2024-2025学年人教A版高二数学重难点突破：导数的运算与切线方程综合【13类题型】

专题1-1导数的运算与切线方程综合

模块一导数的概念与运算模块二切线方程

【题型6】已知切点求切线

【题型1］导数的定义理解与应用

【题型7】已知切线斜率

【题型】利用求导公式求导运算

2【题型8］求过某点的切线

【题型3】复合函数求导【题型9】求曲线上的点到直线距离最小值

【题型10］奇偶函数的切线斜率问题

【题型4】导数的赋值运算

【题型11］切线条数问题

【题型5］原函数与导函数的对称性与周期性【题型12］公切线问题

【题型13】切线问题综合

模块一导数的概念与运算

【题型1】导数的定义理解与应用

导数的定义：函数/（X）在X=X。处瞬时变化率是lim电=lim"尤。+~）-"X。），我们称它为函数

—AxAx

y=/（x）在x=%处的导数，记作/''（飞）.

知识点诠释：

①增量8可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之间距离要多近

有多近，即IAx-01可以小于给定的任意小的正数；

②当Arf0时，在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=/（x°+Ax）T®）无限接近;

AxAx

f

③分子分母的数据要对应：尸@）=lim丝=lim5+的）一"X。）

【例题1】已知函数y=〃x)在x=不处的导数为1,则1加“尤°+、)二"尤°)=()

-2Ax

A.0B.-C.1D.2

2

【例题2】对于函数y=/(尤)，若尸(%)=2,则当"无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2

的式子有().

/(x0+/z)+/(x0)

h

C〃%+2%)+/(%)D〃/+21)一/(%)

•h•2h

1+h1

【巩固练习1】己知/(尤)=丁一当为-0时，f()-f()=

h

【巩固练习2】若函数y=/(x)在区间(db)内可导，且则煦的值

为()

A./'(%)B.2/(%)

C.-2/(^0)D.0

【巩固练习3】(多选题)已知/(x),g(x)在R上连续且可导，且/'(%)WO,下列关于导数与极

限的说法中正确的是()

/UzMz/U)/«+W-M)

A.lim=/'(%)B.lim=fV)

—AxAh->02Ah

x+3Ax

/(o)-/(^o)limg(Xo+M-g(x(j)=g'(Xo)

C.lim=ff(xo)D.

-3AxA巴/(%+©)-/(%)f'M

【题型2】利用求导公式求导运算

一、基本初等函数的导数公式

原函数导函数

fM=C(c为常数)/'(尤)=0

/(x)=x"(aeQ)f\x)=axa~x

/(x)=ax(a>0,aW1)fr(x)=ax]na

f(x)=log。x(a〉0,aw1)

xlna

尸(x)=e"

/(x)=lnx

f\x)=-

X

f(x)=sinxff(x)=cosx

f(x)=COSX/r(x)=-sinx

二、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)±g(x)]=f'{x)±g\x);

(2)函数积的求导法则："(%)g(尤)]=fr(x)g(x)+f(x)gr(x);

小7珈缶54■、已斗㈱,—C/'(X)g(X)一/(X)g'(X)

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,贝口嬴3]=------~g\x)--------.

特别地：(1)y=e"(x),y'=e，[/(x)+/'(x)]；(2)y=与，尸尸⑴]⑴

ee

【例题1】求下列函数的导数.

(1)/(彳)=-2/+4X2⑵/(x)=xe'

(3)/(%)=%sinx+cos%(4)/(x)=^1

x-\

【例题2】在等比数列｛4｝中，即“3=2,若函数/(x)=gx(x—aj(x—4)(x—g025)，则

r(o)=()

A.-22024B,22024C.-22025D,22025

【巩固练习1］求下列函数的导函数.

(l)/(x)=(x+l)lnx-'Vx；⑵“上手

【巩固练习2］求下列函数的导数.

Inx

(1)y=xex⑵尸

x2+l

【巩固练习3】设函数〃X)=X(X+D(X+2)(x+10),则八0)的值为()

A.10B.59C.10x9x---x2xlD.0

【题型3】复合函数求导

(1)复合函数的概念

一般地，对于两个函数丁="〃)和M=g(x),如果通过中间变量"，y可以表示成了的函数，那么称这

个函数为函数和”=g(x)的复合函数，记作y=Ag(x)).

(2)复合函数的求导法则正确地拆分复合函数是求导的前提

一般地，对于由函数>=/(")和"=g(x)复合而成的函数y=/(g(x)),它的导数y=/i>),”=g(x)的导数

间的关系为yx'—yu'-Ux,即y对x的导数等于y对〃的导数与u对x的导数的乘积

【例题1】求下列函数的导数.

(l)/(x)=(-2x+l)2；(2)〃x)=ln(4x-l)；

(3)/(无)=2的2(4)/(x)=A/5X+4；

【巩固练习1］求下列各函数的导数：

(l)y=ln(3%-2)；(2)j=e2x-1+|ln(2.x)

【巩固练习2】求下列函数的导数：

⑴y=(2x+3)i°；⑵y=e2''

(3)j=ln(3x-2)；(4)y=sin4x

【题型4】导数的赋值运算

若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对X赋值来求出解

【例题1］已知函数/(x)=r(0)e2x-e-\则/(0)=.

【例题2】已知函数/(x)满足满足/(尤)=/■'⑴61-/(0)尤+//；求/□)的解析式

【巩固练习1】已知函数“X)的导函数为尸⑺，且满足〃耳=/+/-⑴+2X-1,则/〈2)=

【巩固练习2】已知函数〃x)=2尸⑶尤-gJ+lnx(尸(x)是的导函数)，则〃1)=

【巩固练习3】已知/'(x)=gx2+2靖(2024)—2024向，则/'(2024)=.

【题型5】原函数与导函数的对称性与周期性

要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数

【例题1】可导函数y=〃x)的图象关于点3〃。))中心对称的充要条件是导函数y=/'(x)的图象

关于直线x=a对称.

【例题2】(23-24高二下•广东•阶段练习)已知定义在R上的连续函数/■(%)的导函数为g(x),则下

列说法第送的是()

A.若关于(。,0)中心对称，则g(x)关于彳=。对称

B.若g(x)关于*对称，则〃x)有对称中心

C.若/("为周期函数,则g(x)为周期函数

D.若/'(x+1)为奇函数，gQ-l)为偶函数，则g(x)周期为2

【例题3](22-23高三上•湖南益阳・期末)(多选)已知函数“X)及其导函数/'(x)的定义域均为R,

记g(x)=/'(x)，若〃x)关于直线元=2对称，g(4+2x)为奇函数，则()

A./(2)=0B.g(2024)=g(-2020)

C.8⑵二8网D.g⑷=2

【巩固练习1】(2022•新高考全国I卷•高考真题)(多选)已知函数f(x)及其导函数((无)的定义域

均为R,记g(尤)=/'(x),若g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g]£|=°C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【巩固练习2】.(23-24高二上•浙江杭州•期末)(多选)设定义在R上的函数/(x),g(x)的导函数分

别为八x)，g'(x)，若f(x+2)+g(2-尤)=2,尸(x)=g'(尤+2)且y=g(x+1)为偶函数，则下列说法中正确

的是()

A.g'⑴=0B.g(2)+g(3)+g(4)=0

C.g'(x)的图象关于x=3对称D.函数了。)为周期函数，且周期为4

【巩固练习3】(23-24高二下•浙江嘉兴.期末)(多选)己知函数f(x)及其导函数/'("的定义域均

为R,若F(x+2)"'(x+l)均为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A./(l)+/(3)=0B.尸(x)的图象关于点(2,0)对称

2024

c.〃尤+4)=广(龙)D.£f(k)=o

k=l

【巩固练习4](22-23高二下•安徽亳州•期末)(多选)已知函数/(x),g(x)及其导函数/'(x),g'(x)的

定义域均为R,/(x+1)为偶函数，函数y=g(x+l)的图像关于(-L0)对称，贝U()

A./(g(l))=/(2+g(-l))B.g(〃l))=-g(〃2))

c./(^(-i))=/(2-^(i))D.g，(r(T)=g，63))

模块二切线方程

【题型6】已知切点求切线

求在曲线上一点的切线

要点诠释：函数y=/(x)在点4(%,/(毛))处的切线方程为y-/(Xo)=/'(Xo)(x-Xo),

%=/(/)

抓住关键＜

A=7'(%)

【例题1】曲线y=ln2x在点处的切线方程为()

A.2x—y+1=0B.2%—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【例题2】已知函数〃x)=4e「_f(O)x+2(尸⑺是"力的导函数),则曲线y=/(x)在x=0处

的切线方程为.

【巩固练习1】(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数=则曲线y=〃x)在(0,1)

处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()

2

【巩固练习2】已知点P(-1,1)在曲线y=工上，则曲线在点尸处的切线方程为.

x+a

【题型7】已知切线斜率

已知切线斜率求参数

要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上.

【例题1】已知直线、=2是曲线y=lnx的切线，则切点坐标为()

A.B.(e,l)C.g,"D.(0,1)

【例题2】过原点O作曲线/(x)=e'-冰的切线，其斜率为2,则实数a=()

A.eB.2C.e+2D.e—2

【例题3](2024.全国•高考真题)若曲线y=e*+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+“的切线,

贝Ia=.

【巩固练习1】若曲线y=e*+a在x=0处的切线也是曲线y=lnx的切线，则"=()

A.-2B.1C.-1D.e

【巩固练习2】已知函数〃力在点x=—1处的切线方程为无+y-i=o,贝疗'(-1)+/(-1)=()

A.-1B.0C.1D.2

InY

【巩固练习3】若函数/(%)二——与屋力会…。在％=1处有相同的切线，则〃+8=()

x

A.-1B.0C.1D.2

【题型8】求过某点的切线

求过某点的切线

要点诠释：设切点为P(%,%),则斜率上=/'(%),过切点的切线方程为：y-%=/'(%)0-%0),

又因为切线方程过点A(a,。)，所以b-%=/'(/乂。-/)然后解出超的值.

以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图

【例题1】若曲线f(x)=lnx在点尸(％打)处的切线过原点0(0,0),则/=.

【例题2】过点(-1-1)与曲线y=/+x相切的直线方程为.

【巩固练习1](24-25高二上•江苏盐城•期末)若直线>=区+1是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则

人的值为()

A.~B.e2C.2D.r

2e

【巩固练习2】(22-23高二下•江苏苏州•期中)已知函数/(x)=2x+lnx,若过点(0,-1)的直线与曲

线y=/(x)相切，则该直线斜率为.

【巩固练习3】(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=in|x|过坐标原点的两条切线的方程

为，.

【题型9】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合.

【例题1］知P是函数=图象上的任意一点，则点尸到直线x-y-9=。的距离的最小值

是（）

A.372B.5C.6D.5加

【例题2】已知点M在函数，。）=短图象上，点N在函数g（x）=lnx图象上，则|MN|的最小值为（）

A.1B.0C.2D.3

【例题3】若4々eR,则（网-e*）2+（元2-的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【巩固练习1】点A在直线y=x上，点B在曲线＞=lnx上，贝的最小值为（）

5

A."B.1C.J2D.2

2

【巩固练习2】已知点P在函数"》）=02工+犬+9的图象上，则P到直线/：3x-y-10=0的距离的最

小值为.

【巩固练习3】已知aeR,beR,则而彳而不^『的最小值为-

【题型10］奇偶函数的切线斜率问题

奇偶函数的切线斜率问题

要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数

【例题1】已知函数/(")为偶函数，当％<0时，/(x)=ln(-x)+x2,则曲线、=/(%)在点(1"(D)处

的切线方程是()

A.3x-y-2=0B.3x+y—2=0C.3x+y+2=OD.3x-y+2=0

【例题2】已知是奇函数，当x<0时，f(x)=—^则函数〃x)的图象在x=l处的切线方程

为()

A.2%—y+l=0B.x—2y+l=0C.2x—y—1=0D.x+2y—1=0

【巩固练习1】已知函数/（X）是偶函数，当x>0时，/（X）=X3+2X,则曲线y=/（x）在x=-l处的

切线方程为（）

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5%+8

【巩固练习2】（2024•湖北・一模）已知函数〃力为偶函数，其图像在点（1,/。））处的切线方程为

%—2»+1=0,记的导函数为/'（%）,则/（—1）=（）

11

A.——B.-C.-2D.2

22

【巩固练习3】（23-24高三.河南洛阳•期末）已知函数g（x）为奇函数，其图象在点（a,g（。））处的切线

方程为2x-y+l=0,记g（x）的导函数为g'（x）,则g'（-。）=（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【题型11］切线条数问题（不涉及导数单调性）

要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断

【例题1】已知函数/。）=尤3-2x,则过点（2,-4）与曲线y=/（x）相切的直线有条.

【例题2］已知过点A（a,O）可以作曲线y=（x-l）e’的两条切线，则实数。的取值范围是（）

A.（1,+co）B.（-oo,-e）u（2,+<x>）

C.（-co,-2）u（2,+oo）D.（^>o,-3）u（l,+oo）

【巩固练习1】过坐标原点作曲线〃x）=e'（/-2x+2）的切线，则切线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【巩固练习2】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，

则a的取值范围是.

【巩固练习3】已知过点4。,。）作曲线C:y="短的切线有且仅有1条，则实数。的取值是（）

A.0B.4C.0或-4D.0或4

【题型12］公切线问题

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有

关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

公切线问题主栗有以下3类题型

求2个函数的公切线

解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

（2）2个函数存在公切线，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

已知两个函数之间公切线条数，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

【例题1】与曲线y=-和y=-匕都相切的直线方程为.