2025年上海高考数学二轮复习大题模拟卷01（题型必刷ABC三组）原卷版+解析

大题仿真卷01(A组+B组+C组)

(模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟)

舱----------A组.巩固提升-----------♦>

一、解答题

1.在直四棱柱4BCD-A耳G2中，底面ABCD是菱形，且==

(1)求证：直线82,AC；

(2)求二面角D.-AB-C的大小.

4

2.己知函数/'(x)=x——+a.

X

⑴证明函数y=/(元)在(-8,0)上严格增；

(2)若函数y=/(x)在定义域上为奇函数，求不等式/«>0的解集.

3.潜伏期是指已经感染了某毒株，但未出现临床症状和体征的一段时期，某毒株潜伏期做核酸检测可能为

阴性，建议可以多做几次核酸检测，有助于明确诊断，某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计,

得到如下表：

潜伏期(天)[0,2]。，4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]

人数80210310250130155

⑴求这1000名患者的潜伏期的样本平均值于；(精确到0.01天)

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准

进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判

断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

潜伏期W6天潜伏期>6天总计

50岁以上(含50)150

50岁以下85

总计300

n(ad-be?

附：z2其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(二淮)0.150.100.050.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22

4.双曲线「:=-二=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为耳(-。,0)、7%(c,0)(c>0),过点用的直线/与T

ab

右支在X轴上方交于点A.

⑴若a=6，点A的坐标为(3,4),求c的值;

(2)若Ag，£区,且a,b,c是等比数列，求证：直线/的斜率为定值；

⑶设直线/与「左支的交点为8,c=3,当且仅当。满足什么条件时，存在直线/,使得I48RA工I成立.

5.设函数y=〃尤)的定义域为开区间/,若存在不",使得y=〃x)在x=%处的切线/与y=〃x)的图像

只有唯一的公共点，则称y=〃x)为“L函数”，切线/为一条“L切线”.

⑴判断y=x-i是否是函数y=12的一条“心切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=e"-6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“L切线”；

⑶设/(力=丁+加+1(。〈尤<)求证：对任意实数。和正数。，V=/(x)都是“L函数”

O----------------B组•能力强化----------♦>

一、解答题

1.如图，已知AB_L平面ACD,AB//DE,ACD为等边三角形，AD=DE=2AB,点尸为CD的中点.

⑴求证：A尸〃平面BCE；

(2)求直线BF和平面ABC所成角的正弦值.

2.已知函数/(x)=sin(0x+0)(0>0,0<°</)的周期为万，图象的一个对称中心为,将函数/(x)

7T

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移万个单位长度后得到

函数g(x)的图象.

(1)求函数，(x)与gO)的解析式；

⑵求证：存在使得/⑷，g(x0),/'(/"(x。)能按照某种顺序成等差数列.

3.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行

检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(2)已知甲型芯片指标在［80,100)为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70)为航天为航天级芯片.现分别采用

分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90)内取2件，乙型芯片指标在［50,70)内取4件，再从这6件中任

取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

4.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线.若双曲线与椭

圆G是“共轴”曲线，且椭圆J1+，=1(0<6<3),%2=手(6、e2分别为曲线C］、g的离心率).己

知点"(1,0),点尸为双曲线C1上任意一点.

⑴求双曲线的方程；

(2)延长线段到点Q,S.\PM\=2\MQ\,若点Q在椭圆Q上，试求点P的坐标；

⑶若点尸在双曲线的右支上，点A、8分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R,

直线AP、骸的斜率分别为第八kBR.是否存在实数力，使得七户=力凝员？若存在，求出4的值；若不存在，

请说明理由.

5.函数y=〃x)的定义域为。，在。上仅有一个极值点%,方程/(x)=0在。上仅有两解，分别为4、x2,

且不</<当.若五产>修，则称函数y=在。上的极值点左偏移；若七三<%,则称函数y=

在。上的极值点右偏移.

(1)设/(x)=f-1,D=R,判断函数y=/G)在。上的极值点是否左偏移或右偏移？

⑵设m>0且Miwl,f{x)=^-nv<^-x+m,D=(0,+oo),求证：函数y=在。上的极值点右偏移；

(3)设aeR,f(x)=lnx-ax,D=(0,+^),求证：当0<”e一时，函数y=/(x)在。上的极值点左偏移.

o---------------C组•高分突破-----------O

一、解答题

1.如图，在圆柱中，底面直径A3等于母线AD,点E在底面的圆周上，且AF1DE，尸是垂足.

⑴求证：AF±DB；

(2)若圆柱与三棱锥0-4狙的体积的比等于3n,求直线DE与平面ABD所成角的大小.

2.已知函数y=f(无)，其中〃x)=sinx.

⑴求/卜-：)=/在xe[0,句上的解；

⑵己知g(x)=6/(x)/"?-〃x)〃x+7i),若关于x的方程g(x)-加=；在口0卷时有解，求实数相

的取值范围.

3.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为04万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望同X]；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与(i)中E[X]估计值的大小.

4.已知曲线C：(3-2m2)x2-4mj2=4(meR).

⑴若曲线C为双曲线，且渐近线方程为y=±#x,求曲线C的离心率；

(2)若曲线c为椭圆，且尸“，呼］在曲线C上.过原点且斜率存在的直线乙和直线(4与4不重合)与椭圆C

分别交于G,H两点和。，E两点，且点尸满足到直线4和乙的距离都等于与，求直线4和4的斜率之积；

(3)若根=-1,过点4(0,—1)的直线与直线、=-2交于点“，与椭圆交于8,点8关于原点的对称点为C,

直线AC交直线丫=-2交于点N,求的最小值.

5.对于一个各项非零的等差数列｛4“｝,若能从中选出第尢次2,…，幺(尢<《<…<%”)项，能构成一个等比

数列｛£｝,则称｛2｝为｛%｝的“等比子列”.若此“等比子歹U”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”.

⑴若数列%=2〃，”>0,〃eN,直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”.

(2)对于数列见=3"-1,w>0,weN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如

果不存在，请说明理由.

(3)证明：各项非零的等差数列｛4｝中存在“等比子列”的充要条件是数列&｝满足4=配"为公差，

左£Q,左w0).

大题仿真卷01(A组+B组+C组)

(模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟)

♦>-------A组.巩固提升----------O

一、解答题

1.在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面是菱形，且48=80=44).

(1)求证：直线22,AC；

⑵求二面角2-AB-C的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)arccos^^

7

【分析】(1)根据底面ASCD是菱形可得出对角线垂直，结合直四棱柱的特点可得到，AC,由线面垂

直的判定定理以及性质定理可证明结果；

(2)建立空间直角坐标系，由空间向量法计算可求出结果.

【解析】(1)解：.•底面ABC。是菱形，.•.ACL8。，

又因为四棱柱ABCO-AAGA为直四棱柱，所以，底面ABCD,

ACu底面ABC。，ADD}1AC,DDqBD=D,u平面。RB

,所以AC,平面，Bu平面r)RB,.^.BA，AC.得证.

(2)取BC中点E,=且底面ABC。是菱形，则。EJ_3C,

以。为原点，D4为x轴，DE为>轴，。2为z轴建立空间直角坐标系，如图:

则不妨设4(1,0,0),B-,^-,0,C--,^-,0,(0,0,1)

7\7

r»A=(l,0,-l),AB=设平面ABDI的法向量记=(x,y,z),则

22

7

x-z=0

16，令y=l,得加=(后1,6卜

—xH---y=0

I22,

平面ABC的法向量为n=（0,0,1）,

所以二面角D.-AB-C的平面角的余弦值为：cos。=/6=叵，

V3+3+17

所以二面角2-AB-C的大小为arccos叵.

7

4

2.已知函数/（犬）=x——+a.

x

⑴证明函数y=/（元）在（-*0）上严格增；

⑵若函数y=/（x）在定义域上为奇函数，求不等式/«>o的解集.

【答案】（1）证明见解析

（2）（-2,0）一（2,向

【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得；

（2）根据函数的奇偶性求出。值，再求出方程/5）=。的解，分别利用函数在（-8,0）和（。,+◎上的单调性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】（1）因F（X）=X——+Q,任取%,%2£（-8，。），且玉<%2，

X

44

由/（须）一/（%）=%----\-a-｛x2------\-d）

xxx2

/、4(%-%)/、/14、

二(王一%2)-)---------={xi—x2)(1H-----),

XxX2玉％2

4

因％<%2<0,则%—工2<0，1+7T>°'故/（石）一/（%2）<。，

即/0）</（%）.

故函数y=/（%）在（-8,0）上严格增；

（2）因为函数〃x）在定义域｛巾*0｝上为奇函数，贝U/（T）=—〃x）,

44

所1以—XH----F。=—XH------a.

X%

所以2〃=0,即a=0,

4

所以/(%)=%——，

X

由了（尤）＞0得：x--＞0,即（x"）（x+2）＞0,

X尤

f%>o?r%<o?

所以4或4

[(冗-2)(%+2)>0-[(x-2)(x+2)<0

解得x>2或一2vxv0,

所以不等式〃x）＞0的解集为（—2,0）一（2,”）.

3.潜伏期是指己经感染了某毒株，但未出现临床症状和体征的一段时期，某毒株潜伏期做核酸检测可能为

阴性，建议可以多做几次核酸检测，有助于明确诊断，某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计,

得到如下表:

潜伏期（天）[0,2]（2，川(4,6]（6网(8,10](10,12](12,14]

人数80210310250130155

⑴求这1000名患者的潜伏期的样本平均值于；（精确到0.01天）

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准

进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判

断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

潜伏期W6天潜伏期＞6天总计

50岁以上（含50）150

50岁以下85

总计300

2n(ad—bc¥,

附：/=(。+力(c+d)(a+c)3+d)’其中1

尸即）0.150.100.050.0250.0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

【答案］⑴5.41天

（2）列联表见详解，没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关

【分析】(1)根据题意结合平均数的计算公式运算求解；

(2)根据题意结合分层抽样求各层人数，进而补全列联表，计算％2,并与临界值对比分析.

【解析】(1)由题意可得：

潜伏期(天)[0,2](2,4](4,6](6，可(8,10](10,12](12,14]

人数80210310250130155

频率0.080.210.310.250.130.0150.005

所以样本平均值元=1x0.08+3x0.21+5x0.31+7x0.25+9x0.13+11x0.015+13x0.005=5.41(天)

(2)由(1)可知：潜伏期W6天与潜伏期＞6天的比例为600:400=3:2,

32

则抽取的潜伏期W6天的人数为gx300=180,潜伏期>6天的人数为yx300=120,

所以列联表为

潜伏期W6天潜伏期>6天总计

50岁以上(含50)9555150

50岁以下8565150

总计180120300

可…喘器「

所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

22

4.双曲线r：=-二=i(a>o*>0)的左、右焦点分别为耳(―c,o)、月(c,。)(c>o),过点々的直线/与r

ab

右支在X轴上方交于点A.

⑴若a=6,点A的坐标为(3,4),求c的值；

⑵若工，且。，瓦c是等比数列，求证：直线/的斜率为定值；

⑶设直线/与「左支的交点为8,c=3,当且仅当。满足什么条件时，存在直线/,使得IA3RA耳I成立.

【答案】(1)5

(2)证明见解析

(3)ae(1,j)

【分析】(1)将。值和点坐标代入双曲线方程求出力值，即可求得。值；

(2)设直线/：y=Mx+c),与双曲线方程联立消元y,得关于龙的方程，依题方程有解为。，代入整理方程

后,借助于"四可推得心；，即得证;

（3）利用双曲线定义化简IAB1=1AB|得至U|B不|=2a,居|=4a,设加冉=。,利用余弦定理求出cos。

的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于。的不等式，解之即得.

_22

【解析】（1）依题意，将々=有，彳=3,，=4代入「：.一斗=1中，

解得加=20,则c=yja2+b2=5；

FtO\F2x

整理得：（62_°2左2比2-2/"2尤_次；2左2_4262=0（*）,

如图，因A&_L£玛，故点A的横坐标为C恰是方程（*）的解，

则（匕2-）02-2a2c2左2--”2匕2=0,

整理得：b2c2-4a2c2k2-a2b2=Q,即4a2c2/=〃，

因a,b,c是等比数列，则代入此式，可得4a2c2左2=即得及2=。，

4

因过点片的直线/与r右支在x轴上方交于点A,故得K=；,即直线/的斜率为定值;

（3）

如图，因点A在双曲线右支上，则|4片|-|48|=2°,即|A工因占么|-2a,

故由|A3|=||可得|A£|-1AB|=|8月|=2〃，

又因点3直线/与「左支的交点，故IB居IT圻;1=2。，则因纭|=4a,

在48片心中，设/2片区=。，由余弦定理，cosO=4c~+4〃T6a2=20、-36=上一区,

2x2cx2a2ac2a2

因为tane<2,l>cos6>0=@,所以1>巨一？>@,

ac32〃23

所以l<a〈拽，

5

故当且仅当。满足ae(l,芈)时，存在直线/，使得IA81=1A8I成立.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题.

解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理［40=|4乙1相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合

图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决.

5.设函数y=〃x)的定义域为开区间/,若存在使得y=〃力在x=x。处的切线/与y=〃尤)的图像

只有唯一的公共点，则称y=/(x)为“L函数”，切线/为一条“L切线”.

⑴判断y=x-i是否是函数'=1四的一条“L切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=e2,6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“L切线”；

⑶设+加+l(o<x<c),求证：对任意实数a和正数c,y=/(x)都是“L函数”

【答案】(1)是，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)记/(x)Ti«，设切点为a』nxj,利用导数的几何意义求出XI,再证明直线y=x-l与/⑺=lnr

的图象只有唯一的公共点，将丫=了-1与函数、=向联立，得lnxr+l=0,记〃(x)=lnx-x+l,利用导数

说明函数的单调性，即可得到方程的解.

(2)将点(%化(%2))处的切线/的方程与y=g(x)联立得g(x)-g(x2)=g'(切(X-*2)，记

，

//(A：)=g(^)-g(X2)-g(A2)(X-X2),利用导数说明函数〃(%)存在唯一零点X2，即可得证；

(3)类似第(2)问的思路得到(x-%)2(x+2%+a)=0在(0,c)上有且仅有一解%,则%=一2%一ae(0,c)或

J%e(O,c)

再分。20、a<0两种情况说明即可.

[-2x„-ag(0,c),

【解析】(1)记/(“=欣，则尸(x)=1,设切点为a』nxj,

由切线方程为y=x-i知/(为)=1,则一=1,解得占=1.

玉

所以切点为(1,0),下面证明直线y=x-l与〃x)=lnx的图象只有唯一的公共点,

将丁二%一1与函数y=hu：联立，得lnX—x+l=0.

记〃(x)=lnx-x+l,贝！|w'(x)=工_1,

当xe(0,1)时〃'(尤)>0,当无e(l,+<»)时n,(x)<0,

故”(x)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，“⑺1mx=〃(1)=0,

故函数〃(x)=lnx-x+1只有一个零点x=l,故y=xT是一条“L切线”；

(2)因为g(x)=e"-6x,所以g'(x)=2e2*-6,

则点(々送(々))处的切线/方程为〉一8(々)=8'(々乂彳-32),

将点(和g(%))处的切线/的方程与V=g(x)联立得g(x)-g(X2)=g'(X2Xx-X2)，

记/?(尤)=g(尤)-g(%2)-g，(龙2乂了-々)，

则直线/为“L切线”。函数网力有且仅有一个零点Z(此时，一个Z对应一条“切线”)，显然马是耳⑺的

零点，

,

故只要M可没其它零点,此时〃(x)=g(x)-g'(x2)=Ze?*-2e?也，

当力<跖时，〃(力<0,当x>Z时，hr(x)>0,

则/?(%)在(-00,无2)上单调递减，在(々,W)上单调递增，

故此时Z为网力唯一的极小值点(也是最小值点)，而立(%)=0,

故/?(可无其他零点，故直线/为“L切线”，因为X2的任意性，

故函数y=g(尤)存在无穷多条“L切线”，

(3)因为/'(力=/+62+1(彳€(0,(?)),则r(x)=3x2+2ox,

设点。(%,%)在函数〉=/(力的图象上，

则点。的切线为/：y-f(x0)=f(xQ)(x-xn),与y=/(x)联立得:

f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)

o(x3+ax2―尤；—or；)=(3x；+2­())(尤_*0)

o(x—%)(炉+XOX+J^+办+办。)=(3君+2曲)(%一而)

o(x—%)优+x0x—2x^+6一空)=0o(x—尤。)?(尤+2/+a)=0(*),

由题意得直线/为“L切线”，故方程(*)在(0,c)上有且仅有一解七,

则与=必。-"(0©或［:吧(0©,

若。20,则x0e(O,c)是方程(*)的唯一解(此时有无数条“L切线”，切点横坐标为(O,c)上的任意值).

若a<0,贝43(此时只有一条切线”，切点的横坐标为-£)

卜。一a3

0<c<-—,、

或3(此时有无数条“L切线”，切点横坐标为(O,c)上的任意值)，

xoe(O,C)

综上，awR,即证.

【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.

O----------------B组•能力强化----------♦>

一、解答题

1.如图，已知AB_L平面ACD,AB//DE,ACD为等边三角形，AD=DE=2AB,点尸为CD的中点.

⑴求证：4斤//平面3CE；

(2)求直线BF和平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】⑴设">=DE=24?=2«,建立空间直角坐标系A-邙，利用向量的坐标运算得出”=；(BE+BC),

结合线面平行判定定理即可得结论；

(2)确定平面ABC的一个法向量”，利用8歹和”的夹角求解即可.

【解析】(1)因为平面AC。，ABUDE,ACE>为等边三角形，

设A£>=Z>E=2AB=2«,建立如图所示的空间直角坐标系4-孙Z,

则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,6a,0),E(a,6a,2a)，

方为CD的中点，..30见斗。,金)，

AF=(|a,qa,0),BE=(a,y/3a,a),BC=(2a,0,-a),

AF=1(BE+BC),AFC平面BCE,

，AF〃平面3CE\

(2)又力=(o』,o)是y轴上的单位向量，则其是平面ABC的一个法向量，

因为2尸=ga,ga,-a)，设即和平面BCE1所成的角为。，

BF\-\n\2axi4

直线即和平面ABC所成角的正弦值为也.

4

2.已知函数/(x)=sin(0x+e)(。＞0,。＜。＜万)的周期为万，图象的一个对称中心为将函数f(x)

7T

图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移万个单位长度后得到

函数9(久)的图象.

(1)求函数/(©与gO)的解析式；

⑵求证：存在不€院,口，使得/⑷，g(x0),能按照某种顺序成等差数列.

【答案】(1)f(x)=cos2x；g(x)=sinx；(2)证明见解析

【分析】(1)由周期公式可得。，。＞0,再由对称中心可得。值，可得/(x)解析式，由函数图象变换和诱

导公式化简可得；

(7T7T\(7171\

(2)当xw［%•，］J时sinx＞cos2x＞sinx.cos2x,问题转化为方程2cos2x=sin无+sinx・cos2尤在［77J内

是否有解，由函数零点的存在性定理可得.

【解析】解：(1)■.函数〃x)=sin(Ox+0)的周期为万，®＞0,

271c

/.co——=2,

T

又曲线y=的一个对称中心为匕，o),好(。㈤，

sin（2x?+eJ=0,可得e=/（^）=cos2x,

将函数了（无）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象,

再将产COSX的图象向右平移5个单位长度后得到函数g（x）=cos3的图象，

由诱导公式化简可得g（x）=sinx；

(2)当时,—<sinx<,0<cos2_r<，,

164j222

sinx>cos2x>sinx•cos2x,

问题转化为方程2cos2x=sin尤+sin尤•cos2x在内是否有解.

717t

X,XG

64

QG£|=-：＜0,G⑵=［＞O,且函数G（x）的图象连续不断,

/、7171\

函数G（x）在内存在零点％0,

7171

即存在吃e77,使得/（%）,g"。），/（飞）超（飞）能按照某种顺序成等差数列.

【点睛】本题考查三角函数图象变换,第二个问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx-cos2x在内是否

有解是解决问题的关键，属中档题.

3.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行

检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）；

（2）已知甲型芯片指标在［80,100）为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70）为航天为航天级芯片.现分别采用

分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90）内取2件，乙型芯片指标在［50,70）内取4件，再从这6件中任

取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

【答案】⑴x=0Q20,x=47.

⑵尸⑷=］.

【分析】（1）由频率和为1求出x得值，根据平均数公式求出平均值.

（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解.

【解析】（1）由题意得10义（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+尤）=1,解得x=0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：

元=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在［70,80）和［80,90）的各1件，分别记为A和

来自甲型芯片指标在［50,60）和［60,70）分别为3件和1件，分别记为G，G，G和。，

从中任取2件，样本空间可记为。=｛（A,8）,（A,CJ,（A，G），（A,C3）,（A,。），（3,q）,

（BC）,（B,C3）,（3,。），（q,c2）,（G，G），（G，D）,（G，G）,（C2,D）,（G。）｝共15个，

记事件E：至少有一件为航天级芯片，则E=｛（A⑻，（A。），（8，G）,（B,C2）,（B,C3）,

（q,D）,（C2,D）,（C3,。）｝共9个,

Q3

所以尸（身=行=手

4.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线.若双曲线C1与椭

圆G是“共轴”曲线，且椭圆c?：）+捺=1（0<6<3）,%2=殍（6、e?分别为曲线CI、g的离心率）.已

知点”（1,0）,点尸为双曲线G上任意一点.

⑴求双曲线G的方程；

⑵延长线段9到点Q,且⑷=2|MQ|,若点。在椭圆G上，试求点P的坐标；

⑶若点尸在双曲线C1的右支上，点4、B分别为双曲线C1的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R,

直线AP、BR的斜率分别为第八kBR.是否存在实数4,使得七；）=成段？若存在，求出力的值；若不存在，

请说明理由.

【答案】

⑵（6,一⑹或（6,⑹或（3,0）

（3）当尸、3重合时，2eR；当尸、3不重合时，存在实数2=；,使得您.理由见解析

【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案;

(2)设网百,％),。(孙％),由PM=2|MQ|,可得％=曹，%=，代入方程与G方程联立，即

可求得点P的坐标；

(3)讨论当P、8重合时，ZeR；P、3不重合时，设出直线PR的方程为尤=9+1,与双曲线方程联立，

消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.

22

【解析】(1)根据题意双曲线C2：n=l(O<6<3),

因为仁=正弓匹及一撞，解得以1,

339

双曲线G的方程为。-丁=1；

(2)

22

21

由(1)知，G：■——y=1,C2:—+y=1,

设尸(%,%),。(肛％),

已知M(1,0),又1PMl=2|MQ|,

所以%=一;M>

由点。在椭圆G上，则

又点P为双曲线Ci上任意一点，则'-才=1,

玉二6

联立,解得<

>=±若

所以点尸的坐标为仪,-⑹或(6,⑹或(3,0)；

(3)当尸、5重合时，2eR；当尸、8不重合时，存在实数彳=；,使得理由如下,

当P、5重合时，由题意上以=。，贝1JKP=。，则

当尸、5不重合时，原"。，设直线尸穴的方程为芯=0+1,P(石,％),尺(七,%)，

x=ty+l

因为双曲线的渐近线方程为y=±j,

又直线尸”交双曲线的左支于点凡右支于点P,所以te(-3,3),

由韦达定理得，%+%=，、，%%=言:，

XX

所以七网+3》+4X)①一2。通2%

kBR%%%+4%+4%

退-3ty2一2

—St-/、

二小-2%-8_2%92_9):1：,七

/£+4、2£]_16_4%(/-9)2'

t2-91』-9-'；

所以存在实数2=；,使得七P=g%BR.

【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方

程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定

值.

5.函数y=〃x)的定义域为。，在。上仅有一个极值点%,方程/(x)=0在O上仅有两解，分别为4、x2,

且不＜/＜%.若"运＞修，则称函数y=〃x)在。上的极值点左偏移；若七三＜/，则称函数y=

在。上的极值点右偏移.

⑴设“x)=f-1,O=R,判断函数y=〃”在D上的极值点是否左偏移或右偏移？

J

⑵设根＞0且V1,f[x)=x1-m^-xrm,E＞=(0,+oo),求证：函数y=/(x)在。上的极值点右偏移；

(3)设acR,f{x)=\nx-ax,D=(0,+oo),求证：当0＜“＜6一时，函数y=/(x)在。上的极值点左偏移.

【答案】(1)函数y=/(x)在。上的极值点不偏移

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)先求〃尤)=。的根及〃司=犬-1的极值点，再根据题设定义，即可求解；

(2)先求〃x)=0的根，对f(x)求导，得到尸(x)=3f一2如-1,通过计算得到广[五1迄]＜0,再利用

二次函数的性质，即可求解；

(3)设〃x)=0的两个零点为七,马，根据条件得到。＜玉＜e＜无再构造函数

2722/、

g(x)=/(x)-/(-—x)=lnx-ax-ln(--x)+a(—一尤)，利用函数的单调性，得到/(--%)>/(尤?)，即可求

aaaa

解.

【解析】(1)由/(力=/—1=。，得到V=l,所以占=-1,%=1,

又/'(x)=2x,由/'(x)=2x=0,得到x=0,又当x<0时，/'(x)=2x<0,当x>0时，/'(x)=2x>0,

所以〃力=幺一1只有一个极值点，且极值点为%=0,此时％

所以函数y=/(x)在。上的极值点不偏移.

(2)因为=-%+帆=彳2(彳一㈤一。-神户原一/找)(x—l)(x+l),机>0且相力1,£)=(0,+oo),

由/(%)=。，得到%=1,々=加或玉=加，％2=1，则%+%2=m+1>。，

又/'(%)=3%2-2mx—1,A=4m2+12>0,贝!J/'(6=3/一2如一1=。有两本艮，

_2m1

不妨设为,1，，2，且4<12，又％+[2=-^~>。，柩2=-]<。，所以。<。</2，

又工«0,力2)时，/'(%)<。，]£(,2,收)时，/'(%)>。，所以函数y=/(x)在。上只有一个极值点与，且/=%

又《宥卜”卜"一』次+*》*-代。,

所以与三<才2=/，故函数,在。上的极值点右偏移.

(3)由题知,f\x)=--a,fr(x}=--a=0,得到x=L

xa

当时，f'(x)>0,当xe口,+f时，fr(x)<0,所以工=，是/(x)=lnx-or的极值点，

ClJIClJCL

且f(x)在区间(o,上单调递增，在区间[，+j上单调递减，

又/(x())=/d)=lnL_l>0,x.0时，“力—_oo,Xf+8时，/⑺―_oo,/(e)=lne-ae=l-ae>0,

则〃x)=0有两个零点，不妨设为冷马，且尤1</，所以0Vxi<e<%=:<%，/(为)=/(%)，

2222

令g(x)=/(x)-/(——x)=\nx-ax-ln(——X)+Q(——x)(0<x<—

a

贝Ug'(x)=工

恒成立,

X

所以g(无)=

i2/、2

所以g(_)>g(xj，即―-々)=/(%)-/(—一元1),

dd

2211

故/(---须)又---X\>=—,X>X=—

aaa2oa9

,,2,i=tk/1%[x+x

故一一石<%2，得到一<-，即nrl玉)V”}工?，

aa22

所以当0<a<eT时，函数y=/(x)在。上的极值点左偏移.

【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有:

1.构造对称函数；

2.比值换元；

3.对数平均不等式.

o-----------c组•高分突破-----------♦>

一、解答题

1.如图，在圆柱中，底面直径A8等于母线AD,点E在底面的圆周上，且AFLDE,F是垂足.

E

(1)求证：AF±DB；

(2)若圆柱与三棱锥O-ABE的体积的比等于3n,求直线DE与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arctang

【分析】(1)根据题意，证得EBJL平面D4E,得到EB_LAF,结合AF1DE，证得AF_L平面DEB,进而

证得AF_LDB；

(2)过点E作EH_LAB,证得平面ABD,得到NEDH是。E与平面所成的角，设圆柱的底面

半径为R,求得心力_研=3兀，进而求得NEDH的值.

【解析】(1)证明：根据圆柱性质，ZM_L平面W,

因为EBu平面W,所以ZM_L座，

又因为AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以

因为AEcD4=A且平面DAE,所以E3_L平面DAE,

又因为AFu平面。AE,所以EB_LAF,

因为AF1DE,且£BIDE=E,且EB,OEu平面BEB,所以AF_L平面DEB,

又因为Z)Bu平面DEB,所以AF_LD3.

(2)解:过点E作EHLAB,H是垂足，连接

根据圆柱性质，平面平面ABE,且平面ABDc平面旗上=帅，

且EHu平面ABE,所以E〃J_平面ABD,

因为DHu平面A3D,所以是ED在平面ABD上的射影，

从而ZEDH是Z)E与平面ABD所成的角，

设圆柱的底面半径为R,贝!]D4=M=2R,

1OR2

所以圆柱的体积为丫=2版,且VD_ABE=-AD-SABE=--EH,

由V：%-ABE=3无，可得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心，且AH=R，

J1DH=VOA2+AH2=下R,

在直角_£D”中，可得tan/EZ汨=必=苴，所以NEOH=arctan好.

DH55

2.已知函数y=f(x),其中〃x)=sinx.

⑴求小-：)=?在xe[0,可上的解；

⑵已知85)=四/5)/，+3-/(力/(升兀)，若关于x的方程g(x)一加=3在相0段时有解，求实数机

的取值范围.

【答案】(*或詈

-1/

⑵一己」

【分析】(1)根据题意得方程，然