2024-2025学年七年级数学下册题型专练：实数（知识解读+达标测试）（解析版）

第03讲实数

题型归纳

【题型1无理数】

【题型2实数的性质】

【题型3估算无理数大小】

【题型4无理数整数部分或小数部分的有关计算】

【题型5实数运算】

【题型6程序设计与实数的运算】

【题型7新定义下的实数运算】

【题型8实数中的实际应用题】

基础知识,知识梳理理清教材

考点1：有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

注意：

(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分

数的形式

(2)常见的无理数有三种形式：①含n类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如石.

考点2:实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

实数J有理数：有限小数或无限循环小数

［无理数：无限不循环小数

按与0的大小关系分：

正有理数

正数

实数正无理数

0

.负有理数

负数

负无理数

2.实数与数轴上的点-对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点

与之对应.

题型分类深度剖析

【题型1无理数】

【典例1］在数3.14,3.3333...,0.4,0.10110111011110...（相邻两个。之间）的个数逐次

加1）,IT中，无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】本题主要考查无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，根据无理数和有理

数的定义求解即可.

【详解】解：3.14,0.4是小数，属于有理数；

3..3333...是循环小数，属于有理数；

0.10110111011110...（相邻两个0之间1的个数逐次加1）,IT是无理数，共2个，

故选：A

【变式1-1】下列各数中，是无理数的是（）

A.方B.3.14C.200%D.|

【答案】A

【分析】本题考查了无理数的概念，根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见形式有

"含有R的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如0.3131131113…（相邻两个3之

间1的个数逐渐增加）"，由此即可求解.

【详解】解：A、］是无理数，符合题意；

B、3.14是有理数，不符合题意；

C、200%是有理数，不符合题意；

D、|是分数，即有理数，不符合题意；

故选：A.

【变式1-2】在-3,最V1610.13,V4.0.101001...这些实数中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：TT,2TT等；

开方开不尽的数；以及像0.101001...,等有这样规律的数.无理数就是无限不循环小

数.由此即可判定选择项.

【详解】解：716=4,

无理数有：pV4,0.101001...；

有理数有：-3,V16,0.13；

故选：C.

【变式1-3］在数—|,一宗0,-3.3030030003...,竿中，其中无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数.据此判断即可.

【详解】解：在数一|,-p0,-3.3030030003...,,中，

无理数有-3.3030030003...,一共2个，

故选：B.

【题型2实数的性质】

【典例2】—尼的相反数是,*的倒数是,|V3-n|=.

【答案】V6互互-b/一百+冗

【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义〃正负号相反的两个

数互为相反数"确定-痣的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算3的倒数；首

先比较西与F的大小，然后化简绝对值即可.

【详解】解：-痛的相反数是返，

'.'1Y+—1=JI,

7T

.《的倒数是m

,•'V3<TT,

•■•|V3—7t|=V3-

故答案为：it-y.

【变式2-1】实数a,6的位置如图，化简：|a+b|_J(a_6)2=.

——।-------------1-------1------->

a0b

【答案】-2b

【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出

a+b<0,a-b<0,再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案.

【详解】解：由数轴可知a<O<b,|a|>网，

.•-a+b<0,a—b<0,

•'•\a+b\7(a—b)2=—(a+b)+(a—6)=-a—b+a—b--2b,

故答案为：-2b.

【变式2-2】赤-2的相反数是—,-诉的绝对值是一

【答案】2-V5/-V5+22

【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和相反数，求一个数的立方根，只有符号不

同的两个数互为相反数，据此可得第一空的答案；先计算立方根，再根据正数和0的绝

对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可得到第二空的答案.

【详解】解：4一2的相反数是-(4-2)=2-近,-诋的绝对值是|_踞|=|—2|=2

故答案为：2-V5：2.

【变式2-3】下列各组数中，互为相反数的一组是()

A.131和|—131|B.V7和—V7C.:和JD.5?和(—5)2

【答案】B

【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，有理数的乘法计算，

先计算出每个选项中的两个数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可.

【详解】解：A、131和|—=131不互为相反数，不符合题意；

B、V7和-V7互为相反数，符合题意；

C、9和4=《不互为相反数，不符合题意；

D、52=25和(-5)2=25不互为相反数，不符合题意；

故选：B.

【题型3估算无理数大小】

【典例3】估算2+g的值应在（）

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

【答案】D

【分析】本题考查了无理数的估算，正确得出3<V14<4是解此题的关键,根据无理数的

估算方法估算即可得解.

【详解】解：••-9<14<16,

V9<V14<V16>即3<VIZ<4,

2+3<2+714<2+4即5<2+N]4<6,

2+m的值在5到6之间，

故选：D.

【变式3-1]若面积为20的正方形的边长为a,则a的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】B

【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出。的值，再利用夹逼法估算即可.

【详解】解：•••面积为20的正方形的边长为a,

■■-a2=20,

■-a=V20（舍负），

•••V16<V20<V25，

•■-4<V20<5,

■-a的值在4和5之间，

故选：B.

【变式3-2】估计同-2的值在（）

A.2到3之间B.3到4之间

C.4到5之间D.5到6之间

【答案】B

【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到5<同<6,则

3<731-2<4,据此可得答案.

【详解】解：•••25<31<36,

•■-5<V31<6,

•-3<V31-2<4,

故选：B.

【变式3-3】估计"+2的值在整数()

A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间

【答案】B

【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题

的关键.

根据夹逼法得出V7的范围，继而得出V7+2的范围.

【详解】••-4<7<9,

2<V7<3,

4<V7+2<5,

V7+2的值在整数4到5之间.

故选：B.

【题型4无理数整数部分或小数部分的有关计算】

【典例4］若8+VH的小数部分是a,6-VH的小数部分是6,则ab+76的值为.

【答案】5

【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据3<vn<4可得vn的小数部分，进而

得出8+后的小数部分与，五的小数部分相同，然后确定6-与4-VII的小数部分

相同，可得a,b,再代入计算即可.

【详解】解：•••3<vn<4,

・•.VH的小数部分是VH-3.

•••8+，五的小数部分与VH的小数部分相同，

■,■a—V1T-3.

,.•6-vn的小数部分与4-vii的小数部分相同，

■,-b=4-Vll-

.■.ab+7b=(Vn-3)(4—V1T)+7x(4—\/ll)

=4Vli-11-12+3VT1+28-7V11

=5.

故答案为：5.

【变式4-1】已知a,b为两个连续的整数，且。<场<匕，则a+6的平方根为.

【答案】±3

【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根，根据无理数的估算可得出

a=4,b=5,然后计算出a+b,再根据平方根的定义求解即可.

【详解】解：,；任<场(后

••.4<V21<5,

•・・。，6为两个连续的整数，

••.a=4,b=5,

±Va+T=±.4+5=±3,

故答案为：±3.

【变式4-2]a是VIU的整数部分，b是行的整数部分，则a+6=.

【答案】5

【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算得出整数部分计算即可.

【详解】解：与<715<4,2<Vs<3,

/.a=3,b=2,

/.a+b=3+2=5,

故答案为：5.

【变式4-3]若百的整数部分是a,小数部分是6,则a的值为.

【答案】2

【分析】本题考查无理数的估算，先估算V7的大小，求出整数部分即可.

22

【详解】■.-2<7<3,

,■,2<V7<3,

.•.V7的整数部分是a=2,

故答案为：2.

【题型5实数运算】

【典例5】计算：

(l)6xj|-V27+(V2)2;(2)-12022+7(-2)2+|2-V3|.

【答案】⑴1

(2)3-73

【分析】本题主要考查了实数的运算：

(1)先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可;

(2)先计算算术平方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加法即可.

【详解】(1)解:原式=6x^—3+2

=2-3+2

=1;

(2)解：原式=-1+2+2—

=3-V3，

【变式5-1】计算

(1)V8+Vo-JI(2)716+V0.25-V27

【答案】⑴|

(2)1.5

【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)先求立方根和算术平方根再加减计算;

(2)先求立方根和算术平方根再加减计算.

【详解】⑴解：V8+Vo-J1

1

=2+0--

==一3

2，

(2)解：V16+V0.25-V27

=4+0,5-3

=1.5.

【变式5-2】计算：+(—1)2023一照+诋.

【答案】-1

【分析】此题考查了实数的混合运算.利用立方根、乘方、算术平方根进行计算，再进

行有理数加减法即可.

=-1;

［变式5-3】计算：（-1）2024—口+五|；

【答案】6-V2

【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键.

先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可.

【详解】解：原式=1一（一2）+2-（正一1）

=1+2+2-V2+1

=6-V2.

【题型6程序设计与实数的运算】

【典例6】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8,可发现第1次输出

的结果是4,第2次输出的结果是2,依次继续下去，第2022次输出的结果是（）

A.8B.4C.2D.1

【答案】D

【分析】先计算出前面几次输出的结果，确定循环的组数，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：

1

第一次输出：］X8=4,

1

第二次输出：］X4=2,

1

第三次输出：］X2=1,

第四次输出：3xl+l=4,

第五次输出：|x4=2,

第六次输出：|x2=l,

每3次为一组进行循环，

2022+3=674（组），

二第2022次输出的结果是第674组的第三个，即第2022次输出的结果是1,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，以及探寻规律问题，要熟练掌握，解答此题

的关键要明确：从第一次输出的结果开始，每次输出的结果分别是4、2、1、4、2、

1、…，每3个数一个循环.

【变式6-1］有个数值转换器，程序原理如图.当输入爪=125时，输出〃的值等于（）

是有理数

A.5B.V5C.V5D.V25

【答案】C

【分析】把m=125按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取

出的立方根是无理数时，则是〃的值.

【详解】解：当m=125时，

125的立方根为5,5是有理数，

5的立方根是我，遥是无理数，则输出强，

所以输出强，

故选：C.

【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数加求立方根，立方根是有理

数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是〃值是解题的关键.

【变式6-2】小宝编写了一个程序，如下图.则x为.

输入X------>X------►立方根----->倒数------►算术平方根A2

【答案】±8

【分析】利用程序图的运算顺序，列出方程，利用算术平方根，立方根和倒数的意义逐

步求解即可.

【详解】解：由图可知:

11

y，

4,

■■■x2—64,

■■-x=+8,

故答案为：±8.

【点睛】本题主要考查了立方根与算术平方根的意义，熟练掌握立方根与算术平方根的

意义是解题的关键.

【变式6-3］按如图所示的程序计算，若开始输入的久值为81,则最后输出的y值是.

【答案】±3/3和—3/—3和3

【分析】读懂程序计算过程，把x=81代入程序中计算，判断结果是否是无理数，最后

得到结果.

【详解】由所示的程序可得：81的算术平方根是9,9不是无理数.故取平方根为±3,

输出.

故答案为：±3.

【点睛】本题考查了程序流程图与实数运算，平方根、算术平方根的计算，无理数的判

断，读懂程序计算的过程是解题的关键.

【题型7新定义下的实数运算】

【典例7】规定a*b=2°x2b,求：

(1)求1*2的值；

(2)若2*(久+1)=32,求x的值.

【答案］⑴8

(2口=2

【分析】本题是定义新运算的题目，需结合同底数募的乘法法则、解一元一次方程的知

识解答；

(1)根据新定义求解即可；

(2)根据新定义可得2*(x+1)=22x2(，+i)=22+X+1,可得2+x+l=5,求出x的

值即可.

【详解】(1)由题意得：1*2=21X22=8

(2)由题意得：2*Q+1)=22X2(X+】)=22+X+I=32=25

.,.2+x+l=5,解得：x=2

【变式7-1］在数学中定义了一种运算符号"!”它表示的含义如下：如：1!=1,

2!=2x1=2,3!=3x2x1=6,41=4x3x2x1,由止匕，请同学们思考需

的值为()

A.2009B.99!C.2010D.2!

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，读懂题目信息，理解运算符号"!"

的运算方法是解题的关键.

根据运算符号"!"的算法，列出计算即可得解.

3主解】解2010!2010x2009x2008x--x2xl

【详解】斛：5555?-2009X2008X-X2X1-2010-

故选：C.

【变式7-2】计算：定义新运算：对于任意实数a,b,都有aXb=a+》2.

例如：7X4=7+42=23.

⑴求5X3的值；

(2)求13派(1※封的平方根.

【答案】⑴14；

(2)±7

【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算

法则.

(1)根据新定义，列出算式进行计算即可；

(2)先根据新定义求出1※代，再次利用新定义，列出算式进行计算即可.

【详解】(1)raXb=a+b2

••5X3

=5+32

=14；

(2)※6=a+Z)2

••.1※返

=1+(V5)2

=1+5

=6

.•.13^(1^75)

=13X6

=13+62

=49

:13X(1※代)的平方根是士7.

【变式9-3］规定一种新运算“。",即a。b=a2-(l+b)，例如1O2=12-(1+2)=-2,

根据规定完成下列问题：

⑴求3O(-2)的值;

(2)求(一1)O［(—4)0(—3)］的值.

【答案】⑴10

(2)-18

【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解运算法则.

(1)利用新定义运算进行计算求解即可；

(2)利用新定义运算先计算括号里的，再计算括号外的即可.

【详解】(1)解：3O(-2)

=32-(1-2)

=9-(-1)

=9+1

=10；

(2)解：(-1)O[(-4)0(-3)]

=(-1)o[(-4)2一(1一3)]

=(-1)O[16-(-2)]

=(-1)O(16+2)

=(-1)o18

=(-1)2-(1+18)

=1-19

=-18.

【题型8实数中的实际应用题】

【典例8】如图，长方形4BCD的长为2cm,宽为1cm.

pC

1

A2B

（1）将长方形48CD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方

形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）

（2）求所拼正方形的边长.

【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为&cm.

【分析】（1）根据AB=2AD,可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割

一次，即可补全成一个新的正方形；

（2）设拼成的正方形边长为xcm,根据面积相等得到方程，即可求解.

【详解】（1）如图，

・；AB=2AD,找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼

成一个新的正方形；

（2）设拼成的正方形边长为xcm,根据题意得/=1x2=2,

.•.%=V2（负值舍去）

答：拼成的正方形边长为&cm.

【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割.

【变式8-1］有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2

和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dzn,宽为1dm的长方形

木条，请问最多能截出几块这样的木条？

32dm2

18dm2

【答案】2块

【分析】利用算术平方根的性质求出矩形的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可

得到截出长方形木条数.

【详解】解：••・V调=3&，V32=472

二矩形的长为7丘和宽为4VL

剩余的木料的长为3正与宽VL

•.-2>V2>1.4.5>3V2>3

・•・可以截出2块这样的木条.

【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是熟知实数的估算.

【变式8-2】用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P=4.有两个外观完

IX.

全相同的用电器，甲的电阻为18.4。，乙的电阻为20.8Q.现测得某用电器的功率为1500W,

两端电压在150〜170V,该用电器到底是甲还是乙？

【答案】甲

【分析】根据P=(，得到"=屈，分别求出甲乙的电压，故可求解.

【详解】•.？=(

■■U=VPR

，｛/甲=甲=V1500x18.4a166.13(v)，"乙=Jp/乙=V1500X20.8176.64(v),

该用电器是甲.

【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小

的能力，本题还用到物理中的电功率的知识.

【变式8-31如图1,有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形.

（1）拼成的正方形的面积是一，边长是「

（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大

正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由.

图1图2

【答案】（I）5；V5（2）V10

【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5,边长为5的算术

平方根；

（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10,边长为10的算术平方

根，在所给图形中截取两条长为VIU的且互相垂直的线段，进而拼合即可.

【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5,边长为：V5.

（2）如图所示，能，正方形的边长为

【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙

地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.

嗡达标测试/

L（2025•甘肃・模拟预测）下列各数中最小的是（）

A.-B.0C.D.-1

【答案】A

【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据任意两个实数都可以比较大小.正实数

都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即

可判断.

【详解】解：打<一1<。<兀，

最小的数是一百，

故选：A.

2.（24-25八年级上•宁夏银川•期末）下列实数中，无理数是（）

A.-0.101001B.—C.D.0

【答案】C

【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可.

【详解】解：A、是有理数，不符合题意；

B、是有理数，不符合题意；

C、是无理数，符合题意；

D、是有理数，不符合题意；

故选C.

3.（24-25八年级上•河南郑州•期中）估计遍-1的大致范围是（）

A.在-1到0之间B.在0到1之间C.在1到2之间D.在2到3之间

【答案】C

【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算.由4<6<9得到

2<V6<3,再根据不等式的性质即可求解.

【详解】解：；4<6<9,

•,-2<V6<3,

"'-1<V6—1<2.

故选：C.

4.（23-24七年级上•浙江宁波・期中）如图，面积为7的正方形力BCD的顶点4在数轴上，且

表示的数为1,若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点

所表示的数是关键.

根据正方形的边长是面积的算术平方根得4。=AE=心结合4点所表示的数及2E间

距离可得点E所表示的数.

【详解】解：,••正方形2BCD的面积为7,且AD=4E,

•1•AD=AE=V7>

7点4表示的数是L且点E在点4左侧，

•1•点E表示的数为：1-V7.

故选：C.

5.（23-24七年级上•山东淄博•期末）已知a,b分别是6-后的整数部分和小数部分，那么2a-b

的值是（）

A.3—V13^B.4—\/13C.V13D.5—\/13

【答案】C

【分析】本题主要考查的是无理数的估算和无理数的整数和小数部分，首先根据西<

后<岳可以得到2<6-后<3,所以可得6-而的整数部分是2,小数部分是4-

V13,然后再代入代数式计算求值即可.

【详解】解：西<g<岳，

•••3<V13<4,

-4<一713<—3,

•1•2<6-V13<3,

•••6-后的整数部分是2,

—2,

二小数部分是b=6-V3-2=4-V13,

2a—b=2x2-（4-713）=4-4+V13=V13.

故选：C.

6.（23-24八年级上•福建三明•期中）比较大小：1（填写">〃或

【答案】<

【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键.估算出

VH三的大小，即可判断出所求.

【详解】解：••-9<15<16,

•••3<V15<4,

故答案为：<.

7.（24-25七年级上•浙江金华・期末）若a<g<b,且a、b是两个连续的整数，贝

的值为.

【答案】-64

【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；先确定。，6的值，再代入求

出代数式的值.

【详解】解:T9<13<16,

••-3<V13<4,

/.a=3,b=4,

=（一4）3=-64.

故答案为：-64.

8.（24-25八年级上•云南昭通・期中）计算：（―l）?+6+甸++3X（-4）.

【答案】2

【分析】本题考查实数的混合运算.熟练掌握运算顺序，运算法则和性质，是解题的关

键.

先计算平方，绝对值，算术平方根，乘除法，最后计算加减法.

【详解】解：（―l）?+6+万一4|++3X（―4）

=1+6x2-4+5+（-12）

=1+12-4+