2022年内蒙古成人高考高起点数学(文)真题及答案

2022年内蒙古成人高考高起点数学(文)真题及答案选择题1.设集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A\capB=$（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{2,3,4\}$D.$\{1,3,4\}$答案：B分析：交集是由所有既属于集合$A$又属于集合$B$的元素所组成的集合，所以$A\capB=\{2,3\}$。2.函数$y=\frac{1}{x-1}$的定义域是（）A.$\{x|x\neq0\}$B.$\{x|x\neq1\}$C.$\{x|x\gt1\}$D.$\{x|x\lt1\}$答案：B分析：要使分式有意义，则分母不为零，即$x-1\neq0$，解得$x\neq1$，所以定义域为$\{x|x\neq1\}$。3.下列函数中，为偶函数的是（）A.$y=x^3$B.$y=x+1$C.$y=\frac{1}{x^2}$D.$y=x$答案：C分析：对于函数$f(x)$，若$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数。选项C中，设$f(x)=\frac{1}{x^2}$，$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$，所以是偶函数。4.不等式$|x-2|\lt1$的解集是（）A.$\{x|1\ltx\lt3\}$B.$\{x|x\lt1或x\gt3\}$C.$\{x|-1\ltx\lt1\}$D.$\{x|x\lt-1或x\gt1\}$答案：A分析：由$|x-2|\lt1$可得$-1\ltx-2\lt1$，不等式两边同时加2，得到$1\ltx\lt3$。5.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=$（）A.0B.1C.2D.3答案：A分析：向量点积公式为$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$，这里$a_1=1$，$a_2=2$，$b_1=2$，$b_2=-1$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+2\times(-1)=0$。6.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3=6$，则公差$d=$（）A.1B.2C.3D.4答案：B分析：根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_3=a_1+2d$，将$a_1=2$，$a_3=6$代入可得$6=2+2d$，解得$d=2$。7.函数$y=\sinx$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$答案：C分析：根据正弦函数的性质，$y=A\sin(\omegax+\varphi)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，对于$y=\sinx$，$\omega=1$，所以$T=2\pi$。8.已知直线$l$过点$(1,2)$，且斜率为$3$，则直线$l$的方程为（）A.$y-2=3(x-1)$B.$y-1=3(x-2)$C.$y-2=-3(x-1)$D.$y-1=-3(x-2)$答案：A分析：点斜式方程为$y-y_0=k(x-x_0)$，其中$(x_0,y_0)$为直线上一点，$k$为斜率，已知点$(1,2)$，斜率$k=3$，所以直线方程为$y-2=3(x-1)$。9.抛物线$y^2=8x$的焦点坐标是（）A.$(2,0)$B.$(0,2)$C.$(4,0)$D.$(0,4)$答案：A分析：对于抛物线$y^2=2px(p\gt0)$，其焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$，由$y^2=8x$得$2p=8$，$p=4$，则$\frac{p}{2}=2$，焦点坐标为$(2,0)$。10.若$\log_3x=2$，则$x=$（）A.6B.9C.12D.18答案：B分析：根据对数的定义，若$\log_ax=b$，则$x=a^b$，这里$a=3$，$b=2$，所以$x=3^2=9$。11.函数$y=2\cos^2x-1$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$答案：B分析：根据二倍角公式$\cos2x=2\cos^2x-1$，则$y=2\cos^2x-1=\cos2x$，$y=A\cos(\omegax+\varphi)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，这里$\omega=2$，所以$T=\pi$。12.已知函数$f(x)=x^2+2x-3$，则$f(2)=$（）A.5B.6C.7D.8答案：C分析：将$x=2$代入$f(x)=x^2+2x-3$，得$f(2)=2^2+2\times2-3=4+4-3=7$。13.已知$\tan\alpha=2$，则$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{5}$答案：B分析：分子分母同时除以$\cos\alpha$，则$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha+1}$，把$\tan\alpha=2$代入得$\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。14.已知点$A(1,-2)$，$B(3,4)$，则线段$AB$的中点坐标是（）A.$(2,1)$B.$(2,-1)$C.$(4,2)$D.$(4,-2)$答案：A分析：若有两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则线段$AB$中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，这里$x_1=1$，$x_2=3$，$y_1=-2$，$y_2=4$，中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{-2+4}{2})=(2,1)$。15.已知圆的方程为$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，则圆心坐标是（）A.$(1,-2)$B.$(-1,2)$C.$(1,2)$D.$(-1,-2)$答案：A分析：圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其圆心坐标为$(a,b)$，所以圆$(x-1)^2+(y+2)^2=4$的圆心坐标为$(1,-2)$。16.函数$y=3^x$的值域是（）A.$(0,+\infty)$B.$[0,+\infty)$C.$(1,+\infty)$D.$[1,+\infty)$答案：A分析：因为指数函数$y=a^x(a\gt0且a\neq1)$的值域是$(0,+\infty)$，对于$y=3^x$，$a=3\gt0$，所以值域是$(0,+\infty)$。17.已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_2=2$，则公比$q=$（）A.1B.2C.3D.4答案：B分析：等比数列公比$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$，这里$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2$。18.函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域是（）A.$\{x|x\geq0\}$B.$\{x|x\geq1\}$C.$\{x|x\gt0\}$D.$\{x|x\gt1\}$答案：B分析：要使根式有意义，则根号下的数非负，即$x-1\geq0$，解得$x\geq1$，所以定义域为$\{x|x\geq1\}$。19.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，则$|\overrightarrow{a}|=$（）A.5B.6C.7D.8答案：A分析：向量模长公式$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$，对于$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$。20.已知直线$l_1:2x+y-3=0$，直线$l_2:x-2y+1=0$，则两直线的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合答案：B分析：直线$l_1$的斜率$k_1=-2$，直线$l_2$的斜率$k_2=\frac{1}{2}$，$k_1k_2=-2\times\frac{1}{2}=-1$，所以两直线垂直。填空题21.函数$y=2\sinx\cosx$的最大值是____。答案：1分析：根据二倍角公式$\sin2x=2\sinx\cosx$，则$y=2\sinx\cosx=\sin2x$，正弦函数的值域是$[-1,1]$，所以最大值是1。22.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_1=1$，$a_5=9$，则$S_5=$____。答案：25分析：根据等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，这里$n=5$，$a_1=1$，$a_5=9$，则$S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=25$。23.若函数$f(x)=ax^2+bx+3$满足$f(1)=f(3)$，则$f(2)=$____。答案：3分析：因为$f(1)=f(3)$，说明二次函数$f(x)=ax^2+bx+3$的对称轴为$x=\frac{1+3}{2}=2$，二次函数在对称轴处取得最值，且对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，$x=-\frac{b}{2a}$为对称轴，又因为二次函数关于对称轴对称，所以$f(2)$的值就是函数的最值，把$x=2$代入得$f(2)=4a+2b+3$，由对称轴$x=2=-\frac{b}{2a}$可得$b=-4a$，代入$f(2)$得$f(2)=4a-8a+3=3$。24.已知$\sin\theta=\frac{3}{5}$，$\theta$是第二象限角，则$\cos\theta=$____。答案：$-\frac{4}{5}$分析：根据三角函数平方关系$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，则$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}$，因为$\theta$是第二象限角，余弦值为负，所以$\cos\theta=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。25.已知直线$l$的倾斜角为$45^{\circ}$，且过点$(0,1)$，则直线$l$的方程为____。答案：$y=x+1$分析：直线的倾斜角为$45^{\circ}$，则斜率$k=\tan45^{\circ}=1$，又过点$(0,1)$，根据点斜式$y-y_0=k(x-x_0)$，可得$y-1=1\times(x-0)$，即$y=x+1$。解答题26.已知函数$f(x)=x^2-2x-3$，（1）求函数$f(x)$的零点；（2）求函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。解：（1）令$f(x)=0$，即$x^2-2x-3=0$，分解因式得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，所以函数$f(x)$的零点为$-1$和$3$。（2）函数$f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，其对称轴为$x=1$。当$x=1$时，$f(1)=(1-1)^2-4=-4$；当$x=0$时，$f(0)=0^2-2\times0-3=-3$；当$x=3$时，$f(3)=3^2-2\times3-3=9-6-3=0$。所以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最小值是$-4$，最大值是0。27.已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）求数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。解：（1）等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，已知$a_1=2$，$q=3$，则$a_n=2\times3^{n-1}$。（2）等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)$，把$a_1=2$，$q=3$代入得$S_n=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=3^n