2025年人教B版高中数学必修第一册导学案：不等式及其性质

2.2不等式

2.2.1不等式及其性质

【课程标准】理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

新知初探-自主学习

教材要点

知识点一实数大小比较

1.文字叙述

如果a—b是,那么a>b-,

如果a——b,那么a=b；

如果a—6是,那么反之也成立.

2.符号表示

a-b>b；

a~b—00〃b；

a~b<.b.

状元随笔1.不等式“aWb”的含义是“a<b”或“a=b”.

2.比较两实数a,b的大小，只需确定它们的差a—b与0的大小关系，与差的具体数

值无关.因此，比较两实数a,b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a—b的符

号，变形的常用方法有配方、分解因式等.

知识点二不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b=________可逆

2传递性a>b,b>c=________

3可加性a>bo________可逆

a>b

c〉0

4可乘性C的符号

cOb:

>

c<0f

aZ>b

5同向可加性=>同向

c>d______

同向同正可乘a>b>0

6今同向

性c>d>0________

7可乘方性a>b>0=>________(〃£N,〃22)同正

8可开方性a>b>0=>______(〃&N,2)同正

状元随笔（1）性质3是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边

移到另一边.即a+b>cna>c—b.性质3是可逆性的，即a>b=a+c>b+c.

（2）注意不等式的单向性和双向性.性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可

逆的.

（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.要

克服“想当然”“显然成立”的思维定势.

知识点三证明问题的常用方法

方法定义

综合法从________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.

从要证明的________,_______使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结

分析法

论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

首先假设结论的_______成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成

反证法

立.反证法是一种间接证明的方法.

基础自测

1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货

物的总质量T满足关系（）

A.T<40B.T>40

C.TW40D.TN40

2.设M=N,N=~x-l,则〃与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.与尤有关

3.已知x<a<0,则一定成立的不等式是（）

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<（zx<0D.x2>a2>ax

课堂探究-素养提升

题型1比较大小

例1比较X2—X和X—2的大小.

状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

方法归林

用作差法比较两个实数大小的步骤

两个实数(或代数式)的大小，可以根

据它们的差的符号进行判断

T⑴进行因式分解转化为多个因式相乘］

-{⑵通过配方转化为几个非负实数之和］

T注意题目本身提供的字母的取值范围］

根据符号判断大小

跟踪训练1比较下列各组中两个代数式的大小：

⑴比较N+3与2x的大小；

(2)已知0,办为正数，且aWb,比较/+b3与a?b+ab?的大小.

状元随笔

题型2不等式的性质［经典例题］

例2对于实数a,b,c,有下列说法:

①若a>b,则ac<bc；

②若ac2>bc2,则a>b；

22

③若a<b<Of贝!Ja>ab>b；

④若c>a>b>0,则-

c-ac-b

⑤若〃>〃，->k则〃>0,b<0.

ab

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

状元随笔

利用不等式悔

分析条件——>

质逐一判断

方法核的

(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.

(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原

则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

跟踪训练2(1)已知那么下列式子中，错误的是()

A.4a<4bB.-4a<—46

C.a+4<b+4D.a-4<.b—4

状元随笔利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件.

(2)(多选)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中不正确的是()

A.若a>b,cWO,则ac>bc

B.若a>b,!/!!!ac2>bc2

C.若ac?〉人，，则a>6

D.若a>b,贝壮

题型3利用不等式性质求范围［经典例题］

例3已知一2<aW3,1W6<2,试求下列代数式的取值范围：

(Did；

(2)a-\-b；

(3)。一b；

(4)2。一3b.

状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.

方法但病

利用不等式性质求取值范围的一般思路

(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解.

跟踪训练3(1)已知实数x,y满足：l<x<2<y<3,

①求口的取值范围；

②求x—2y的取值范围.

(2)若一2<x+yW2且一iWx—yWl,则z=4x+2y的最大值是.

题型4利用不等式的性质证明不等式［逻辑推理、数学运算］

例4综合法、分析法与反证法

⑴已知a<6<c,且a+6+c=0,求证：—

a-cb-c

(2)证明：V7-V3<V6-V2；

(3)用反证法证明：若〃，b,c£R,且1=/一2。+1,尸按一20+1,z=(?—2〃+1,则

x,y,z中至少有一个不小于0.

状元随笔注意书写的规范性及易错点：

①分析法的步骤要规范，分析时一般按照“要证……，需证……，只需证……”的步骤

进行.

②反证法，必须假设所证问题的反面成立，推出与之矛盾，从而肯定原结论成立.

③不等式两边含有根式，同时两侧均为正数的时候，通常选择平方处理，此时应该注意

平方后尽量保证式子的最简化，如本例将近和虎结合，剩余两数结合，好处在于平方后能

消掉一部分，使问题简单化.

④应该明确问题的反面，如“>”的反面是“W”，”至少有一个”的反面是“一个也

没有”等.

方弦归他

利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点

(1)实质：就是根据性质把不等式变形.

(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条

件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反

证法.

跟踪训练4(1)已知。>6>0,c<d<0,e<0,求证：；

(a-c)2(b-d)z

(2)将下面用分析法证明亨的步骤补充完整:要证贮产》漏,只需证a2+b2^2ab,

也就是证________,即证,由于________显然成立，因此原不等式成立；

(3)已知x,y>0,且x+y>2.

求证：—,也中至少有一个小于2.

yx

能力提升练

1.16世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，

后来英国数学家哈里奥特首次使用符号“v”和并逐渐被数学界接受，不等号的引入对

不等式的发展影响深远.若a,b,cER,则下列命题正确的是()

2

A.若a>09则«+\>(a~l)(a+2)

B.若a<b<0,则d1<ab<b1

C.

D.若。泌>0,则/

2.已知一工<Q<0,A—l+a2,B—l—a2,C——,D=—,试猜测A,B,C,D的大

21+a1-a

小关系，并证明.

温馨提示：请完成课时作业（十）

2.2不等式

2.2.1不等式及其性质

新知初探•自主学习

［教材要点］

知识点一

1.正数等于0负数

2.>=<

知识点二

b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bca+c>b+dac>bdan>bn

知识点三

已知条件结论出发逐步寻求否定

［基础自测］

1.解析:“限重40吨”是不超过40吨的意思.

答案：C

2.解析：因为N=l2+x+i=(x++|>0,所以

答案：A

3.解析：因为x<〃<0,不等号两边同时乘〃，贝1不等号两边同时乘人,贝U

故j^>ax>a1.

答案：B

课堂探究•素养提升

例1【解析】因为(A2—%)—(冗一2)=/—2x+2=(x—iy+1,

又因为(X—1)2三0,所以(X—1)2+121>0,

从而(N—x)—(x—2)>0,

因此x2—x>x~2.

跟踪训练1解析：(1)・・・(/+3)—2x=N—2%+3=a—l)2+222>0,

.*.x2+3>2x

(2)(〃+b3)—(cflb+ab2)=a3+Z?3—cflb—ab2=(fi(a—b)~b2(a—b)=(a-Z?)(a2—Z?2)=(a-

b)2(a+b),

•.,q〉。，Z?>0,且

(a—Z?)2>0,a+Z?>0,

；・3+Z?3)—(cfib+ab2)>0,

即tz3+b^cflb+ab2.

例2【解析】对于①，令c=0,则有〃c=Z?c①错;

对于②，由ac2>bc2,知cWO,

/>0=>。>匕.②对；

对于③，由a<b<0,

两边同乘以Q得a2>ab,

两边同乘以Z?得ab>b2,

比>>.③对；

对于④c>a>b>O=c—a>0,c—b>0=>0<c_a<c-Z?

a>b=>—a<—b=>c—a<c—b

尸>A>°今言〉六,④对;

a>b>O

a>b=>a—b>0ab<0

对于⑤，11b-a=>a>0。<0.⑤对.

一>70---x>U9

ababa>b

【答案】C

跟踪训练2解析：（1）根据不等式的性质，4>004a<46,A项正确；a<b,-4<0=>

—4a>—4/j,B项错误；a<b=>a+4<Z?+4,C项正确；a<b=>a-4<b—4,D项正确.

（2）对于选项A,当c<0时，不正确；对于选项B,当c=O时，不正确；对于选项C,

•：。/>灰2,；.cW0,<?>0,；.一定有故选项C正确；对于选项D,当a>0,XO时，

不正确.

答案：（1）B（2）ABD

例3【解析】（l）：—2<aW3,...|a|G[0,3].

(2)—2<aW3,1W6<2,—2+l<a+6<3+2,—l<a+b<5.

(3)依题意得一2<aW3,—2<—bW—l,相加得一4<a—6W2.

(4)由一2<aW3得一4<2aW6,①

由1W6<2得一6<一36/一3,②

由①②得一10<2a—36W3.

跟踪训练3解析：⑴①•.T<x<2勺<3,2勺<3,贝U2<xy<6,则孙的取值范

围是(2,6).

②由⑴知14V2,2<y<3,从而一6v—2y<—4,则一5<%—2y<—2,即%—2丁的取值范围

是(一5,—2).

(2)设4x+2y=a(x+y)+b(x—y)=(a+b)x+(a—b)y,

,fa+b=4,-

则M］解传。=3,b=l,

(a—b=2,

即4x+2y=3(x+y)+(x—y),

—2<%+yW2且一1Wx—yW1,

—6<3(x+y)W6且一iWx—yWl,

则一7<3(x+y)+(x—y)W7,

故z=4x+2y的最大值是7.

答案：(1)见解析(2)7

例4【证明】且〃+A+c=O,

/.a<Ofc>0,且。一c〈0,

••(LC)(6-c)>。，•—(以/(a-cXb-c)'

即白<上，.•.上

b-ca-ca-cb-c

(2)方法一分析法：要证V7-巡一我\

只需证夕+鱼<8+①，只需证(夕+鱼)2〈(百+遥>,展开得9+2旧<9+2内,

只需证旧<同，

即证14<18,显然成立，所以

方法二反证法：假设旧—次之历—企，

则近+加之迎+遍，

两边平方得9+204N9+2，巫，所以旧三V18,

即14218,显然不成立，所以假设错误.

所以夕-8〈迷-VI

(3)假设x,y,z均小于0,RPx=a2—2b+l<0①，y—b2—2c+l<0②，z—c1—2a+

1<0③，

①+②+③得x+y+z=(a~1/+3—l)2+(c-1)2<0,

这与(〃一1)?+3—1)?+(。-ip一0矛盾,

则假设不成立，

・・.x,y,Z中至少有一个不小于0,即得证.

跟踪训练4解析：(1)证明：因为c<d<0,所以一c>—d>0,

因为a>b>0,所以a—c>b—d>0,

所以(〃-c)2>(b—d)2>0,

11

所以o<____<_____又e<0

(a-c)2(b-d)29

所以(a_c)2>(b_d)2,

(2)用分析法证明萼N浦的步骤为：要证噌Nab成立，只需证层+尻22",也就

是证〃2+〃一2"三0,即证［JP3］(a—b)2N0.由于(〃一/?)22。显然成立，所以原不等式成立.

(3)证明：假设出，也都不小于2,即出22,也22.

yxyx

因为x,y>0,所以l+x》2y,l+yN2x.

所以2+九+y22(%+y),即x+yW2与已知x+y>2矛盾.

所以把，山中至少有一个小于2.

yx

答案：(1)见解析(2)〃2+炉—2^20(〃一份22o(〃一by2。(3)见解析

［能力提升练］

1.解析：对于A,tz2+1—(。-1)(〃+2)=〃