量子力学（第2版）课件 6 一维定态的一般性质 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化

§2-6一维定态的一般性质知识点教学目标一维定态的一般性质一维束缚定态的性质势能具有空间反演不变性时的一维束缚定态波函数的宇称会证明一维定态的几个性质。能利用一维定态的性质解决一些简单的实际问题。熟练掌握一维束缚定态的性质。

本节内容

8个定理定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一维定态薛定谔方程设是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭也是该方程的一个解，且与对应同一能量本征值。一维定态薛定谔方程取复共轭，且考虑到，则定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8对于一维定态薛定谔方程，如果和是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有已知上面两式两边分别乘以和，然后相减，得（c是与x无关的常数）定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2。设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则上面两式两边分别乘以c2和c1，然后相减，得令，则与假设矛盾。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8对一维束缚定态，所有能级都不简并。设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则对束缚态则两者代表同一个量子态，因此能级不简并。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8一维束缚定态的本征函数可以是实数。由定理1知：和都是薛定谔方程的解，且对应同一本征值。由定理4知：一维束缚定态能级不简并。所以，和最多相差一常数因子，即取复共轭，则取，，则即本征函数可以取实数。定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8设势能具有空间反演不变性，即。若是一维定态薛定谔方程的一个解，则也一定是对应同一个能量本征值的另一个解。作代换，则考虑到，得一维定态薛定谔方程定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8对于一维束缚定态，如果势能具有空间反演不变性，则所有能量本征态都有确定的宇称。所以若，则由定理6知：和都是方程的解，且对应同一本征值。由定理4知：一维束缚定态能级不简并。作代换，则若，则偶宇称奇宇称则定理1定理2定理3定理4定理5定理6定理7定理8如图所示，在一维情况下，若U(x)在x0点不连续，且U1、U2有限，则在x0点及仍连续。对方程作运算，则第一项第二项又则ABCD提交6-1对于一维定态，下列说法正确的是所有能级不简并。能级的简并度最大为2。能级的简并度最大为3。能级的简并度最大为4。

单选题1分§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化知识点教学目标自由粒子自由粒子能量本征函数的规格化本征函数的箱归一化束缚态和非束缚态明白自由粒子的概念。学会自由粒子能量本征函数规格化的方法。理解一维自由粒子箱归一化的含义。本节内容1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化自由粒子：运动过程中不受外力作用的粒子，即。时令，则一维情况

两个特解分别为显然有；、都不能满足波函数有限性的要求。方程无解。1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化时令，则两个特解分别为若k的取值范围选为从负无穷到正无穷，其解合并为能量本征值动量取值能量本征函数k>0表示粒子向右运动k<0表示粒子向左运动由于k取值连续，所以能量取值连续。除基态外能量本征值二度简并。1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化困难：本征函数不是平方可积的波函数，无法归一本征函数的规格化对无限扩展的平面波只能进行所谓的规格化，即将其规格化为δ函数。规格化常数

规格化（“归一化”）后的波函数为或也是动量算符的本征函数1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化三维情况

或1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化限定粒子在[-L,L]的范围内运动，箱外的波函数为零。假定粒子动量或动能算符的本征函数仍为。一维情况周期性条件：粒子出现在箱两端的概率相同，即由此得动量和能量的本征值都是断续的。若L→∞，能级连续，与自由粒子能量本征值取值连续相吻合。1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化波函数归一化三维情况1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化束缚态和非束缚态连续谱非束缚态能量本征函数在无穷远处不为零，如自由粒子的本征态断续谱束缚态能量本征函数在无穷远处为零，如箱中粒子的本征态ABCD提交6-2一维自由粒子的波函数为，则它既是动量本征函数，也是能量本征函数。是动量本征函数，但不是能量本征函数。是能量本征函数，但不是动量本征函数。既不是动量本征函数，也不是能量本征函数。单选题1分1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化例1.设一维自由粒子的波函数为，验证它既是动量的本征函数，也是能量的本征函数。因为所以所以，初始时刻波函数为1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化例2.设一维自由粒子在初始时刻处于状态，求。或者说，若系统在初始时刻的状态为因为薛定谔方程的一般解为定态波函数的线性叠加，即则t时刻状态为1自由粒子波函数的规格化2本征函数的箱归一化该题中，初始时刻波函数为，它是能量本征态，所以例3.设一维自由粒子的波函数为，它是无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加。试问它是否是能量本征态？由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以它也是无穷多个能量本征