2025高考数学核心考点复习：计数原理（原卷版）

第06讲：计数原理

【题型归纳】

＞题型1：两个计数原理综合

＞题型2：捆绑法

＞题型3：插空法

＞题型4：特殊元素法

＞题型5：间接法

＞题型6：隔板法

＞题型7：定序问题

＞题型8：不平均分组问题

＞题型9：平均（部分）分组问题

＞题型10：特殊位置法

＞题型11：染色问题

＞题型12：排数问题

【题型探究】

题型1：两个计数原理综合

1.（2025•全国•模拟预测）如图（1）,由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟

合方盖”（如图（2））,牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为123,4,然

后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方

法种数（）

图（1）图（2）

A.24B.48C.60D.84

2.（2025•云南・一模）如图，用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜

色，则不同的涂法共有（）

A.400种B.460种C.480种D.496种

3.（2025・辽宁•一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一

次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该

点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有

奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法

有种.

①②③

题型2：捆绑法

4.（2025•河北邯郸・二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电

路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（）

A.-B,-C.1D.—

35210

5.（2025•河北•模拟预测）某班有A,B,C,D,E五名同学要排成一排进行拍照，其中8同学不站在两端，C,

。两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（）

A.12B.24C.36D.48

6.（2025•江西新余•模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航.希望中学高三（8）班的九名身高互不

相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友

在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位,他们要求要站在同一行相邻的位置,则不同的排列方式共有（）

种.

A.200B.300C.400D.600

题型3：插空法

7.（2025・山东聊城•模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，

马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（）

A.16种B.12种C.8种D.6种

8.（2024高三・全国•专题练习）数学竞赛中，某校有尸共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留

念时，假设A,2两人必须相邻且站在正中间，C,。两人不能相邻，则不同的站法共有（）

A.48种B.40种C.32种D.24种

9.（2024・四川成都.模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种

阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排

成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（）

A.120种B.24种C.36种D.12种

题型4：特殊元素法

10.（2025•河南•模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名

无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（）

A.524种B.564种C.624种D.664种

11.（2025・广西•三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳

远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（）

A.12B.18C.24D.32

12.（24-25高三上•湖北武汉•期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同学分别报名参加跳

远，跳高，铅球，跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则

不同的报名方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.240种

题型5：间接法

13.（2025•宁夏吴忠・一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A.141种B.144种C.147种D.149种

14.（2025•陕西咸阳•二模）2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由

于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致

一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何

事都会有好兆头.那么，用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为（）

A.294B.297C.298D.300

15.（2025高三•全国•专题练习）多个平台公布了“2023年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取

12个流行语，包括“i人/e人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺xx”“情绪价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一

个XX”“搭子，，“命运的齿轮开始转动”“质疑XX,理解XX,成为“，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺XX”“遥遥领先”

在多个平台公布的“2023年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”.从这12个流行语中选择4个不同的流行语,

则至多包含2个“最热流行语”的选法共有（）

A.482种B.462种C.392种D.270种

题型6：隔板法

16.（2025•江苏泰州•二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额

分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配

的不同种数为（）

A.210B.35C.40D.120

17.（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）把分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每

人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（）

A.60B.36C.30D.12

18.（2025•安徽•模拟预测）现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同

的放法共有（）

A.24种B.35种C.56种D.70种

题型7：定序问题

19.（24-25高三上•浙江绍兴・期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装

运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（）

////////////////////////////

A.12B.16C.20D.24

20.（24-25高三上•广东•开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地.某大学一个寝室

6位同学A,民C2E户慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求A,8相邻，C在。的左边，则不同的

站法共有（）

A.480种B.240种C.120种D.60种

21.（22-23高三上・贵州贵阳•阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出

场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（）

A.24种B.40种C.60种D.84种

题型8：不平均分组问题

22.（24-25高三下•海南省直辖县级单位）文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学

到A、8、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点,

则不同的安排方法共有（）

A.68种B.98种C.100种D.120种

23.（24-25高三上•湖南永州）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿

者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志

愿者分配方案的种数是（）

A.38B.42C.50D.56

24.（24-25高三上•山西大同•期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导

游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌

导游前往，则不同的分配方法种数有（）

A.360B.640C.1350D.1440

题型9：平均（部分）分组问题

25.（2025・湖南娄底•二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色.某个假期期

间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油耙耙这

6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美

食的不同选法种数为（）

A.90B.120C.150D.180

26.（2025高三•全国・专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色.现有一名游客每天分别

从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分

先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A.15B.90C.270D.540

27.（24-25高三下•山东聊城•开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文

化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（）

A.180B.360C.450D.540

题型10：特殊位置法

28.（2025•广东惠州•一模）2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物

资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安

排方法共有（）

A.9种B.12种C.15种D.18种

29.（2025・湖北•二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C、。四项服务工作，要

求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加8项工作，乙必须参加。项工作，则不同的

安排方法数有（）

A.36种B.42种C.54种D.72种

30.（2025・湖南•二模）甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询

问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人

的名次排列的情形有（）

A.36种B.48种C.54种D.64种

题型11：染色问题

31.（2025・辽宁・模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正

反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同

32.（2025高三・全国・专题练习）《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用.古代先民认为，天下万

物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.如图是五行图，现有5种颜色

可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一

种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）

布

A.960B.1020C.2150D.3125

33.（2024•全国•模拟预测）如图，A,B,C,。为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域

进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，8与。不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（）

题型12：排数问题

34.（2025・四川自贡•二模）现有数字1,2,2,3,3,3,若将这六个数字排成一排，则数字2,2恰好相邻的概率

为（）

A.—B.-C.-D.-

12493

35.（2025・安徽六安•模拟预测）用0,1,2,3,4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A.48个B.60个C.72个D.120个

36.（24-25高三上•广东深圳•期末）只用1,2,3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且

同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（）

A.30个B.36个C.42个D.48个

【高考达标】

一、单选题

1.（2025・山东聊城•模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模

的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室.2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露

实验完成.在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完

成其他任务，则不同的安排方案有（）

A.30种B.60种C.72种D.114种

2.（2025•江西鹰潭•二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上

映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排

列方式共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

3.（2025・安徽•模拟预测）2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜.甲、

乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地

方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）

A.120种B.150种C.180种D.300种

4.（2025・全国•模拟预测）昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥

米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他

恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A.18B.24C.36D.42

5.（2025•山西•二模）甲组有2名男生，3名女生；乙组有3名男生，2名女生.若从甲、乙两组中各选2名学生，选

出的4人中恰有1名女生的选法种数为（）

A.24B.25C.30D.36

6.（2025・四川达州•模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志

愿者分配到个人赛、对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛

场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（）

A.69B.72C.75D.90

7.（2025•甘肃平凉•模拟预测）中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、

乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人

参加，则不同安排方案的种数为（）

A.150B.180C.240D.300

8.（2025•河南郑州•二模）某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每

个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

13111311

9.（2025•河南焦作•二模）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，

某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲

节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）

A.1B,」D.二

6201060

10.（2025•河北保定•一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径

作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个

区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（）

A.120B.240C.300D.320

二、填空题

11.（2025・广东清远•二模）一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或

向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P（4,2）的跳法共有种.（用数字作答）

12.（2025•广东湛江•二模）4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，

则不同的站法共有种.

13.（2025・四川泸州•模拟预测）某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦

节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法

种数为.（用具体数字作答）

14.（24-25高三下•山东聊城）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，

选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，

丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为.（用数字作答）

15.（2025・山东•模拟预测）现有第19届亚运会、第9届亚冬会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”“滨滨”“妮妮”卡片各一张,

将这5张卡片贴在墙上，贴成上下两行，第一行2张，第二行3张，贝『'滨滨”和“妮妮”卡片在不同行的不同贴法的

种数为.（用数字作答）

16.（2025・贵州遵义•模拟预测）某市举行数学“兀”节竞赛活动，某学校有7名数学成绩优秀的学生，其中4名男生

3名女生，该学校需从中选派3