2024-2025学年七年级数学下册 第10章 二元一次方程组 能力提升测试卷（解析版）

第10章二元一次方程组能力提升测试卷

（考试时间：90分钟试卷满分：100分）

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。）

1.若是关于的二元一次方程mx+y=5的解，则小的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入山久+y=5中计算求

解，即可解题.

【详解】解：•••若是关于的二元一次方程小无+y=5的解，

•••2m+1=5,

解得根=2,

故选：C.

2.下列各组数中，方程2%—y=3和3%+4y=10的公共解是（）

.fx=1_fx=?=2_（x=4

A-｛y=-iB,[y=-C,iy=1D,ly=5

【答案】C

【分析】本题主要考查二元一次方程的公共解，熟练掌握二元一次方程的公共解是解题

的关键.讲解代入进行判断即可.

【详解】解：当｛,2x1-（-1）=3,3x1+4x（-1）10,故选项A错误；

（x=311

当（第_1,2X3--^=3,3X3+4x-=10,,故选项B错误；

当｛；：；，2x2-1=3,3x2+4x1=10,,故选项C正确；

当｛；；£，2X4—5=3,3x4+4x5^10,,故选项D错误：

故选C.

3.小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个

4元.42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】B

【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本X本，购

买乙种笔记本y本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由

单价x数量=总价建立方程是关键.

【详解】解：设小王购买甲种笔记本x本，购买乙种笔记本y本，

由题意得6x+4y=42,

可得久=空

■••%,y为非负整数，

21-2y可以等于3,9,15,

即y=9,6,3时，

x=1,3,5,

•••共有3种购买方案.

故选：B.

4.中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题："今有三人共车，二车空；二人共

车，九人步.问：人与车各几何？"其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人,

那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行.假

设有x个人，有〉辆车，可以获得的方程组为（）

A.（ry：2B.[1=片：c.{:;乎就D.

匕=y+g9匕=y-9Lx+9=2y

【答案】D

【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键.

设有x个人，有y辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得x=3（y一2）,由每2人

坐一辆车，有9人需要步行，可得x-9=2y：从而可得答案.

【详解】解：设有x个人，有y辆车，根据题意得：

则「二次康

故选：D.

5.已知方程组{篙;卷噩的解为则2a-36的值为（）

A.4B.7C.-7D.-4

【答案】B

【分析】此题主要考查二元一次方程组的加减消元法，将x和y的值代入到方程组，原

方程组变成关于。、6的方程组.再仔细观察未知数的系数，相同或者相反，可以运用加

减消元解题，再求解代数式的值即可.

【详解】解：,•方程组｛黑；篇;彳的解为,

(2a—b=4①

,12a+b=1(2)*

由①+②得a=

②一①得b=一|.

ro

将，-/弋入。-

a=I4Z/J=23/7,

即2a—36=2X7-3x(_-)=f+^=7.

故选：B.

6.如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个宽为60cm的大长方形，设每块长方形地板

砖的长为xcm,宽为ycm,根据题意可列方程组为()

(x+2y=60(x+2y=60(x—2y=60(x—2y=60

A-(y-4x°,tx=4yc-(y=4xD'tx—4y

【答案】B

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据图形可知，大长方形的宽等于

小长方形的长加上2个小长方形的宽，小长方形的长等于4个小长方形的宽，列出方程

组即可.

【详解】解：由图形，可得：

故选B.

7.清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》(卷九)中记载一题，"设如有甲乙二人入山

采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得

几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百，乙的采果数

加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？

如果设甲原来采果数是x枚，乙原来采果数是y枚，则根据题可列方程为()

[x+y=300(x+y=300

A，U+600=2(y+200)(3(%+600)=y+200

(x+y=300(x+y=300

c

-12(%+600)=y+200D.(x+600=3(y+200)

【答案】D

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据甲、乙二人入山采果共得三百

枚，列出一个方程，根据甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采

果数比乙的采果数多二倍，列出另一个方程，组成方程组即可.

【详解】解：设甲原来采果数是x枚，乙原来采果数是y枚，由题意，得：

(%+y=300

1%+600=3(y+200);

故选D.

8.由方程组｛。=湾，，可得出％与y的关系是()

A.x—y=1B.x+y=—1C.x+y=7D.x+y=—7

【答案】c

【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握"消元思想"是解答本题的关键.

将原方程化为｛箕黑二拐,①+②即可求解.

【详解】解：原方程可化为二僧，

①+②，得工+y=7,

故选：C.

9.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗："我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客

多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房

住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量.下列说

法错误的是()

A.设客房有工间，贝|7%+7=9(%—1)

B.设客人有y人，则?=看

C.设客房有无间，客人有y人，贝|｛廖二J：1

D.客房8间，客人63人

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解答本题

的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程和方程组.

根据题意得出方程或方程组并解出未知数的值，即可解答.

【详解】解：A、设客房有x间，则7x+7=9Q—1）,故A选项正确；

B、设客人有y人，则子音+1,故B选项错误；

C、设客房有x间，客人有y人，贝仙康二故C选项正确；

D、由C选项列出的二元一次方程组解得位二信，即客房8间，客人63人，故D选项正

确；

故选：B.

10.已知关于X,y的二元一次方程组｛岸；霹?的解为｛［二三7且

(ci(3m+2n)+b(2m+3n)=4

lc(3m+2n)+d(2m+3n)=3，则（rn+n）2°24的值为（)

A.1B.-1C.0D.2024

【答案】A

的解为｛1二?得到3机+2几=-7,2m+3n=2,据此求解即可.

【详解】解：•••关于x,y的二元一次方程组管鲁齐?的解为｛j：，，

(3m+2n=—7

"I2m+3n=2'

两式相加得57n+5n=-5,

+n=—1,

.•.（小+般）2。24=（_1）2。24=1,

故选：A.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.已知x、y满足方程组｛芯Z,则孙的值为

【答案】6

【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关

键；

分别计算X、y的值，进而计算xy,即可求解；

【详解】解：｛军j二嚏)

将①代入②，可得：2%-(5-%)=4,

解得：％=3,

将％=3代入①，可得：y=2；

当％=3,y=2时，

%y=3X2=6；

故答案为：6

12.关于x,y的方程组｛江苫；=4a+2的解满足比一V=⑵则a的值为.

【答案】13

【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用a表示x,y,再代入久-y=12,即可解答,

熟练计算二元一次方程是解题的关键.

【详解】解：舅医；常多

由①得y=5a+1—2久③，

把③代入②可得,x+2(5a+1—2%)=4a+2,

解得％=2a,

把％=2a代入③，可得y=a+l,

x—y=12,

2a—ct—1—12,

解得a=13,

故答案为：13.

13.甲、乙两人共同解方程组｛微］冢二瑞，甲将①中的b看成了它的相反数解得

｛：二11，乙抄错②中的c解得,贝Ua-b+c=.

【答案】5

【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解

题的关键，根据甲将①中的b看成了它的相反数解得的值，代入可得到a+b,c的值,

再根据乙抄错②中的c得到的值，代入可得到a+2b的值，结合两个式子的值即可得到

答案.

【详解】解：•••甲将①中的b看成了它的相反数解得代入原式得到：

(a+b=2

lc+3=4'

/.a+b=2③，c=1,

・•・乙抄错②中的c解得代入原式的①得到：2a+4b=2,

/.a+2b=1④，

.,〔a+2b=1④'

解得：｛十:A

•,-U—b+c=3—(—1)+1=3+1+1=5,

故答案为：5.

14.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个

甲种零件和5个乙种零件共需85min；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需125min,

则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需min.

【答案】240

【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，准确理解等量关系是解题的关

键.根据题意列出二元一次方程组进行计算即可得到答案.

【详解】解：设李师傅加工1个甲零件需要xmin,加工1个乙零件需要ymin,

.(3x+5y=850

,•l4x+9y=125②'

①x4-②x3得：y=5.

将y=5代入①，得到尢=20,

丁受,

故加工8个甲种零件和16个乙种零件共需20x8+16x5=240min.

故答案为：240.

15.已知关于x,y的方程组上犀就IL?和代之禽二4有相同解，则。=—,

b=.

【答案】23

【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，

解法是关键.

因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有。，6的两个方程联立，组

成新的方程组，求出x和夕的值，再代入含有。，6的两个方程中，解关于。，6的方程

组即可得出。，6的值.

【详解】解：•••两个方程组有相同的解，

二原方程组可化为

（4ax+Sby=-22（、

Iax—by=8

解方程组（1）得｛J二」2，

代入⑵得，「柳二22，

解得:K=i-

故答案为：2；3.

16.若关于”,y的二元一次方程组管典;二的解为《豫则方程组｛裳雪黑，2

的解为.

【答案】g：4

【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，将方程组｛右%^/蠢2变形为

（cJ?ViW>由关于久、y的二元一次方程组管之;二的解地国，可得

[y-l=3-解方程组即可.

【详解】解：=；2>

整理可得：晦非国蒿，

关于X、y的二元一次方程组管：松J匚:的解为｛；:|,

（%=5

Aty-l=3

解得：｛丁/，

故答案为：

三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（8分）解方程组:

⑴0y=7+汽(5x-2y=4

M2x=5y，{Z,L2x-3y=-5-

【答案】(1){二工

<=1

【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，解答本题的关键是熟练掌握“消元法”

的应用.

(1)利用代入消元法即可解答；

(2)利用代入消元法即可解答.

【详解】(1)解：寥,

由①得久=3y-7,

把％=3y-7代入②可得2(3y—7)=5y,

解得y=14,

把y=14代入％=3y-7,可得％=35,

望是原方程组的解；

⑵解:L巴湾4品,

由①得久=等，

把久=等代入②可得当2-3y=-5,

解得y=3,

把y=3代入％=空?，可得久=2,

是原方程组的解.

18.(8分)算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工

具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5,每个下珠

代表1,每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可

以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0.小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对

小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等

于十位数字加2,请求出这个三位数.

百十个

位位位

§§§§§§§§§§§§§

gWWWWgW■W

OOOOO00

§OOOO§O00

DDDDD00

【答案】615

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为x,十位数字为y,根据

个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2,列出方程

组进行求解即可.

【详解】解：设个位数字为％,十位数字为y,由题意，得:

中岸2,解得：｛:%=5

y=1，

二这个三位数为：615.

19.(8分)【问题情景】

南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑.到了沃柑

成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题

上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案.

【调研发现】

市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁.一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的

数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型

采摘设备每小时共采摘沃柑28亩.

【解决问题】

⑴设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩.

请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃

柑亩.

(2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？

⑶由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全

部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大

型采摘设备加台，小型采摘设备"台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案.

【答案】⑴2x,3y

(2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑

(3)方案一：租用大型采摘设备1台，小型采摘设备6台；

方案二：租用大型采摘设备2台，小型采摘设备4台；

方案三：租用大型采摘设备3台，小型采摘设备2台.

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程

组，是解题的关键：

(1)根据题意，直接列出代数式即可；

(2)根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃

柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列

出方程组进行求解即可；

(3)根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可.

【详解】(1)解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑2x亩，3台小型采摘设备

每小时采摘沃柑3y亩；

故答案为：2x，3y；

;

(2)解：由题意，得：[2x+3y=28解得：｛y=4

答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑.

(3)解：由题意，得：10x87n+10x47i=320,

/.n=8—2m,

•・•皿九均为正整数，

fm=1(m=2(m=3

"｛n—6"tn=4'tn=2；

故共有3种租赁方案：

方案一：租用大型采摘设备1台，小型采摘设备6台；

方案二：租用大型采摘设备2台，小型采摘设备4台；

方案三：租用大型采摘设备3台，小型采摘设备2台.

20.(8分)已知x,y满足｛ZKJW"]%)求x-4y和7久+5y的值.仔细观察两个方程未知

数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①-②可得

x-4y=-2,由①+②x2可得7x+5y=19.这种方法利用了"整体思想”.请你利用"整

体思想"，解决下列问题:

⑴已知二元一次方程组｛/：蒙二右，贝ijx—y=,x+y=；

(2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本

共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元.

【答案】⑴—5,5

⑵共需58元

【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题

是解题的关键.

(1)将两方程相减可求x-y的值，将两方程相加可求x+y的值；

(2)设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解.

【详解】⑴解：优养二5能，

①一②可得：x-y=-5；

①+②可得：3x+3y=15,

：.x+y=5；

(2)解：设每只铅笔无元，每块橡皮y元，每本日记z元，

由题意可得：｛器北算M糙，

.•.①x3—②可得llx+3y+z-58,

答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元.

21.(10分)已知：现有/型车和8型车载满货物一次可运货情况如表:

A型车(辆)2型车(辆)共运货(吨)

3217

2318

某物流公司现有35吨货物，计划同时租用N型车。辆，8型车6辆，一次运完，且恰

好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆/型车和1辆2型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，共有几种租车方案;

请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.

【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆8型车载满货物一次可运货4吨

(2)共有3种租车方案，最省钱的租车方案是方案1：租用/型车1辆，8型车8辆，最

少租车费为2860元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

(1)根据表格中的数据列出二元一次方程组，解出即可；

(2)根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a、b

的二元一次方程，再结合。，6都是自然数，即可得出方案，分别求出选择各方案所需

租车的费用，比较后得出结论.

【详解】(1)解：设1辆/型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可

运货y吨，由题意得，

[3%+2y=17

I2x+3y=18'

解得u

答：1辆/型车载满货物一次可运货3吨，1辆3型车载满货物一次可运货4吨；

(2)由题意得：3a+46=35,

735—3a

•••6二^，

a,6均为自然数，

fci—1—p.(a—5-p.(a=9

,*lb=8或tb=5或tb=2，

共有3种租车方案，

方案1：租用/型车1辆，8型车8辆，则租车费用为IX300+8x320=2860

(元)，

方案2：租用/型车5辆，3型车5辆，则租车费用为5x300+5x320=3100

(元)，

方案3：租用/型车9辆，3型车2辆，则租车费用为9x300+2x320=3340

(元)，

•••2860<3100<3340,

；・最省钱的租车方案是方案1：租用N型车1辆，3型车8辆，最少租车费为2860元.

22.(10分)根据以下素材，探索解决任务.

确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量

小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币

和5角硬币的质量，准备了足够多的10

素尸昌

元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类一天平一

材

每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的

1

质量也相同），实验器材有：一架天平和10元纸币

一个10克的祛码.O•

小明：天平左边放5枚1元硬币和1个101元硬币5角硬币

克的祛码，天平右边放10枚5角硬币，

素

天平正好平衡.

材

小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平

2

右边放20枚5角硬币和1个10克的祛码，

天平正好平衡.

小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的祛码，天平

素

右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡.

材

提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两

3

种硬币，天平也能正好平衡.

问题解决

任确定硬币的质量每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是

务多少克？

1

任确定纸币的质量每张10元纸币的质量是多少克？

务

2

问题解决的策略天平左边放入60张10