2024-2025学年人教A版高中数学选择性必修二第五章测评

第五章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.函数人x）=flnx的单调递减区间是（）

A.（谭

B.偿，+°°）

Cg,同（豆

D.[-f,0）,（0,f]

解析:函数fix）的定义域是（0,+oo）,

2

"x）=2g1=2r-1

令/（x）W0,解得0<xW孚

故函数»的单调递减区间为（0,.

答案:A

2.函数人的最大值是（）

1

A.1B,-

C.OD.1

解析八x）=312f.

令/（x）=0,解得x=g（舍去）或x=|.

vy（O）=O!/（l）=l^（|）=|-j=l,

函数而0在区间[0,1]上的最大值为1.

答案:A

3.已知函数火且於）在x=3处取得极值，则a=（）

A.2B.3

C.4D.5

解析『(x)=3/+2ax+3.

由题意知/(3)=0,

即3x(3)2+2ax(3)+3=0,

解得<2=5.

经检验<2=5满足题意.

答案:D

4.已知函数於)=f2cos羽则1271)<1(^2)川0823)的大小关系是()

3

A.^logi2)<^log23)</(2V2)

3

B.^logi2)</(2V2)<Xlog23)

3

C<log23)勺(logR)勺(2/)

3

D.X2V2)<Alog23)<Xlogi2)

3

解析:因为函数fix)=x12cosx,

所以Ax)=W22COS(X)^Icosx=J(x),又无£R,所以函数j\x)为偶函数.

/Xx)=2x+2sin%,因为当无£(0,2兀)时/(%)>0恒成立，

所以函数於)在区间(0,271)内单调递增.

因为|logi2|=|log32|<1<log23<2<2V2,

3

所以/logN2)<;(log23)<^2V^).故选A.

答案:A

5.已知函数人为的导函数八x)的图象如图所示,则函数人为的大致图象可能是()

解析:由题中导函数的图象，可知/(0)=0,当%<0时/(x)<0,则函数人x)在区间3,0)内单调

递减，排除A,B;当0<x<xi时/(x)>0,则函数兀。在区间(0,xi)内单调递增.因此当x=0

时次x)取得极小值.故选D.

答案:D

6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为尸(单位:元)，销售量

为。(单位:件)，且销售量。与零售价P满足关系式:。=8300170Pp2,则销售该批商品的

最大毛利润为(毛利润=销售收入进货支出)()

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)=P-Q20Q=。(尸20)=(8

300170PP2)(P20)=P3150P2+11700P166000,贝U〃仍)=3尸300尸+11700.令〃(P)=0,解得

P=30或130(舍)，此时£(30)=23000.因为P大于0,所以在尸=30的左侧L'(P)>0,右侧

〃(P)<0,所以L(30)是极大值也是最大值，即当零售价定为每件30元时,有最大毛利润23

000元.

答案:D

7.若函数於)=理，且0<xi<X2<l,设。=型包力=四二则,b的大小关系是()

xX2a

A.a>b

B.a<b

C.a=b

D.a,b的大小不能确定

Anxr,/、xcosx-sinx

解析r八x)=---.

设g(x)=xcosxsinx,

贝Ig'(x)=％sinx+cosxcos%=%sinx.

当0<x<l时，

函数g(x)在区间(0,1)内单调递减.

，g(x)<g(0)=0.

.♦.卅)<。

函数人工)在区间(0,1)内单调递减.

:.a>b.

故选A.

答案:A

8.已知函数於上可导，导函数为/(x),满足/(x)勺⑴,且加+5)为偶函数<10)=1,则不

等式而0<e，的解集为()

A.(0,+oo)B.(l,+co)

C.(5,+oo)D.(10,+oo)

解析:设g(x)=^，则g(x)=g等.

•"(x)勺2,

.,.g(x)在R上单调递减.

•函数力>+5)是偶函数，

函数五x+5)的图象关于直线x=0对称.

/.函数Hx)的图象关于直线x=5对称.

原不等式等价为g(x)<l.

,；g(o)=与=1，且g。)在R上单调递减，

...g(x)<l,即g(x)<g(0)的解集为{x|尤>0}.

...不等式»<eA-^解集为(0,+00).故选A.

答案:A

二,选择题(本大题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列说法中正确的是()

A.命题FxdR,使得x^x+KO”的否定是真命题

B.xW1,且户1是“x+yW2”的充要条件

C.已知/(x)是火x)的导函数，若VxGR『(x)NO,则丑1)勺(2)一定成立

D.已知a,b都是正数，且等>今则a<b

解析:命题叼x©R,使得^^/1〈。”的否定是“工^^都有f2x+l20”,

由xeR,f2x+l=(xl)2三0恒成立，知A正确；

当xWl,且yWl时,x+yW2成立，则充分性成立，

当x+yW2时,xWl,且yWl不一定成立，则必要性不成立，故B错误；

若人x)是常数函数，则41)<#2)不成立，故C错误；

a力都是正数，且震>今

则+/?>〃/?+〃,即〃〈瓦故D正确.

故选AD.

答案:AD

10.已知函数抬尸出后〃其导函数为八顼下列说法正确的为()

A段)的单调递减区间是(|,2)

B{x)的极小值是15

C.当a>2时，对任意的x>2,且若a,恒有fix)<J(a)+f(a)(xa)

D.函数兀0有且只有一个零点

解析；/(x)=2%24x7,

其导函数为八%)=3『4".

令八x)=0,

解得》=|或x=2.

当x变化时了⑴人为的变化情况如下表：

2

X22(2,+8)

(法|)3Gi)

Ax)+00+

便单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以当x=g时，函数人为有极大值，极大值为

当x=2时，函数人为有极小值，极小值为汽2)=15.

故函数而0只有一个零点.故A错误,BD正确；

设g(x)守口),则g(x)=6x4.当x>2时,g(x)>0,故g(x)即八x)在区间(2,+oo)内单调递增.设

G(x)=J(x)f(a)f(a)(xa)(x>2),

则G'(x)=f(x)f(a).

令G(x)=O,得x=a.

所以G(x)在区间(2,0内单调递减，在区间(a,+00)内单调递增，

所以函数G(x)在x=a处取得极小值也是最小值G(a)=Q.

故当a>2时，对任意的x>2,且#a,恒有G(x)>O和/(x)/a)tf(a)(xa).

故C错误.故选BD.

答案:BD

11.对于函数人》)=,，下列说法正确的是()

A.7(x)在》=正处取得极大值安

B{x)有两个不同的零点

C人/)<五及)<_/(E)

D.若人为<《在(0,+8)内恒成立，则吟

解析:函数人沙定义域为(0,+00)产(%)=蚂受警Q=学=甯.

令/(x)=0,解得％=五.

当0<x<五时/(x)>0/：x)在区间(0,五)内单调递增；

当x>正时/(x)<0；/(x)在区间(粕,+oo)内单调递减.

所以函数y(x)在％=正处取得极大值人在)=*.

因为函数人x)在区间(加,+00)内单调递减次A②寸2),2>五>V3,

所以4)勺(代)勺(百),即人鱼)<八五)勺h⑶.

故A,C正确.

令於)=^=°，解得％=1，

故函数«x)有一个零点.

故B错误.

由於)<心得心

设8(》)=妥。>0,则g,(x尸学.

令g'(x)=O,解得x=eW.

11

所以g(x)在区间(O,eW)内单调递增，在区间(e-2,+00)内单调递减，

1„„

所以g(x)max=g(e，)=1则左>5.故D正确.

故选ACD.

答案:ACD

三、填空题(本大题共3小题,每小题5分，共15分.把答案写在题中的横线上)

12.已知函数yJ的f^+Baf+BOx+c在x=2处有极值，其图象在点(1次1))处的切线平行于

直线6x+2y+5=0,则1Ax)的极大值与极小值之差为.

解析f(x)=3f+6ax+30.

由题意得｛描二°3,

噫常院之：二°3,解砧二

所以f(x)=3x26x.

令/(x)=O,解得x=O或x=2.

由函数的单调性，可得函数火x)的极大值点是x=O,极小值点是%=2.

所以兀0极大使_力>)极小值=/(0)/2)=4.

答案：4

13.已知函数火x)=41nx+ax26x(a为常数)，若x=2为火工)的一个极值点，则

7(2)=，a=.

解析:函数_/(x)=41nx+tzx26x(a为常数)，

贝1f(x)=-+2ax6.

Vx=2为八工)的一^极值点，

.•・/(2)=2+4〃6=0,解得a=l.

经检验，符合题意.

答案：01

14.若函数而0=言在区间(加,2机+1)内单调递增,则实数m的取值范围是.

解析:人劝的定义域为

令得1<%<1,

则函数於)的单调递增区间为(1,1).

因为«x)在区间(根,2机+1)内单调递增，

(m>-1,

所以加<2m+1,

(2m+1<1.

解得1〈机WO.

答案：(1,0]

四,解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知是实数,1和1是函数7(%)=/+0%2+云的两个极值点.

(1)求a和b的值;

(2)设函数g(x)的导函数g<x)=/(x)+2,求g(x)的极值点.

解：(1次尤)=+2狈+6.

由题意知八l)=32a+6=0/(l)=3+2a+£>=0,

解得a=O,b=3.

经检验a=Q,b=3符合题意.

(2)由(1)知

因为g'(x)=/(x)+2=(xl)2(x+2),

所以g'(x)=。的根为x\-xi=1,尤3=2.

于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.

当x<2时,g<x)<0;

当2<x<l时，

g<x)>0,故2是g(x)的极值点.

当2<尤<1或%>1时,g<x)>0,

故1不是g(x)的极值点.

所以g(x)的极值点为2.

16.(15分)设函数<》)=混叫",曲线产危)在点(2次2))处的切线方程为y=(el)x+4.

(1)求a,b的值；

(2)求人x)的单调区间.

解：(1)因为兀0=无eax+Zzr,

所以/(x)=(lx)e5+6.

/(2)=2e+2,2ea-2+2b=2e+2,

由题意得

(2)=e-1,-ea~2+b=e-1,

解得｛:二j

(2)由(1)知_/(x)=xe2x+exJ(x)的定义域为R.

f(x)=e2x(lx+exl).

因为e2r>0,

所以r(x)与lx+e"同号.

设g(x)=lx+e",则g'(x)=l+e*i.

令g'(x)=0,解得x=l.

当xeQ,l)时,gQ)<0,

则函数g(x)在区间(00,1)内单调递减；

当xG(l,+oo)时,gQ)>0,

则g(x)在区间(l,+oo)内单调递增.

故g(l)=l是函数g(x)在区间(co,+00)内的极小值也是最小值，

从而g(x)>0在R上恒成立.

所以/(x)>0在R上恒成立.

故函数人助的单调递增区间为3,+00),无单调递减区间.

17.(15分)某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年

投入广告费/(单位:百万元)，可增加销售额约为P+5/(单位:百万元)(0W/W3).

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费,才能使该公司

获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改

造费x(单位:百万元)，可增加的销售额为+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方

案，使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额投入)

解⑴设投入/(单位:百万元)的广告费后增加的收益为五。(单位:百万元)，

贝U火/)=(*+5"=户+由=(72)2+4(0W/W3).

所以当t=2时次f)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.

(2)设用于技术改造的资金为其单位:百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(单位:百万

元)，由此获得收益是g(X)(单位:百万元)，则g(x)=(—+X2+

3%)+[(3%)2+5(3%)]3=¥+4%+3(0・无・3),所以g'(x)=x2+4.

令g'(%)=0,解得％=2(舍去)或x=2.

因为当0Wx<2时,g(x)>0,函数g(x)在区间［0,2)内单调递增；

当2<xW3时£'(%)<0,函数且。)在区间(2,3］上单调递减.

所以当x=2时,g(x)取得极大值也是最大值，即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广

告促销，该公司由此获得的收益最大.

18.(17分)已知函数I/(x)=lnxax(aGR).

(1)求函数五x)的单调区间；

⑵当。>0时，求函数段)在区间［1,2］上的最小值.

解：(1)函数加0的定义域为(0,+oo),

对«x)求导，得/(x)=夕.

①当aWO时/(x)=%>0,所以函数人光)的单调递增区间为(0,+oo),无单调递减区间.

②当a>0时，令人乃=夕=0,解得x=3

当0<x<5时/(%)=詈>0;

当x>5时/(%)=号<0,

故函数»的单调递增区间为(0*),单调递减区间为("+00).

综上可知,当aWO时，函数为0的单调递增区间为(0,+oo),无单调递减区间；

当a>0时,函数危)的单调递增区间为(0,。单调递减区间为&+

⑵①当时，函数Hx)在区间［1,2］上单调递减，

所以八元)的最小值是f(2)=ln22a.

②当0<。旺,即42时,函数於)在区间［1,2］上单调递增,所以加)的最小值是火l)=a

③当9a<1,即1<32时,函数段)在区间［13)内单调递增，在区间&,2］上单调递减.

-1

因为/(2)/(l)=ln2a,所以^-<tz<ln2时，最小值是火l)=a;

当ln2Wo<l时，最小值为五2)=ln22a

综上可知，当0<tz<ln2时，函数/(x)的最小值是

当a》ln2时，函数八》)的最小值是五2)=ln22a

19.(17分)已知函数火x)=。2片+破灯)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设X1,X2是段)的两