2024-2025学年北师大版七年级数学下册 第五章 图形的轴对称（培优卷·单元重点综合测试）解析版

第五章图形的轴对称（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.观察下图，其中不成轴对称的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了图形的轴对称，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，据此判断即

可

【详解】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意；

B、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意；

C、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，符合题意；

D、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意；

故选：C.

2.若a,6为等腰ABC的两边，且满足包-"?+=0,贝UABC的周长为（）

A.16B.18C.20D.16或20

【答案】C

【分析】题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质

求出a,6的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.

【详解】解：回（a-4）2+VT^=0,

Ela—4=0,£>—8=0,

解得a=4,6=8,

若4是腰长，则三角形的三边长为4,4,8,不能组成三角形；

若4是底边长，则三角形的三边长为4,8,8,能组成三角形，周长为4+8+8=20.

故选C.

3.已知V4BC与分别在直线/的两侧且关于直线/对称，点A与点A、点B与点点C与点C都

是关于直线/的对称点，下列线段被直线/垂直平分的是（）

A.AB'B.BB'C.BCD.AC

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得线段A4'、BB'、CC'都被直线/垂直平分，

进而可得答案.

【详解】解：回点A与点4、点8与点Q，点C与点C'都是关于直线/的对称点，

国线段A4'、BB'、CC都被直线/垂直平分.

故选：B.

4.如图，点A5c和点2,分与2,3都在正方形网格的格点上，则能与点A3,C组成轴对称图形的D点

的个数是（）

【答案】C

【分析】本题考查构造轴对称图形，根据轴对称图形的定义，画出相应的图形，进行判断即可.

【详解】解：如图，点R，2,仇，。5四个点满足题意；

故选c.

5.如图，在E1ABC中，13c=90。，AC=BC,AO平分13cA8交8C于。，DESABE,若A8=7cm,贝崛

的周长是（）

D

A---------EB

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】B

【分析】由在她BC中，EIC=90。，AC=BC,El54c的平分线A。交BC于。，。的48于E,根据角平分线

的性质，可得CD=ED,AC^AE^BC,继而可得HDBE的周长=4艮

【详解】团在EIA3C中，EIC=90。，EIBAC的平分线A£）交BC于。，。瓦1AB于E,

SCD=ED,^ADC^ADE,

SAE=AC,

^AC=BC,

SBC=AE,

00DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm.

故选B.

【点睛】此题考查了角平分线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.

6.下列说法中不正确的是（）

A.如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分

B.成轴对称的两个图形的对称轴只有一条

C.任何一个正方形的对称轴都有四条

D.如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等

【答案】B

【分析】本题考查轴对称图形、全等三角形的判定、轴对称的性质.利用轴对称的性质、全等三角形的

判定等进行判定后即可得到正确的答案.

【详解】解：A、如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分，故原说法正确，本

选项不符合题意；

B、成轴对称的两个图形的对称轴有可能不止有一条，故原说法错误，本选项符合题意；

C、任何一个正方形的对称轴都有四条，故原说法正确，本选项不符合题意；

D、如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等，故原说法正确，本选项不符合题意.

故选：B.

7.下列选项中，直线/是四边形的对称轴的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两

部分折叠后可重合.

根据轴对称图形的概念求解即可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个

图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称.

【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线/不是该图形的对称轴，本选项不符合题意.

B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；

C、该图形是轴对称图形，直线/是该图形的对称轴，本选项符合题意.

D、该图形是轴对称图形，直线/不是该图形的对称轴，本选项不符合题意.

故选：C.

8.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）

A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称的知识，解答本题的关键是分别得出各选项图形的对称轴的条数.

【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴，圆有无数条对

称轴，

国对称轴条数最少的是等边三角形，

故选：A.

9.如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，4=N2=50。，则N3的度数为（）.

I

A.80°B.90°C.100°D.120°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键.

先根据平角的定义求出N4的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果.

180-Zl-Z2=80°,

团经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行,

二/3=/4=80°；

故选：A.

10.如图，在VABC中，AB=AC=8cm,BC=6cm,分别以点A,B为圆心，以5cm为半径作弧，两弧分

别交于点N,直线交AC于点。，连接3D,则△3CD的周长为（）

A.11cmB.12cm14cm

【答案】D

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距

离相等.

依据垂直平分即可得出A£>=BD,进而得到CD+3D=CD+AD=AC,即可得出BCD的周

长.

【详解】解：由作图可得垂直平分4B,

fflDA-DB，

回△BCD的周长为BC+CD+3D=3C+CD+ZM=3C+AC=6+8=14cm,

故选D

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.如图，若VA3C与AEC关于直线/对称，则NC的度数为

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握轴对称图形对应边相等，对应角相等是解题的关键.

根据周对称轴图形的性质"对应角相等"即可求解.

【详解】解：VABC与.AEC关于直线/对称,

0ZC=ZC,=3O°,

故答案为：30。.

12.如图，已知线段AB=4cm,其垂直平分线C£＞的作法如下:

第一步：分别以点A和点B为圆心、acm长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点£＞；

第二步：作直线CO.

上述作法中a满足的条件为a2（填"或.

【答案】＞

【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解.

【详解】解：由题意。

团AB=4cm,

回a>2cm.

故答案为：>

13.如图，四边形ABCD中，ZA=90°,ZABD=ZDBC,AD=6,BC=8,那么△£)2c的面积是

【答案】24

【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到OH=D4=6.过。作于H,

由角平分线的性质得到DH=ZM=6,而BC=8,即可求出△D5C的面积.

【详解】解：过。作3c于

ZA=90°,ZABD=ZDBC,

:.DH=DA=6,

BC=8,

.•.△D3C的面积=；BC.DH=：x6x8=24.

故答案为：24.

14.如图在VABC中，AD平分/3AC,AC=13,VABC的面积为78,M、N分别是AD、A3上的点,

则+的最小值是.

BDC

【答案】12

【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出

取得最小值时的位置是解题关键.

在AC上取一点E,使得AE=AN,连接ME,证明AEM-ANM（SAS）,可得腔=MN,则

BM+MN=BM+ME,进而可得当点8,M,E共线且3ELAC时，取最小值即所，再利

用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：如图，在AC上取一点E,使得AE=AN,连接ME,过点8作3尸工AC于点F.

回AZ）是ZBAC的平分线，

0NEAM=ZNAM,

在劭/和tANM中，

AE=AN

<ZEAM=ZNAM,

AM=AM

0.AEM^tANM（SAS）

SME=MN,

mBM+MN=BM+ME,

团当点2,M,E共线且BELAC时，8M+ME取最小值即即，

0AC=13,VABC的面积为78,

0-ACBF=-xl3BF=78,

22

^BF=12,

即+MN的最小值是12.

故答案为：12.

15.一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，跖是折痕，ZEFB=40°.有下列结论：①NG£F=40。；②

NEGB=70。；③NA£G=100。；（4）ZCFC=80°,其中正确的有.（填序号）

AED

【答案】①③④

【分析】本题主要考查平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是

解题的关键.

先根据平行线的性质可得NDEF的度数，根据折叠的性质可得NG班，进而可得ZDEGZAEG,即可判

断①③；再利用平行线的性质可得/EG3、/EFC的度数，即可判断②；再根据平行线的性质可得

NCFC的度数，即可判断④.

【详解】解：回四边形A3CD是长方形，

0AD//BC,

:.ZDEF=NEFB=40°,

由折叠的性质可得NGEF=ZD所=40。，故①正确；

.•.ZD£'G=40ox2=80o,

ZAEG=180°-80°=100°,故③正确；

@AD//BC,

:.NEGB=ZDEG=80。,故②错误；

//CF,

SZCFC'=ZiyGF,

SZEGB=ZiyGF=80o,

回/CFC'=80。故④正确.

故答案为：①③④.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴.

O

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：图①，图②，图③都是轴对称图形，对称轴如图所示.

17.如图，已知/AO3,请用尺规作图的方法在NAO3内求作射线OC,使得ZBOC=；NAOB.

【答案】见解析

【分析】本题考查了尺规作图：作角平分线；按照尺规作图作角平分线的方法进行即可.

【详解】解：满足条件的射线OC如图.

18.如图，点尸在—AQB的内部，点C和点尸关于直线。4对称，点尸关于直线08的对称点是点O,连接

交04于点交08于点N.

(1)若"03=。，求NCOD的度数;

(2)若CD=4,APMN的周长为

【答案】(1)2a

(2)4

【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键.

(1)根据轴对称的性质，可知NAOC=NAO尸，/BOD=/BOP,可以求出NC8的度数；

(2)根据轴对称的性质，可知=DN=PN,根据周长定义可以求出尸AW的周长.

【详解】(1)解：二・点。和点P关于。4对称，

:.ZAOC=ZAOPf

点尸关于05对称点是。，

:.ZBOD=ZBOP,

^\ZAOB=a,

ZCOD=ZAOC+ZAOP+ZBOP+ZBOD

=2(NA0P+NBOP)

=2ZAOB

=2a；

(2)解：点C和点P关于Q4对称，

:.CM=PM,

.点尸关于OB对称点是。，

,-.DN=PN,

CD=4,

:.CM+MN+DN=4,

:.PM+MN+PN=4,

即一PMN的周长为4.

故答案为：4

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米.当你身临其境地站在马仑草原上与

芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美.如图，牧马人从A地出发，先到草地边

某一处牧马，再到河边饮马，然后回到8处，请画出最短路径.

【答案】详见解析

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称

点A,点8的关于河岸的对称点？，连接两个对称点，交于草地点C,交河边于点连接AC,BD,

则AC+C0+DB是最短路线.能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键.

【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点A,点8的关于河岸的对称点玄，连接两个对称点,

交于草地点

EIAC=AC,

0AC+CD+DB=AC+CD+DB'=A",

根据“两点之间，线段最短"知，此时是最短为A3',

团所走路线即为AC-CD-。瓦

20.如图，已知VABC的周长是21,OB,OC分别平分/ABC,ZACB,8,3c于点O,且0。=3,

求VABC的面积.

BDC

【答案】y

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形

面积的求解是解题的关键.过点。分别作于点E,。尸，AC于点R根据角平分线性质定理，

可证明。。二位=。匠=3,根据％ABC=S/XAOB+S/^BOC+S/XAOC，可列出算式，并结合VABC的周长求出

面积.

【详解】如图，过点O分别作于点E,。尸J_AC于点凡

QOB分别平分/ABC,OD工BC,

OD=OE=3,

同理8=0产=3,

一ABC的周长是21,

\AB+BC+AC=21.

…SABC-AOB+SBOCSAOC

=-ABOE+-BCOD+-ACOF

222

333

=-AB+-BC+-AC

222

3

=-(AB+BC+AC)

63

~2

21.如图，点尸关于。4,03的对称点分别为C,D,连接CO,交。4于点M,交OB于点、N,连接PC交

Q4于点七连接尸。交05于点T,连接？M,PN.

(1)若的长为18cm,求4PMN的周长；

⑵若NAOB=48。，四边形PR9T的4个内角之和为360。，求NMPN.

【答案】(1)18cm

⑵84。

【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称

的性质是解本题的关键.

(1)根据轴对称的性质可得=ND=PN,可得一的周长

PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD,即可求解；

(2)根据轴对称的性质可得Q4垂直平分PC,垂直平分尸£>,Z.C=ZMPR,ZD=ZNPT,可知

ZPRM=ZPTN=90°,进而可知在四边形O7PR中，ZRPT+ZAOB=1SO°,由三角形内角和定理可知,

ZCP£>+ZC+ZD=180°,得NC+ZD=ZAOB=48。，根据ZMPN=18(T-NC-ZD-ZMPR-ZDPT即可求解.

【详解】(1)解：四点C,。分别是点P关于。4,OB的对称点，

^CM=PM,ND=PN.

ECD=18cm,

^\PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=\^cm).

即oPMN的周长是18cm.

(2)回点C,。分别是点P关于。4,08的对称点，

团Q4垂直平分尸C,垂直平分PD,

ZC=ZMPR,ZD=ZNPT,

BZPRM^ZPTN^90°.

回四边形PROT的4个内角之和为360。，

团在四边形OTPR中，NRPT+ZAOB=180°.

0ZCP£>+ZC+ZD=180°,

0ZC+ZD=ZAOB=48°,

团ZMPN=180°-NC-ZD-ZMPR-ZDPT=180°-48°x2=84°.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.古希腊有一个著名的"将军饮马问题"，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个

军营4艮他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查2营.他时常想，怎么走，才能使他每天

走的路程之和最短呢？

.B

A

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

如图2,作8关于直线/的对称点夕，连结A9与直线/交于点C,点C就是所求的位置.请你在下列

阅读、应用的过程中，完成解答:

⑴证明：如图3,在直线/上另取任一点C"连结AC,BC,B'C,

回直线/是点8,8'的对称轴，点C,

0CB=_,C'B=_,

^\AC+CB=AC+CB'=_.

在△ACE中,

^\AB'<AC+CB',

SAC+CB<AC'+CB'.

^AC+CB<AC'+C'B',即AC+CB最/］、.

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A,8在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用

"两点之间线段最短"，即"三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接48'两点的线中，线

段A9最短）.本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型.

⑵问题解决

如图，将军牵马从军营尸处出发，到河流Q4饮马，再到草地02吃草，最后回到尸处，试分别在边。4

和OB上各找一点£、凡使得走过的路程，即！尸EF的周长最小.（保留画图痕迹，辅助线用虚线，

最短路径用实线）

【答案】⑴CE,C'B',AB'

（2）见解析

【分析】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段

最短是解题的关键.

（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可；

（2）分别过尸作。4和0B的对称点，分别为片和舄，然后连接［鸟分别交和OB于一点，即为点E

和点尸，则有々E=PE,P2F=PF,那么！PEF的周长为所+£/+五尸=%+跖+R=4鸟，即三点

共线，线段最短即可使得走过的路程，即！呼的周长最小.

【详解】（1）解：由题意可知，

国直线/是点B,夕的对称轴，点C,C'在/上，

0CB=CB,,C'B=C'B',

SAC+CB=AC+CB'=AB',

在△ACE中，

SAB'<AC'+C'B',

BAC+CB<AC'+C'B'.

BAC+CB<AC+C'B',即AC+C5最小.

（2）解：分别过尸作。4和OB的对称点，分别为《和鸟，然后连接《6分别交Q4和03于一点，即

为点E和点凡如图所示：

P\A

OF\।

\T

1

p,

回。4是点P,《的对称轴，OB是点、P,£的对称轴,

所以《E=PE,P2F=PF,

那么！际的周长为EP+E尸+FP=E《+E尸+R=《8,

所以三点共线,

即两点之间，线段最短，那么！P所的周长最小.

23.将长方形纸片沿OC,OD折叠成平面图形，折叠后，点A落在点4,点B落在点连接OA、OB'.

（1）如图1,当点g在。4'上时，判断/AOC与/3。。的关系，并说明理由；

（2）如图2,当点9在/CO4'的