+l-V+l7,,

2sin0cos0=2x(---)x—=----,ttan(64—]=-----=—茂-=---,故

\13/13169\4/1-tan。1+与17

BCD正确.故选BCD.

【拓广探索】

13.已知角a的终边绕原点。逆时针旋转g后与角6的终边重合，且cos（a+/?）=

1,则a的取值可以为（答案不唯•）（写出一个即可）.

解：由题意，得/?二仇+争

则cos（a+0）=cos（2a+g）=1,

所以2a+*=2/rnEZ,解得a=/CTT—£Z.

当k=0时，a=—/.故填一g（答案不唯一）.

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

课程标准有的放矢

L理解同角三角函数的基本关系式：siM%+cos?%=1,三口=tanx.

cosx

2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(a±5a±n的正弦、

余弦、正切).

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：siMa+cos2a=1.

(2)商数关系：tana(aWkn+：,kEZ).

2.诱导公式

分类公式一公式二公式三公式四公式五公式六

角a+n+a—au—anTT

2~a2+a

2kMkGZ)

与a终相同关于原关于％关于y关于直线y=x对—

边关点对称轴对称轴对称称

系

正弦sina-sina—sinasinacosacosa

余弦cosa一cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana——

记忆函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

规律奇变偶不变,符号看象限

常用结论

同角关系的常用变形

(1)平方关系变形：sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa),cos2a=

1—sin2a=(14-sina)(l—sina),sina=±V1-cos2a,coscr=+V1—sin2cr.

(2)商数关系变形：sina=tanacosa(aH：+kir,k£Z).

(3)和积互化变形:(sina+cosa)2=14-2sinacosa=14-sin2a，

(sina-cosa)2=1—2sinacosa=1—sin2a.

_sin2atan2acos2a

(4)弦切互化变形：sin2aCOS2a=

sin2a+cos2atan2a+lsin2a+cos2a

]sinacosatana

,sinacosa=

tan2a+lsin2a+cos2a-tan2a+l*

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.

(1)若a,夕为锐角，则siMa+cos?夕=1.(X)

(2)tana=2吧对于。eR恒成立.(X)

cosa

(3)sin(n+a)=-sina成立的条件是a为锐介J.(X)

(4)若tana=tan^,则a—/?=Zen,keZ.(J)

(5)若sin(/nr—a)=\(kWZ),贝ijsina=(X)

2.已知sina=—|,且aG岑当,则tana=(B)

C[口士1

解：因为sina=—且a6(p^~)»所以a为第三象限角.所以cosa=—浮

tana==三.故选B.

cosa4

3.sin(-等)=(A)

A.--B-迎DY

22

解：sin(一詈)=—sin詈=­sin(2TC+,)=_sin~=~'故选A.

4.(教材题改编)已知sin(T+戊)=，则cosa=一|.

解：sin停+a)=sin管+a)=-cosa=|,所以cosa=—|.故填一

核心考点精准突破

考点一同角三角函数基本关系式的应用

命题角度1知一求二问题

例1

(1)已知sina=/且/<aVIT,则cos(ir—a)+2sin(；+a)的值为(B)

A.-B,--C.-D.-

555____________5

解：因为sina=±,且三<a<IT,所以cosa=—Vl-sin2a=—三.故

525

cos(ir-a)+2sin6+a)=—cosa+2cosa=cosa=一：.故选B.

(2)【多选题】已知a€且sina+cosa=则(ABC)

.n,力.12

A.-<a<ITB.sinacosa=-----

225

C74

C.cosa-sina=--D.cosa=--

5151

解：将sina+cosa=:两边平方，得sin2a+cos2a+2sinacosa=—,即1+

112

2sinacosa=—,所以sinacosa=,B正确.

因为aE(0,Tt),所以sina>0.故cosaV0,所以;VaVir,A正确.

(cosa-sina)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=14-1|=

因为sina>0,cosa<0,所以cosa-sina<0.故cosa-sina=-1C正确.

5

又sina4-cosa=所以cosa=—,D错误.

55

故选ABC.

【点拨】知一求二问题，注意判断角的范围，熟记一些常见勾股数，可以

提高解题速度.有些题型可利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有

(sina±cosa)2=1±2sinacosa,(sincr+cosa)2+(sina—cosa)2=

2,(sina+cosa)2-(sina-cosa)2=2sin2a等.

变式1

(1)若点P(cosa,sina)在直线y=-2x上，则sin2a=(A)

4433

A.—B,-C.—D.-

5555

解：由题意，知sina=-2cosa,sin2a4-cos2a=1,则4cos+cos2a=1,

所以cos2a=士则sin2a=2sinacosa=-4cos2a=-g.故选A.

(2)已知sina+COSQ=任，则tanaH——=(B)

5tana

D!

9

解：原式两边平方，得sin2a+2sinacosa+cos2a

5

2

又sin2a4-cos2a=1,所以sinacosa=

5

,,,1sina,cosasin2a+cosza1

故tanaH-------=--------F--=-：-----------=---------=故选B.

tanacosasinasinacosasinacosar

命题角度2关于sin-cos］施齐次式问题

例2

(1)已知tana=工，则陋3吧5

2sina+cosa3

解：sina-3cosa=tana-3=故填=

'sina+cosatana+13'3'

(2)［2021年新课标I卷］若tan。=-2,则则绊型嘤=(C)

sin04-cos0

A6

A.--B一|C-D.-

5•55

sin0(l+sin20)_sin0(sin20+cos20+2sin0cos0)

解:=sin9(sin。+cos。)=

sin0+cos0sin0+cos0

2

sin0(sin0+cos0)tan0+tan04-2|.故选c.

sin20+cos20l+tan201+4

【点拨】形如asina+bcosa和asin2a+bsinacosa+ccos2a的式子分别称

为关于sina,cosa的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转

化为正切（分子分母同除以cosa或cos?。）求解.如果分母为1,为了弦化切，常

将1写成sin2a+cos2a.

变式2

（1）若tana=—3,则竺竺陋的值为（A）

cosa-sina

B-C.--D.-

A•一5233

cosa+sina_1+tana_1+(-3)_1故选

解：因为tana=-3,所以cosaHO.所以

cosa-sinc1-tana1-(-3)2

A.

(2)若tan。=3,则8cos2。+2sin26=(D)

A--5B1C.-2D.2

8cos20+4sin0cos08+4tan08+12

解：8cos2。+2s\n20==2.故选D.

sin20+cos20tan20+l9+1

考点二诱导公式的应用

例3

(1)若sin(a+£)=-*且aegm，则sin(a+*)=一||

解：因为aE§Ti),所以a+%WC).所以cos(a+1)=

2

—Jl—sin(a+：)=一£.所以sin(a+等)=sin(a+”+BTT=cosfa+T

626

一任故埴一工

13'0八13'

（2）在平面直角坐标系xOy中，角a与角口均以。工为始边，它们的终边关于直

线y=%对称.若sina=则cos0=（D）

S

A,YB1C-1建

解：因为直线y=x的倾斜角为2,所以a与/?满足a+n=2x2+2/nr=2+

442

2kir，kwZ.所以cos/?=cosQ+2/CTT-a)=cosQ-a=sina=士故选D.

o

【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函

数关系式求解.②正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率，即

诱导公式可推广归结为要求角攵-±a的三角函数值，只需直接求a的三角函

数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限.③对于kwZ,

sin(/ciT+a)=(―l)“sina,cos(kit+a)=(—l)fccosa.④若角a与夕的终边关于

y=x对称，则a+夕=2/m+5，k£Z；若角a与。的终边关于y=-%对称，则

a+0=2ku+—,/c6Z.

变式32

(1)【多选题】下列化简正确的是(AB)

sin(-a)_

A.tan(n+1)=tanlD.---------------cosa

tan(360°-a)

「，sin(n-a)ncos(n-a)tan(-ir-a)_

C.--——-=tanaD・■■-1

cos(ir+a)sm(2n-a)

解：由诱导公式，知tan(ir+1)=tanl,故A正确.

sin(-a)-sina_sina

=COSCZ,故B正确.

tan(3600-a)-tana£12^.

casa

sin(n-a)—=-tana,故C不正确.

cos(n+a)-cosa

sina

cosa

cos(n-a)tan(-n-a)_-cosa(-tana)_'cosa=—1,故D不正确.故选AB.

sin(2n-a)-sinasina

(2)已知cos偿一a)=|»则sin(a—=(C)

A.-C一D.--

5•55

TT

解：依题意，知sin(a-聿=sin[(a-=-cos(a-m)=—COS

,6

a)=_|.故选C

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.已知cosa=j且a为第四象限角，则sina=(A)

«5

A..--2-y-[2B.土竽C.±fD•号

3

解：sina<0J']sina=-vl-cos2a=一誓.故选A.

2.若tan(u—%)=J,则cos(1+%)=(A)

A_L再

B.土等CD.延

A•土g--T

]]5

解：因为tan(ir—久)=-tanx=y,所以tanx=-y,即cosx=-2sinx.而

sin2x+cos2x=1,于是得sin2%=->所以cos(-+X)=—sinx=.故选A.

52

3.已知cosC+a)=点且sin2a<0,则tana=(A)

.275R次D.当

A--vB-T

解：cosQ+\j=-sina=2-J')sina=2因为sin2a=2sinacosa<0,所以

，33

cosa>0.所以cosa=-in2a=日,tana=黑一等.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中，角9以Ox为始边，终边与单位圆交于点©3，则

tan(2025n—8)的侑为(C)

c--

.3

解：由题意，知sin。=（,cosO=£则tan。==g.所以tan（2025n—。）=

-tan。=-g.故选C.

5.【多选题】己知sin（：+a）=（下列结论正确的是（BD）

./n.\V3

A.cos(-+«)=—B.cos-a)=[

C.sin(^+a)=iD.cos偿-。1

解：由sin(：+a)=：可得cos(：+a)=±日.则sin(曰+a)=sin(IT+：+

a)=-sin(B+a)=_±cosQ-a)=cos[j-仁+a)]=sin(：+a)=

cos(4-a)=cos(n+：-a)=—cos(:-a)=—

故选BD.

6.【多选题】已知％W(0,TT),sinx+cosx=则下列结论正确的是(BD)

A.sinfx+-)=——B.sin2x=--

\4/39

「.V17c•V17-1

C.sinx-cosx=----3--D.sinx=---6---

解：sin(x+=sinxcos+cosxsin=y(sinx4-cosx)=故A错误.

sinx+cosx=两边平方，得1+2sinxcosx=L所以sin2x=2sinxcosx=

39

故B正确.

9

(sinx—cosx)2=1—2sinxcosx=1—sin2x=—.

因为x£(0,n),sinx+cosxV0,所以sinx>0,cosxV0.所以sinx—cosx=

—,故C错误.

3

l1

由选项C,得sin工cosx=sinxIcosx=所以sin%=后f古攵D正

336

确.故选BD.

7.化简则2曰c。"叱gX。伴]=_tana.

cos(n-a)sin(3n-a)sin(-n-a)sin^—+aj

解：原式=㈠噌(-弋)(Tina)(—sina)=7anQ,故填—tana.

(-cosa)sinasinacosa

8.已知sin(3n+a)=2sin(—+a),分别求四竺2竺吆•与sin2a+sin2a的值.

\2/5sina-2cosa

解：因为sin(3ir+a)=2sin管+a)