2025年中考数学总复习《相似三角形的判定与性质综合》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《相似三角形的判定与性质综合》专项测试

卷(带答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.如图，在VA5C中，AB=AC,以A8为直径的。交3c于点O,交AC于点E,过点。作

DF1AC,垂足为点f，连接DE.

(1)求证：直线是；。的切线；

⑵若AE=8C=6,求CE的长.

2.如图，点。是以48为直径的半圆。上的动点，连结AC、3C,作圆心。关于AC的对

称点。，射线4。交半圆。于点。，连结8,CDOC,OD与OC交于点E.

(1)求证：四边形。火加为平行四边形；

⑵若tan/ZM8=；,求容的值；

⑶当0A=5,07)=2时，求07)。的面积.

3.如图，在VABC中，跖为中线，AO平分NBAC,且ADJ_况，分别交旗、5。于点”、D,

EFLBE,交5C于点/，AB=5,tanZABE=|.

BDFC

⑴求用的长；

⑵求tanNEBC的值.

4.如图，在ABC。中，E是边BC上的一点，歹是边。上的一点，连接AE,EF,AF,DE.

(1)如图1,若ZAFD=90。，■与交于点G,AD=DE,AE平分

①求证：BE=EG.

②若E是8C的中点，求证：AE=EF.

(2汝口图2,若四边形A5CD是菱形，融平分/DM,FG//AD,交AE于点G,AB=AE=12,FG=8,

求隼的值.

EC

5.在RCABC中，ZACB=90%AC=3,贸=4,点。是BC的中点，动点尸从点C出发，沿

C-A-8匀速运动，到点3停止运动，点尸的运动速度为每秒3个单位长度，点尸的运动

时间为x秒，△QCP的面积为y.

⑴直接写y与X的函数关系式，并注明自变量尤的取值范围；

(2)在图2的直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质;

⑶若直线y=3+b与该函数图象有两个交点，则6的取值范围是.

6.如图，四边形A5C。是平行四边形，点歹是射线AB上的一个动点(不与点A重合),

连接。尸，。是△ADR的外接圆.已知AB=20,AD=10,点。到48的距离为8.

⑴若圆心。在线段AD上，求ZAFD的度数；

⑵在(1)的条件下，过点尸作所交8于点E,使ZDEF=ZADF,求证：斯是(。的切线；

(3)若圆心。不在线段AD上，当。与平行四边形钻8的某一边所在的直线相切时，试

求线段钎的长.

7.【问题背景】

(1)如图1,已知AB=OC,ZBAD=ZCDE,若。是AE的中点，求证：AABgADCE.

【问题拓展】

(2)如图2,在(1)的条件下，连接AC,过点。作FG48C,交AC于点尸，交AB于

点G,求证：DF=DG.

【拓展探究】

(3)如图3,在(2)的问题中，若。是AE上的任意一点，其他条件不变，求证：叱=DG.

A/

B

B

图1图2图3

8.如图，锐角VABC内接于O,AB=AC,射线仍经过圆心。并交。于点，连接AD、CD,BC

与AD的延长线交于点口

AE

BCF

(1)求证：DF平分NCDE.

(2)①比较大小：NABDNF(填">,=,<").

②若tanZABD=9。的半径为百,则DF的长为.

(3)若ZACD=30。，CD=1,则AB的长为.

9.如图1,四边形A2CZ)为圆内接四边形，对角线AC与M交于点E,点尸在AE上,

DF=AE,ZDFC=NBDC.

(1)求证：CF=AB.

(2)如图2,若点8为A8C的中点，求证：BE2=CECB.

⑶在(2)的条件下，A尸=1,D跖的面积为2,求CE的长.

10.如图，VA5C的三边长分别为。，b,c(a>b>c),4G的三边长分别为q,b,,ct,

AABC-AA^C,,相似比为左(左为常数且左>0,b1).

(1)若。=%,用人表示Q和C的数量关系.

⑵在(1)的条件下，请写出符合条件的一对A%和ABG,使得a,b,c和%4,。都

是正整数.

⑶若6=4,是否存在VABC和A与G相似使得上是正整数？请说明理由.

11.如图，在平行四边形A5CD中，对角线AC、应)交于点。、M为AD中点，连接

CM交BD于点、N,且ON=1

⑵若OCN的面积为2,求四边形ABCM的面积.

12.如图，"是。的直径，。、。在。上，且点A是CD的中点，连接8交A3于点E,

延长8。和C4相交于点尸，过点A作AG〃。交BP于点G.

⑴若ZABC=30。，求/即C的度数；

⑵求证：直线GA是C。的切线；

⑶过点尸作。的切线，切点为。，若PD=mPG,PQ=nAP,求机与〃之间的关系.

13.如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈乙型，将其抽象成如图②的平面

图形，呈L型的"C可绕点。旋转，其中A。，8三点在同一条直线上，点。在直线MN上,

BC1AB,OA=40cm,BC=35cm,OB=120cm,初始时/3OM=37。.

⑴直接写出ZAON的度数为：;

(2)如图②，求初始时点A到MN的距离；

⑶如图③，当点C第一次落在MN上时，求点A在竖直方向上上升了多少厘米.(参考数

据：sin37°«=0.6,cos37°»0.8,tan37°a0.75)

14.已知VA5C是等腰直角三角形，AB=AC,。为平面内一点.

⑴如图1,当3点在A3的中点时，连接CD,将8绕点。逆时针旋转90。，得到匹，若AB=6,

求的长；

(2)如图2,当。点在VABC外部时，E、歹分别是AB、8C的中点，连接用、DE、DF,

将祉绕E点逆时针旋转90。得到EG,连接CG、DG、尸G,若NFDG=NFGE,求证：FD=CG+®FG;

(3)如图3,当。在内部时，连接AD,将AD绕点。逆时针旋转90。，得到西，若a经过3C

中点尸，连接短、CE,G为CE的中点，连接G/并延长交于点当AG最大时，请

q

直接写出产的值.

◎AAHG

15.如图，在矩形A2CZ)中，AB=4,BC=10,点尸从点4出发，以1个单位/s的速度沿

射线相方向匀速移动，连接PDAC相交于点E,过点A作曲，尸£>,垂足为点尸，设点

尸的运动时间为3

⑴当点尸为尸。中点时，t=S;

⑵当点下落在3C边上时，求才的值；(写出必要过程)

⑶当APAE为等腰三角形时，直接写出彳的值.

参考答案

1.（1）证明见解析

（2）CE=3痒3

【分析】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定,

添加辅助线是解题的关键.

（1）连接“，根据等边对等角及切线的判定定理即可得证；

（2）证明CDEsBAC，依据相似三角形的性质列式计算可得结论.

【详解】（1）证明：如图，连接

OD=OB

:.NODB=NB.

:.AODB=Z.C.

:.OD//AC.

DF1AC

：.OD1DF.

点。在。上

二直线枕是「。的切线.

(2)解：四边形ABDE是。的内接四边形

.\ZCDE=ZA,

ZC=ZB

:.△CDEsLBAC.

.CECD

,BA*

由（1）知：OD〃NCQN=OB

,\CD=-BC=-x6=3.

22

又AB=AC=AE+CE=6+CE

,,与解得以=3舁3（负值舍去）.

oo+CB

2.⑴见解析；

（2）j3;

（3）o'oc的面积为平或粤.

【分析】（1）连接"，利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和平

行四边形的判定定理解答即可；

（2）连接OC,9,利用直角三角形的边角关系定理得到器=：,设BD=3k,则AD=%

则AB=5A,OA=OC=OD=OB=2.5k,利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求

得OE废，代入运算即可得出结论；

（3）过点Z）作^于点尸，交O'C于点H,设。尸=巧则”=5-x,利用勾股定理列

出方程求得入值,利用直角三角形的边角关系定理求得sinZDAO,则sinZDO'C=sinZDAO=得,

利用直角三角形的边角关系定理求得加，再利用三角形的面积公式解答即可.

【详解】（1）证明：连接”，如图

•.•圆心。与点O,关于AC对称

/.AC垂直平分

AO=AO'

JZOAC=O'AC.

•A5为直径

・ZACB=90°

.BC±AC

•OOfLAC

・OOr//BC

AOAV

•~BO~~CV

・OA=OB

・AV=CV

・O。平分AC

・AC与。。互相平分

•四边形AOCO,为平行四边形

・OA=OrC,COf/7AB.

・OB=OA

・OB=OrC

•四边形。。5为平行四边形;

(2)解：连接OC,BD,如图

D

*/A5为直径

/.ZADB=90°

,/tan/DAB=-,tanZDAB=-

4AD

・BD_3

**AD-4

设比）=3左，贝AD=4左

AB=y/AD2+BD2=5k

/.OA=OC=OD=OB=2.5k

由（1）知：AO=A（y,四边形OO'CB为平行四边形

O'C//OA,（yc=OA=2.5k.

DO'E^cDAO

O'E_DOf

OAAD

O'E_4k-25k

2.5k4k

O'E=—k

16

1525

CE=O,C-O,E=2.5k--k=—k

1616

.16_3

,*CE"25~5；

—k

16

（3）解：过点。作。/UA5于点尸，交OC于点”，如图

AD=7,OD=OA=5

设OF=x,贝l]AF=5—x

DF2=AD2-AF2,DF2=OD2-OF2

AD2-AF2=OD2-OF2

72-（5-X）2=52-X2

1

x=一

10

OF=—

10

DF=4OD1-OF1二撞^

10

7751

,DF

sinZDAO=----

AD710

,/CO'AB

ZDCfC=ADAO

sinNDO'C=sinZDAO=—

10

DH=O'D-sinZDO'C=2x

105

。力C的面积=gx5xW=^.

当点。'在线段AD的延长线上时

延长AD,3c交于点M过点。作CMLA7V于点连接题》,如图

,/3=5,圆心O关于AC的对称点O'

：.AO'=AO=5

/.AD=AO,-O,D=3

「•BD=y/AB2-AD2=A/9T.

由（1）知：四边形005为平行四边形

/.CO1//OB,OrC=OB

•/OB=-AB

2

/.OrC=-AB.

2

,/CO'//OB

•NC_OrC_l

"NB~AB~

•••A5为圆的直径

ZADB=90°

BD1AN

.*CMVAN

：.BD//CM

•CMNC

・2

-BD=--

ODC的面积=QXO7).CM=<2x叵=叵

综上，。7七的面积为斗或坐.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质，直

角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行四边形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质，连接直径所对的圆周角，作出垂线段构

造直角三角形是解题的关键.

3.(1)8

⑵G

【分析】（1）先根据三角函数计算出A"=3,BH=4,从而得到tan4AH=：,结合角平分

线得到硝，即可得到答案；

（2）根据垂直得到灰〃AD,从而得到△CEFs^CW,^BHD^BFE,即可得到答案.

【详解】（1）解析：AD±BE,AB=5,tanZABE=|

AH=3,BH=4

4

tanZBAH=-

AD平分44c

4

/.EH=AHtanZEAH=3x-=4

3

ABE=BH+EH=4+4=8；

(2)解：做为中线

石为AC中点

ADLBE,EF±BE

EF//AD

：.ACEF^ACW

•CECF_1

••G4_CD-2

为。。中点

...EF=-AD

2

同理可得，△■8印34跖£

HD^-EF

2

：.HD=-AD

4

AH=3

，HD=1

tanZEBC=—

4

【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意

找到直角三角形，合理的应用三角函数.

4.(1)①见解析；②见解析

(2)指

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，

矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确

作出辅助线是解题的关键.

(1)①先由等边对等角得到=再证明=进而可证明ZA£B=/AEG,

据此证明—ABE均AGE(ASA)即可证明防=GE；②延长AE,DC交于H,可证明

ABEmHCE（AAS）,得到=再求出NAFH=180。-NATO=90。，则可证明=M=；

（2）先导角证明NG4F=NGE4,得至ljAG=/G=8,贝ljEG=AE—AG=4；再证明AEF工ADF（SAS）,

得至UZAEFuZADF,贝！J可证明ABEjFGE,得至［13石=6,贝ljCEugC—BEuG；过点A作^Af_LBE

于M,则9=：2£=3,AMNAE2-EM?=3尽；过点石作ENJ_AD于N,则四边形，EN是

矩形，可得河=EM=3,EN=AM=3715,DN=AD-AN=9,求出DE=注解+DN°=6m，则

DE_6y/6_/-

耘一工一,

【详解】（1）证明：①•「AD=DE

ZDAE=ZDEA；

丁四边形ABCO是平行四边形

AD//BC

ZAEB^ZDAE

ZAEB=ZAEG；

AE平分/BAF

NEAB=NEAG

又":AE=AE

：.ABE咨AGE（ASA）

/.BE=GE-

②如图所示，延长MQC交于”

;四边形A5CD是平行四边形

/.AB//CD

：.ZEAB=ZH,ZEBA=ZECH,ZBAF=ZAFD=90°

IE是8C的中点

BE=CE

:•ABE”、HCE(AAS)

，AE=HE

*.*ZAFH=180°-ZAFD=90°

(2)解：:AF平分/ZME

/.ZDAF=ZEAF

FG//AD

/.ZDAF=ZGFA

，ZGAF=ZGFA

：.AG=FG=8

;AB=AE=n

：.EG=AE-AG=4；

•••四边形"CD是菱形

/.AD=AE=AB=BC=129AD//BC

又<AF=AF,ZDAF=ZEAF

••…AE尸丝.AZ)厂(SAS)

/.ZAEF=ZADF

*/ZB=ZAEB=ZADF

ZAEF=ZAEB=ZB

,/FG//AD

/.ZFGE=ZDAE

,/AD//BC

ZDAE=ZAEB

，ZABE=ZAEB=ZFGE=ZFEG

/.ABES-FGE

•BEABRnBE12

••四即丁"W

，BE=6

CE=BC-BE=6；

如图所示，过点4作AM，助于V,则£^=：砥=3

•*.AM=ylAE2-EM2=3715；

如图所示，过点石作硒，AD于N

,/AD//BC

ENLBC

•••四边形WEN是矩形

/.AN=EM=3,EN=AM=3后

DN=AD—AN=9

.*•DE=\lEN2+DN2=6A/6

图2

5.⑴三

224|<x<12

——XH------

55

(2)见解析；

⑶。口，3

【分析】⑴根据勾股定理求出钻=5,因为点。是BC的中点，可得佻=2,当点尸的运动

速度为每秒I■个单位长度，可得：当时，y=^x,当时，y=.：x+F；

⑵根据分段函数的解析式画出函数图象即可；

⑶当直线y=过点］|，3］时，可得：％=|,所以直线y=g+6与该函数图象有两个交

点，则，的取值范围是。2<1.

【详解】(1)解：ZACB=90a,AC=3,BC=4

AB=ylBC2+AC2=732+42=5

点。是BC的中点

.-.C2=1BC=1X4=2

AC=3,点尸的运动速度为每秒g个单位长度

Q7

当OWx.时，=

:.y=-QCCP=-x2x-x=-x；

2233'

AC+AB=3+5=8

/.8+—=12s

3

当g<xV12时，过点尸作即1.3C

B

则/尸£＞。=90。

ZACB=90°

:.DPAC

/.BPDsBAC

BPPD

*,AB-AC

CA+CP=-x

3

29

/.BP=CA+AB-(CA+AP)=3+5--X=8--A:

8-2x

,3*PD

,,5-3

224

;.PD=——x+——

55

1「八n八1c/224、224

22(55)55，

综上所述，T、小

〔5512)

(2)(2)解：画函数图象，如下图所示

当ow：时，y随x的增大而增大，当上e2时，）随x的增大而减小;

川

O|123495678910111213x

(3)解：当直线y=%+b过点gj］时

可得：ixl+^=3

解得：b=|

二直线y=3+b与该函数图象有两个交点，则。的取值范围是0口<：.

故答案为：OVb<"|.

【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、相似三角形的判定与性质、求

一次函数的解析式，解决本题的关键是根据三角形的面积公式分段求出了与X的函数关

系式.

6.(1)90°

(2)见解析

⑶12或苓

【分析】(1)利用圆周角定理证明即可；

(2)连接。尸，利用角的等量代换证出即可；

(3)分类讨论。与各边相切时的情况，利用勾股定理和相似三角形的性质列出等式

求解即可.

【详解】(1)解：:。是△曲的外接圆，且圆心。在线段AD上

是：。的直径，点下在。上

/.ZAFD=90°；

(2)证明：如图1,连接。歹，则00=0A

图1

在平行四边形中，AB//CD

ZBFE=ZDEF

*/ZDEF=ZADF

ZBFE=ZADF

/ZOFD=ZADF

/.ZBFE=ZOFD

由（1）得，ZBFD=900

ZBFE+ZDFE=90°

ZOFD+ZDFE=90°,贝|ZOFE=90°,gpOF1.EF

尸是。的半径

，所是。的切线；

（3）解：如图2,当。与CD相切时，。与8只有一个交点，即。为切点

图2

连接DO并延长DO与AB相交于点G

：.DGLCD

'：AB//CD

DG±AB,则£>G=8

.,.在RtADG中，AG=yjAD2-DG2=V102-82=6

由垂径定理得，AG=GF=6

AF=12；

如图3,当。与5。相切时，设切点为“，延长MO交AD于点N

图3

过点。作微_LC3于点H,DGLAB于点G,连接"?

・•/NMH=94。，ZDHM=90。

*/AD//BC

ZMND=90°

•••四边形MVD”是矩形，AN=DN=；AD=5

：.MN=DH

,SABCOUjBC，A//=]S四边形=]x20x8

:.DH=16,则肱V=16

设。的半径为r,则ON=16-r

在RfV4Vo中，AN2+ON2=AO2,即52+(16-4=/

解得：「=瑞

/.0N=—

32

连接O£>,则。1=0。

/.NAON=L/AOD

2

,/ZAFD=-ZAOD

2

ZAON=ZAFD

ZANO=ZDGF=90°

Z^ANO^/\DGF

•GFDGGF8

，•---=----,即nn----=一

NOAN12315

GF=—

20

同前可得，AG=6

231351

/.AF=AG+GF=6+—=—

2020

,*,。与AB有两个交点A和尸，与AD有两个交点A和。

。与和AD所在的直线都不相切

综上所述，当。与平行四边形钻8的某一边所在的直线相切时，线段AF的长为12或器.

【点睛】本题考查了几何综合，其中涉及到了平行四边形的性质，切线的判定，勾股

定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质，合理分析题目作出辅助线是解题的关键.

7.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【分析】(1)先证明=再利用SAS证明泾即可；

(2)先证明BO=CE,ZADB=NDEC,可得ZBDE=ZBED,可得BD=BE,证明3E=CE,结合

GF//BC,可得票=筹=黑=1，G尸分别为",AC的中点，再进一步求解即可；

£)CrCrD匕

(3)如图，延长。E至K,使AD=0K,证明ADB当DKC,可得BD=CK,ZADB=ZDKC,

在。K上取点且=可得BJ=CK,NBDJ=NBJD,证明BJEWCKE,可得B£=CE,

再证明MGS.A£B,VADF^VAEC,结合相似三角形的性质可得结论；当K在线段AE上，

如图，同理可得结论.

【详解】证明：(1)是钻的中点

/.AD=DE

AB=DC,ZBAD=ZCDE

/.AABDm八DCE；

(2)*/^ABD^^DCE

ABD=CE,ZADB=NDEC

/.ZBDE=ZBED

BD=BE

/.BE=CE

*/GF//BC

•AG_AFAD

••~BG~~CF~^E~

•••G1分别为AB,AC的中点

又是AE的中点

/.DG=-BE,DF=-CE

22

，DG=DF；

(3)如图，延长。£至长，使AD=0K

A

\9AB=CD,ZBAD=ZCDE

ADB空DKC

/.BD=CK,ZADB=ZDKC

在。K上取点J,且瓦＞="

BJ=CK,ZBDJ=ZBJD

ZBJE=ABDA=ZEKC

ZJEB=ZCEK

，BJEWCKE

BE=CE

*/GF//BC

:•ADGsAEB,NADF^NAEC

•DGADADDF

•・泰一瓦’~AE~~CE

•DGDF

•*BE-CE

/.DG=DF.

当K在线段AE上，如图

A

同理可得：DG=DF.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的中位

线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助

线是解本题的关键.

8.⑴见解析；

⑵①二；②6；

（3）反

【分析】（1）利用等腰三角形的性质、对顶角相等、圆周角定理、四边形内角和解答

即可；

（2）①利用相似三角形的判定与性质，解直角三角形、圆周角定理解答即可；

②利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得A。，AB,再利用相似

三角形的判定与性质解答即可；

（3）利用等边三角形的判定和性质、含3。。角的直角三角形的性质、勾股定理解答即可.

【详解】（1）证明：AB=AC

:.ZABC=ZACB

ZADB=ZACB,ZEDF=ZADB

：.ZEDF=ZABC.

Q5D为10的直径

ZBAD=ZBCD=90°.

/BAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360°

...ZABC+ZADC=360°-/BAD—/BCD=180°.

ZADC+ZroC=180°

:.ZFDC=ZABC.

\?EDF?FDC.

，DF平分NCDE.

（2）解：①由上题可知

ZABC=ZACB=ZEDF=ZFDC

ZACF=ZABC+ZBAC=ZABC+ZBDC,ZADC=ZEDF+ZBDC

.\ZACF=ZADC.

ZCAF=ZDAC

ACFsADC.

.\ZACD=ZF.

ZABD=ZACD

.\ZABD=ZF.

②BD为。的直径

AZBAD=ZBCD=9Q°.

tanZABD=—

2

.1

*AB-2*

半径为为

BD=2A/5.

Alf+AB^BD1

.•AD2+（2AZ））2=（2V5）2.解得AD=2.（负数舍去）

.\AB=2AD=4.

ZADB=ZACB,ZABC=ZACB

:.ZADB=ZABC.

ZDAB=ZBAF=90°

..^DAB^BAF.

.四=空即2=，_

ABAF'4AF*

:.AF=8.

:.DF=AF-AD=6.

故答案为：①二；②6;

(3)解：QBD为。的直径，

，ZBAD=ZBCD=90°.

ZACD=ZABD=30°,ZABD+ZADB=9Q°

ZADB=90°-ZABD=60°.

ZACB=ZADB=60°.

AB=AC

，川。为等边三角形.

:.ZBAC=6Q°,AB=BC.

，ZBDC=ZBAC=60°.

:"DBC=90°-ZBDC=30°.

CD=1

:.BD=2CD=2.

：.AB=BC=^BD2-CD2=A/22-12=y/3・

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质,

解直角三角形等知识，熟练掌握各性质的性质是解题的关键.

9.⑴见解析

(2)见解析

⑶T

【分析】(1)证明ABEWFCD(SAS),得出CF=AB；

(2)先证△DCE's△尸CD,得至=C£C尸，再根据ABE&FCD,证出3E=CD,CF=AB=BC,

即可得证；

(3)连接如，作3GLAC,证明。尸〃BC,得出sDFC=SDFB，得出S钻尸=S两=2,设FG=x,

得出CF=AB=2x^l,根据勾股定理得出(2x+iy=16+(X+1)2,求出玉=2,9=-1(舍去)，设。£=乙

根据勾股定理得出5炉=8G2+G石2.根据防2=C£.C3=5/,得出(3T『+16=5.,求出1即可.

【详解】(1)解：AD=AD,CD=CD

NABE=/FCD,/BAE=ZBDC

NDFC=NBDC,

.\ZDFC=ZBAE,

DF=AE

ABE^FCD(SAS)

:.CF=AB.

(2)证明：VZBDC=ZDFC,ZDCE=ZFCD

/.ADCEsAFCD

•CECD

••~CD~~CF

/.CD1=CECF

ABE^.FCD

/.BE=CD,CF=AB

丁点5为ABC的中点

/.BC=BA

/.BC=BA

/.BC=CF

・BE1=CECB;

(3)解：如图，连接防，作BGLAC

/.DF//BC

•-v•。DFC=-q。DFB

又•SDFC=SABE

一•uqABF__uqDEF_-4?

QAF=1

:.BG=4

设FG=x

：.CF=AB=2x+1

在RtABG中，AB2=BG2+AG2

（2X+1）2=16+（X+1）2

解得：X1=2,X2=-|（舍去）

:.BC=5

设CE=r

在RtABEG中

BE2=BG2+GE2.

BE2=CECB=5t

.-.（3-r）2+16=5f

解得（舍去）

11-回

・•.CE的长为

2

【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

10.(l)a=kc

(2)取a=8,b=6,c=4,同时取％=4,bx=3,q=2

(3)不存在，理由见解析

【分析】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用，掌握相

似三角形对应边成比例是解题的关键.

(1)已知两个三角形的相似比为％,则对应边。=S，将所给的条件等量代换即可得到

所求的结论；

(2)先选取VABC的三边长，然后以。的长作为“的值，再根据相似比得到△印仁的另外

两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；

(3)首先根据已知条件求出“、6与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题

目所给出的情况是否成立.

【详解】(I)解：ABC—A0G且相似比为左(％为常数且Q0,C

a=ka-

%，1'

又.c=%

:.a=kc•

(2)解：取a=8,b=6,c=4,同时取6=4,仿=3,9=2；

此时-5:2

/.ABCs.,且c=q:

(3)解：不存在这样的VABC和由G,理由如下:

b=ai?c=1\

.\a=bk,b=kc

••a=bk—ck.

a>c

ck2>c

.\k>l

b+c>a

ck+c>ck2

.1-q,1+75

,,----2---〈化〈-----2----

二只能取正整数左=1

上W1

二不存在VABC和ABC相似使得上是正整数.

H.(1)3

(2)9

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的

关键是根据相似三角形的性质和平行四边形的性质找到三角形面积之间的变化规律.

⑴根据平行四边形的性质可知2BC，AD=BC,BO=DO,因为“为AD中点，可知

MD=；BC,^BO=DO=x,贝|有BN=x+l,DN=x-l,根据池BC可得MN*CNB,根据相

似三角形的性质可得：UV，解方程求出X的值即可；

x+12

⑵由⑴可知MN4CNB,所以可知==；，从而可得：SDMN==1,则有S8M=3,因

7VCnCZ

为点M为的中点，所以有SAMC=S℃M=3,所以ACD的面积为6,从而可得平行四边形

的面积为12,根据S四边形ABCM=S平行四边形ABCD-SDMC可求结果.

【详解】(1)解：四边形"CD是平行四边形

-AOBC,AD=BC,BO=DO

M为AD中点

:.MD=-AD

2

:.MD=-BC

2

设BO=DO=x

ON=1

・•.BN=BO+ON=x+\,DN=DO-ON=x-l

ADBC

:._MND^CNB

.DNDM

x-1_1

x+12

解得：x=3

.・OB的长为3；

(2)解：由⑴可知MN*CNB

.MN.DM_1

"NC~IBC-2

SDMN=3S.0CN=5X2=1

…SDCM=SDCN+SDMN=2+1=3

点M为AD的中点

/.AM=DM

••OAMC-◎DCM.J

=

…SACDSAMC+2DCM=3+3=6

,,,§平行四边形A5co=2sACD=2x6=12

S四边形A5CM-S平行四边形45co—SDMC=12—3=9.

12.(1)60°

(2)见详解

(3)m=n2

【分析】题目主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理,

理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

(1)由同弧所对的圆周角相等得出ZADC=/ABC=30。，再根据直径所对的圆周角等于90。

得出〃/M=90。，最后根据角度的和差关系即可得出答案.

(2)根据圆周角定理及三角形内角和定理得出4CD+ZDC4=90。，再由等弧所对的圆周

角相等确定4cD=WC,由平行线的性质得出4MG=ZADC=ZACD,利用等量代换即可

证明；

(3)过点尸作。的切线，切点为。，连接。。，CQ,AQ,先证明PAQS/QC再证明

PAGsPCD,由相似三角形的判定和性质得出詈湍，胎=含，根据已知条件代入即

可得出结果.

【详解】(1)解：vAC=AC

ZADC=ZABC=30°

〈AB是。的直径

/.ABDA=90°

：.ZBDC=ZBDA-ZADC=60°

(2)证明：•••AB是。的直径

/.ZACB=90°

/.ZBCD+"04=90。

丁点A是co的中点

ZACD=ZADC

AG//CD

：.ZDAG=ZADC=ZACD

•//BAD=/BCD

：.ZBAD+ZDAG=90°,艮［J/BAG=90°

，直线G4是。的切线；

（3）解：过点P作。的切线，切点为。，连接。。，CQ,AQ,如图

•：PQ为。的切线

/.OQ±PQ

：.ZOQP=90°,即ZPQA+ZOQA90°

9：OA=OQ

/.ZOQA=ZOAQ

ZOAQ+ZPQA=90°.

ZBCQ=ZOAQ

/.ZBCQ+ZPQA=90°

•/ZBCQ+NPCQ=90°

ZPQA=ZPCQ

,/ZAPQ=ZCPQ

：.PAQ^PQC

•PQ=PC_

••~PA~~PQ

：.PQ1=PAPC

AG//CD.

PAG^,PCD

•PA-PG

**PC-PF

PD=mPG

PC=mPA

PQ=nAP

：.(nPAf=PA-mPA,

n2=m.

即机与“之间的关系为〃2=加

13.(1)37°

(2)点A到跖V的距离约为24cm

(3)点A在竖直方向上升了12.8cm

【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质；

(1)利用对顶角相等求解即可；

(2)过A作肱V于在Rt"O"根据//=$山37。・。1代入计算即可；

(3)过A作于W,由旋转可得B'C'=BC=35cm,OB'=OB=120cm,OC=OC,B'C1.AB',

as1?s一

04=0^=40cm,先求出OC=125cm,再根据B'OC'^H'OA',得到行不=不，解得引4'=1L2,最

riA4U

后根据点A在竖直方向上上升了AH-H©代入计算即可.

【详解】(I)W：，：ZBOM=3T

：.ZAON=NBOM=37°

故答案为：37。；

(2)解：过A作肱V于H

RtAAOH中,ZAON=NBOM=37°,OA=40cm

sin/AON=—=sin37°

OA

A//=sin37o(9A«0.6x40=24cm

即点A到MN的距离约为24cm；

(3)解：过4作于

由旋转可得3'C'=3C=35cm,O8'=OB=120cm,OC'=OC,B'C1AB',04=04=40cm

OC'=\IB'C'2+OB'2=A/352+1202=125cm,

,?B'C1AB',AH'1MN

：.ZB'=ZA7TO=90。

•/ZB'OM^ZAON

B'OC'^tH'OA'

.B'CPC

‘・H'A'-OA7

.35125

•，40

解得=11.2

•••点A在竖直方向上上升了AHTA'=24-11.2=12.8cm.

14.⑴AE的长为3立;

(2)见解析;

(3)2的值为力

□△AHG2

【分析】(1)过点E作砥，交班的延长线于“，利用AAS证明DEH冬CDA,可得

EH=AD=3,DH=AC=6,AH=DH-AD=6-3=3,运用勾股定理可得AE=30,即可得出答

案;

(2)连接AF、AG,过点尸作交AG于"，利用SAS证明EAG^EFD,可得

AG=FD,ZAGE=ZFDE,再利用SAS证明AFH&CFG,可得AH=CG,即可得出答案；

(3)设钻、GH交于点"，作A3中点尸，连接PC、PE、BE、作尸C中点Q,连接AQ、QG,

设AB=AC=4j则。G=",PA=2“,运用勾股定理可得PC=2后，进而可得AQ=：PC=6,当A、

Q、G三点共线时，AG=AQ+QG=6/+a=（指+山，取得最大值，利用ASA证得AHM^AGM,

ss-AE-MG14/7反_1

可得.=GM,AH=AG=（岔+山，根据4=*=T-----------=9笠=¥，即可求得

）AHG"AMG2X—AMMG22

2

答案.

【详解】（1）解：过点E作研，四交班的延长线于“，如图1

,点。是A3的中点，且钻=6

/.AD=BD=-AB=3

2

在R3ACD中，ZG4D=90°,AC=AB=6

2222

tan/ACD=¥=);，CD=yjAD+AC=^3+6=375

ACO2

由旋转得：DE=CD=3亚,NCDE=90。

即ZADC+ZADE=90°

*/ZADC+ZACD=90°

/.ZADE=ZACD

在ADEH和CQ4中

ZDHE=ZCAD=90°

<NADE=NACD

DE=CD

：.DEHgCDA

:.EH=AD=3,DH=AC=6

，AH=DH-AD=6-3=3

在RtZXAEH中，AE=yjAH2+EH2=732+32=372;

(2)解：证明：如图2,连接AF、AG,过点尸作F”，尸G交AG于H

•••VABC是等腰直角三角形，E、尸分别是必5C的中点

，AE=EF,AE±EF9AF=CF

/.ZAEG+ZFEG=9Q0

由旋转得ED=EG,ZDEG=90°

/.ZFED+ZFEG=90°,ZEDG=ZEGD=45°

ZAEG=ZFED

在AE4G和一£7X)中

AE=EF

</AEG=/FED

EG=ED

：.E4GqEFD

：.AG=FD,ZAGE=ZFDE

/FDG:/FGE

/.ZAGE+/FGE=NFDE+/FDG=/EDG=45。

即ZAG尸=45。

*/ZGFH=9Q°

/.ZFHG=45°=ZFGH

•••打汨是等腰直角三角形

:.FH=FG,HG=FG

*.*ZAFH+ZCFH=ZCFG+ZCFH=90°

，ZAFH=ZCFG

在.A.和△CFG中

AF=CF

<NAFH=NCFG

FH=FG

，AFH与CFG

/.AH=CG

*/AG=AH+HG

/.FD=CG+垃FG;

(3)解：设AE、G”交于点作AB中点P,连接PC、PE、BE.AF,作PC中点Q,连接AQ、QG,

如图

;将A。绕点。逆时针旋转90。，得到中

••・△AE。是等腰直角三角形

，—,440=45。

AD1

V